2023-2024学年江西省宜春市万载县高二上学期期中数学模拟试题（A卷）含解析

试卷第=page11页，共=sectionpages44页试卷第=page44页，共=sectionpages44页2023-2024学年江西省宜春市万载县高二上学期期中数学模拟试题（A卷）一、单选题（每小题5分共40分）1．若经过点和的直线的斜率为2，则（

）A．1 B．2 C．3 D．42．设点，直线过点，且与线段相交，则直线的斜率取值范围是（

）A． B．C． D．3．平面内点P到、的距离之和是10，则动点P的轨迹方程是（

）A． B．C． D．4．已知，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，则的最大值是（

）A． B．9 C．16 D．255．平面直角坐标系中点满足，则点的轨迹为（

）A．线段 B．圆 C．椭圆 D．不存在6．已知，分别是双曲线的左、右两个焦点，点在双曲线的右支上，且，则（

）A． B． C． D．7．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（

）

A． B．C． D．8．已知向量，，若，，则的值为（

）A．3或1 B．2 C．1或2 D．2二、多选题（每小题5分共20分）9．以直线与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为（

）A． B．C． D．10．已知过点的直线与椭圆交于、两点，则弦长可能是（

）A．1 B． C． D．311．设、为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（

）A． B．C． D．12．下列结论错误的是（）A．过点，的直线的倾斜角为B．若直线与直线垂直，则C．直线与直线之间的距离是D．过两点的直线方程为三、填空题（每小题5分共20分）13．已知点到直线的距离为2，则．14．已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为.15．如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，，则的长为

16．已知，是空间单位向量，，若空间向量满足，，，且对于任意，，，则的最小值为，此时．四、解答题（共70分）17．已知三角形的三个顶点是.(1)求边所在的直线方程；(2)求边上的高所在直线的方程.18．已知直线.(1)求证：直线过定点M；(2)若直线分别交x轴、轴的正半轴于点A、B，O为坐标原点，求的最小值.19．已知是椭圆的两个焦点，，为上一点.(1)求椭圆的标准方程；(2)若为上一点，且，求的面积.20．设点P是抛物线上的一个动点.(1)求点到的距离与点到直线的距离之和的最小值；(2)若，求的最小值.21．已知，．(1)求；(2)当时，求实数k的值．22．如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，求：(1)求异面直线与所成角的余弦值；(2)点到平面的距离；(3)求与平面所成角的正弦值.答案第=page99页，共=sectionpages99页答案第=page1010页，共=sectionpages1010页1．C【分析】根据题意，由斜率的计算公式，代入计算，即可得到结果.【详解】因为，所以．故选：C2．C【分析】利用直线斜率定义数形结合即可求得直线的斜率取值范围.【详解】

直线过点，且与线段相交，则直线的斜率取值范围是.故选：C3．B【分析】求出即可得出动点P的轨迹方程.【详解】由题意，平面内点P到、的距离之和是10，∴动点的轨迹为椭圆,焦点在轴上,,解得：，∴，∴轨迹方程为:，故选:B.4．D【分析】利用椭圆的定义及基本不等式可求答案.【详解】因为，所以，当且仅当时，取到最大值.故选：D.5．A【分析】根据两点距离之和的几何意义分析即可【详解】因为，表示点到两点的距离之和为2，又，则点的轨迹就是线段.故选：A6．A【分析】利用双曲线的定义求出，，，利用余弦定理得出结果即可.【详解】由题意可得，由双曲线的定义得，而，解得，由余弦定理得所以.故选：A.7．D【分析】结合已知条件，根据空间向量的线性运算法则求解即可.【详解】因为，所以.因为，所以.因为，所以.故选：D.8．A【分析】由向量模长的坐标表示求得，根据向量垂直的坐标表示列方程求，即得结果》【详解】，可得．又，则．当时，，此时；当时，，此时．故选：A9．BD【分析】先求出直线与坐标轴的交点坐标，再得到抛物线方程.【详解】直线与坐标轴的交点为，，故以和为焦点的抛物线标准方程分别为和.故选：BD.10．BC【分析】先设直线，再联立方程组得韦达定理，求出弦长,最后确定范围即可.【详解】当直线斜率存在时，设过斜率存在的直线方程为：，联立方程组消去，并整理得，易得，设，，则，，，，当斜率不存在时，故．故选:BC．11．BD【分析】利用空间数量积的定义、运算性质逐项判断，可得出合适的选项.【详解】对于A选项，向量不能作除法，A错；对于B选项，，B对；对于C选项，，C错；对于D选项，，D对.故选：BD.12．ACD【分析】对A，利用斜率得到角度；对B，根据斜率乘积为-1，计算可得；对C，利用平行线之间的距离公式计算可判断；对D，直线方程两点式成立条件即可判断.【详解】对A，设直线倾斜角为，则，所以倾斜角不是，故错误；对B，由两条直线垂直，则，故正确；对C，直线，即，所以与直线之间的距离是，故错误；对D，过两点的直线方程为，故错误.故选：ACD13．【分析】根据点到直线的距离公式即可求解.【详解】由题意可得，故答案为：14．9【分析】求出椭圆的焦点坐标，进而求出，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【详解】的焦点坐标为，故，故，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为9.故答案为：915．【分析】由向量的线性表示，根据向量模长根式即可代入求解.【详解】解：由条件，知，,所以，所以,故答案为：16．13【分析】由已知求得，不妨设，，，再由已知结合数量积运算求得与的值，然后求，配方后求其最小值即可求解【详解】∵，∴．不妨设，，，由题意可知，，∴，，．∵，∴．∵，∴∴当，时，取得最小值1，即的最小值为1，此时．故答案为：；17．(1)(2)【分析】（1）根据两点斜率公式求解斜率，进而由斜截式即可求解方程，（2）根据斜率公式以及垂直关系得高所在直线斜率，即可求解.【详解】（1）由题意可得,由斜截式可得直线方程为；（2）,所以边上的高所在直线的斜率为，由点，所以边上的高所在直线方程为.18．(1)证明见解析(2)【分析】（1）整理成点斜式，即可得到恒过定点，（2）把坐标代入两点式方程，由乘“1”法以及基本不等式即可求解.【详解】（1）证明：直线整理可得当时不论为何值，，此时，，则直线恒过定点.（2）设，，其中，，则直线AB的方程可写成，将代入得，，故，当且仅当时取等号，故的最小值为.19．(1)(2)【分析】（1）根据条件先求解出的值，然后根据椭圆定义求解出的值，结合求解出的值，则方程可求；（2）根据先求解出点坐标，然后由三角形面积公式求解出结果.【详解】（1）设椭圆的焦距为，因为，可得，所以，则，，由椭圆的定义可得，所以，故椭圆的标准方程为；（2）因为，所以，所以，所以.20．(1)(2)4【分析】（1）利用抛物线的定义，转化点到准线的距离为到焦点的距离，再利用数形结合，即可求解；（2）利用抛物线的定义，转化点到焦点的距离为到准线的距离，再利用数形结合，即可求解；【详解】（1）如图，易知抛物线的焦点为，准线为，由抛物线的定义知点到直线的距离等于点到焦点的距离.于是，问题转化为在曲线上求一点，使点到点的距离与点到的距离之和最小.显然，连接与抛物线的交点即为所求点，故最小值为＝.

（2）如图，过点作垂直于准线于点，过点作垂直准线于点，交抛物线于点，

此时，，那么,即最小值为4.21．(1)2(2)【分析】（1）根据空间向量的运算，先求出，，然后计算数量积；（2）根据空间向量的运算，先求出，，根据垂直关系可知它们数量积为，据此计算.【详解】（1）因为，，所以，，所以（2）因为，，所以，由（1），因为，所以，所以，解得22．(1)(2)(3)【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用求解即可；（2）设平面的法