2023-2024学年福州市重点中学数学九上期末经典模拟试题含解析

2023-2024学年福州市重点中学数学九上期末经典模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（每题4分，共48分）1．在中，，，，则的值是（）A． B． C． D．2．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有几个（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个3．二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：则该函数图象的对称轴是（）……-3-2-101…………-17-17-15-11-5……A． B． C． D．4．比较cos10°、cos20°、cos30°、cos40°大小，其中值最大的是（）A．cos10° B．cos20° C．cos30° D．cos40°5．已知点P(x，y)在第二象限，|x|＝6，|y|＝8，则点P关于原点的对称点的坐标为（）A．(6，8) B．(﹣6，8) C．(﹣6，﹣8) D．(6，﹣8)6．如图，一次函数和反比例函数的图象相交于，两点，则使成立的取值范围是()A．或 B．或C．或 D．或7．如图所示，在边长为1的小正方形网格中，两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（）A．点O B．点P C．点M D．点N8．关于抛物线的说法中，正确的是（）A．开口向下 B．与轴的交点在轴的下方C．与轴没有交点 D．随的增大而减小9．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（）A．ax2+bx+c＝0 B．x2﹣2＝（x+3）2C．x2+﹣5＝0 D．x2＝010．将抛物线向上平移两个单位长度，得到的抛物线解析式是()A． B．C． D．11．若关于的一元二次方程有实数根，则取值范围是（）A． B． C． D．12．如图，在矩形COED中，点D的坐标是(1，3)，则CE的长是（）A．3 B． C． D．4二、填空题（每题4分，共24分）13．从长度为2cm、4cm、6cm、8cm的4根木棒中随机抽取一根，能与长度为3cm和5cm的木棒围成三角形的概率为_____．14．若分别是方程的两实根，则的值是__________.15．如图，在中，，，，是上一点，，过点的直线将分成两部分，使其所分成的三角形与相似，若直线与另一边的交点为点，则__________．16．在比例尺为1：3000000的地图上，测得AB两地间的图上距离为5厘米，则AB两地间的实际距离是______千米．17．已知点P（a，b）在反比例函数y=的图象上，则ab=_____．18．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，P为切点，如果AB＝8cm，小圆直径径为6cm，那么大圆半径为_____cm．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=17，CD=10，∠A=90°，cosB=，求AD的长．20．（8分）如图，在△ABC中，边BC与⊙A相切于点D，∠BAD＝∠CAD．求证：AB＝AC．21．（8分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A(0，1)，B(3，3)，C(1，3)，（1）①画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；②画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°得到的△A2B2C2，写出点C2的坐标；（2）若△ABC上任意一点P(m，n)绕原点O逆时针旋转90°的对应点为Q，则点Q的坐标为________.(用含m，n的式子表示)22．（10分）如图，在中，.以为直径的与交于点，与交于点，点在边的延长线上，且.（1）试说明是的切线；（2）过点作，垂足为.若，，求的半径；（3）连接，设的面积为，的面积为，若，，求的长.23．（10分）抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点C，连接BC．（1）如图1，求直线BC的表达式；（2）如图1，点P是抛物线上位于第一象限内的一点，连接PC，PB，当△PCB面积最大时，一动点Q从点P从出发，沿适当路径运动到轴上的某个点G处，再沿适当路径运动到轴上的某个点H处，最后到达线段BC的中点F处停止，求当△PCB面积最大时，点P的坐标及点Q在整个运动过程中经过的最短路径的长；（3）如图2，在（2）的条件下，当△PCB面积最大时，把抛物线向右平移使它的图象经过点P，得到新抛物线，在新抛物线上，是否存在点E，使△ECB的面积等于△PCB的面积．若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．24．（10分）已知抛物线y=x2+bx+c的图像过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．求抛物线的解析式和顶点坐标.25．（12分）如图，正三角形ABC内接于⊙O，若AB＝4cm，求⊙O的直径及正三角形ABC的面积．26．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、A【分析】根据正弦函数是对边比斜边，可得答案．【详解】解：sinA==．故选A．【点睛】本题考查了锐角正弦函数的定义.2、D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：第一个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；第二个图形是轴对称图形，是中心对称图形；第三个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；第四个图形不是轴对称图形，是中心对称图形；既是中心对称图形又是轴对称图形的有1个，故选：D．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3、B【分析】当和时，函数值相等，所以对称轴为【详解】解：根据题意得，当和时，函数值相等，所以二次函数图象的对称轴为直线故选B【点睛】本题考查了二次函数的性质.4、A【解析】根据同名三角函数大小的比较方法比较即可．【详解】∵，∴．故选：A．【点睛】本题考查了同名三角函数大小的比较方法，熟记锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；锐角的余弦、余切值随角度的增大而减小．5、D【分析】根据P在第二象限可以确定x，y的符号，再根据|x|=6，|y|=8就可以得到x，y的值，得出P点的坐标，进而求出点P关于原点的对称点的坐标．【详解】∵|x|=6，|y|=8，∴x=±6，y=±8，∵点P在第二象限，∴x＜0，y＞0，∴x=﹣6，y=8，即点P的坐标是(﹣6，8)，关于原点的对称点的坐标是(6，﹣8)，故选：D．【点睛】主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点和对称点的规律．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：

（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；

（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；

（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．6、B【分析】根据图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的自变量的取值范围即可.【详解】观察函数图象可发现：或时，一次函数图象在反比例函数图象上方，∴使成立的取值范围是或，故选B．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，函数与不等式，利用数形结合思想是解题的关键.7、B【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上．【详解】解：位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点M、N为对应点，所以位似中心(如图)在M、N所在的直线上，点P在直线MN上，所以点P为位似中心．

故选：B．【点睛】此题主要考查了位似变换的性质，利用位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点M、N为对应点，得出位似中心在M、N所在的直线上是解题关键．8、C【分析】根据题意利用二次函数的性质，对选项逐一判断后即可得到答案．【详解】解：A.，开口向上，此选项错误；B.与轴的交点为（0，21），在轴的上方，此选项错误；C.与轴没有交点，此选项正确；D.开口向上，对称轴为x=6，时随的增大而减小，此选项错误.故选：C.【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，熟练掌握并利用二次函数的性质解答．9、D【解析】根据一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1．逐一判断即可．【详解】解：A、当a＝0时，ax1+bx+c＝0，不是一元二次方程；B、x1﹣1＝（x+3）1整理得，6x+11＝0，不是一元二次方程；C、，不是整式方程，不是一元二次方程；D、x1＝0，是一元二次方程；故选：D．【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，正确把握一元二次方程的定义是解题关键．10、D【分析】按“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律平移即可得出所求函数的解析式.【详解】由题意得=.故选D.【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，其规律是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a(x-h)2+k

（a，b，c为常数，a≠0），确定其顶点坐标(h，k)，在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．11、D【分析】根据△=b2-4ac≥0，一元二次方程有实数根，列出不等式，求解即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，

∴

解得：．

故选：D．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．12、C【分析】根据勾股定理求得，然后根据矩形的性质得出．【详解】解：∵四边形COED是矩形，∴CE＝OD，∵点D的坐标是（1，3），∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查的是矩形的性质，两点间的距离公式，掌握矩形的对角线的性质是解题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、【分析】根据三角形的三边关系得出第三根木棒长度的取值范围，再根据概率公式即可得出答案．【详解】∵两根木棒的长分别是3cm和5cm，∴第三根木棒的长度大于2cm且小于8cm，∴能围成三角形的是：4cm、6cm的木棒，∴能围成三角形的概率是：，故答案为．【点睛】本题主要考查三角形的三边关系和概率公式，求出三角形的第三边长的取值范围，是解题的关键.14、3【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得答案.【详解】∵分别是方程的两实根，∴=3，故答案为：3【点睛】此题考查根与系数的关系，一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=-，x1x2=；熟练掌握韦达定理是解题关键.15、1，，【分析】根据P的不同位置，分三种情况讨论，即可解答．【详解】解：如图：当DP∥AB时∴△DCP∽△BCA∴即，解得DP=1如图：当P在AB上，即DP∥AC∴△DCP∽△BCA∴即，解得DP=如图，当∠CPD=∠B，且∠C=∠C时,∴△DCP∽△ACB∴即，解得DP=故答案为1，，．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握分类讨论思想并全部找到不同位置的P点是解答本题的关键．16、150【分析】设实际距离为x千米，根据比例尺=图上距离：实际距离计算即可得答案．【详解】设实际距离为x千米，5厘米=0.00005千米，∵比例尺为1：3000000，图上距离为5cm，∴1：3000000=0.00005：x，解得：x=150(千米)，故答案为：150【点睛】本题考查了比例尺的定义，能够根据比例尺由图上距离正确计算实际距离是解题关键，注意单位的换算．17、2【解析】接把点P（a，b）代入反比例函数y=即可得出结论．【详解】∵点P（a，b）在反比例函数y=的图象上，∴b=，∴ab=2，故答案为：2.【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．18、1【分析】连接OA，由切线的性质可知OP⊥AB，由垂径定理可知AP＝PB，在Rt△OAP中，利用勾股定理可求得OA的长．【详解】如图，连接OP，AO，∵AB是小圆的切线，∴OP⊥AB，∵OP过圆心，∴AP＝BP＝AB＝4cm，∵小圆直径为6cm，∴OP＝3cm，在Rt△AOP中，由勾股定理可得OA＝＝1（cm），即大圆的半径为1cm，故答案为：1．【点睛】此题考查垂径定理，勾股定理，在圆中垂径定理通常与勾股定理一起运用求半径、弦、弦心距中的一个量的值.三、解答题（共78分）19、AD=1．【解析】根据圆内接四边形的对角互补得出∠C=90°，∠ABC+∠ADC=180°．作AE⊥BC于E，DF⊥AE于F，则CDFE是矩形，EF=CD=2．解Rt△AEB，得出BE=AB•cos∠ABE=，AE=，那么AF=AE-EF=．再证明∠ABC+∠ADF=90°，根据互余角的互余函数相等得出sin∠ADF=cos∠ABC=．解Rt△ADF，即可求出AD==1．【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A=90°，∴∠C=180°-∠A=90°，∠ABC+∠ADC=180°．作AE⊥BC于E，DF⊥AE于F，则CDFE是矩形，EF=CD=2．在Rt△AEB中，∵∠AEB=90°，AB=17，cos∠ABC=，∴BE=AB•cos∠ABE=，∴AE=，∴AF=AE-EF=．∵∠ABC+∠ADC=180°，∠CDF=90°，∴∠ABC+∠ADF=90°，∵cos∠ABC=，∴sin∠ADF=cos∠ABC=．在Rt△ADF中，∵∠AFD=90°，sin∠ADF=，∴AD=．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，求出AF=以及sin∠ADF=是解题的关键．20、见解析．【分析】根据切线的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【详解】解：∵BC与⊙A相切于点D，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD（ASA），∴AB＝AC．【点睛】本题考查的知识点是切线的性质和全等三角形的判定和性质定理，易于理解掌握．21、（1）①见解析，②见解析，点C2的坐标为(-3，1)；（2）(-n，m)【分析】(1)①根据关于原点对称的点的坐标特征得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；

②利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2，然后顺次连接，从而得到点C2的坐标；

(2)利用②中对应点的规律写出Q的坐标．【详解】解：（1）①如图，△A1B1C1为所求；②如图，△A2B2C2为所求，点C2的坐标为(-3，1)（2）∵A(0，1)绕原点O逆时针旋转90°的对应点A2（-1，0），B(3，3)绕原点O逆时针旋转90°的对应点B2（-3,3）,C(1，3)绕原点O逆时针旋转90°的对应点C2（-3，1），∴点Q的坐标为(-n，m).【点睛】本题考查了作图−−中心对称与旋转变换，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．22、（1）详见解析；（2）3；（3）.【分析】（1）根据切线的判断方法证明即可求解；（2）根据即可求出AB即可求解；（3）连接.求出为中点，得到，根据，设，，得到，，求出得到，，再根据勾股定理即可求解.【详解】（1）证明：连接.∵为直径，∴.又∵，∴，∵，∴.∵，∴，即.又∵是直径，∴与相切.（2）解：∵，∴，又∵，，∴，∴，∴.∵，，∴，∴.∵，∴，∴的半径是3.（3）解：连接.∵为直径，∴.∵，，∴为中点，∴.又∵，设，，∴，，∴，∴.又∵，∴，.∵在中，，∴在中，.【点睛】此题主要考查圆的切线综合，解题的关键是熟知三角函数的性质、切线的判定、勾股定理的应用.23、（1）（2）点Q按照要求经过的最短路径长为（3）存在，满足条件的点E有三个，即（，），（，）,（，）【分析】（1）先求出点，，的坐标，利用待定系数法即可得出结论；（2）先确定出，再利用三角形的面积公式得出，即可得出结论；（3）先确定出平移后的抛物线解析式，进而求出，在判断出建立方程即可得出结论．【详解】解：（1）令，得，∴，．∴A（，0），B（，0）．令，得．∴C(0,3)．设直线BC的函数表达式为，把B（，0）代入，得．解得，．所以直线BC的函数表达式为．（2）过P作PD⊥轴交直线BC于M．∵直线BC表达式为，设点M的坐标为，则点P的坐标为．则．∴．∴此时，点P坐标为（，）．根据题意，要求的线段PG+GH+HF的最小值，只需要把这三条线段“搬”在一直线上．如图1，作点P关于轴的对称点，作点F关于轴的对称点，连接，交轴于点G,交轴于点H．根据轴对称性可得，．此时PG+GH+HF的最小值=．∵点P坐标为（，），∴点的坐标为（，）．∵点F是线段BC的中点，∴点F的坐标为（，）．∴点的坐标为（，）．∵点，P两点的横坐相同，∴⊥轴．∵，P两点关于轴对称，∴⊥轴．∴．∴．即点Q按照要求经过的最短路径长为．（3）如图2，在抛物线中，令，