山东省泰安重点中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（含答案）

泰安重点中学高二上学期12月月考数学试题时间：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知空间向量，满足，则实数的值是（）A．－5 B．－4 C．4 D．52．在等差数列中中，，，则（）A．5 B．8 C．10 D．143．双曲线的离心率为，则其渐近线方程是（）A． B． C． D．4．设，则数列的最大项是（）A．107 B．108 C． D．1095．已知空间中三点，，，则点到直线AB的距离为（）A． B． C． D．6．首项为－12的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是（）A． B． C． D．7．以为焦点的抛物线的准线与双曲线相交于，两点，若为正三角形，则抛物线的方程为（）A． B． C． D．8．已知数列满足，，若的前项和为，且对一切恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．空间中三点，，是坐标原点，则（）A． B．C．点关于平面Oxy对称的点为 D．与夹角的余弦值是10．下列四个命题正确的是（）A．直线的一个方向向量是B．设直线过点，则这条直线的方程可以写成C．直线与圆相交D．圆与圆恰有三条公切线11．已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，，点在准线l上的射影为，则（）A．若，则B．若点的坐标为，则的最小值为4C．D．若直线过点且与抛物线有且仅有一个公共点，则满足条件的直线有2条12．已知公差为的等差数列，其前项和为，且，，则下列结论正确的为（）A．为递增数列 B．为等差数列C．当取得最大值时， D．当时，的取值范围为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设是圆上的任意一点，则的最大值为______．14．直线被双曲线所截得的弦的中点坐标是______．15．如图正方形BCDE的边长为，已知，将直角沿BE边折起，点在面BCDE上的射影为点，则翻折后的几何体中有如下描述：（1）AB与DE所成角的正切值是；（2）的体积是；（3）；（4）平面平面ADE；（5）直线BA与平面ADE所成角的正弦值为．其中正确的叙述有______（写出所有正确结论的编号）．16．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的右支交于，两点，若，，则的离心率为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在等差数列中，（1）已知，，求与；（2）已知，求．18．（12分）已知圆的圆心为，且与轴相切．（1）求的方程；（2）设直线与交于，两点，，求的值．19．（12分）（1）已知数列满足，，①证明：数列是等差数列．②求数列的通项公式．（2）数列满足，．求数列的通项公式．20．（12分）已知抛物线的焦点，O为坐标原点，A，B是抛物线上异于的两点．（1）求抛物线的方程；（2）若直线OA，OB的斜率之积为，求证：直线AB过轴上一定点．21．（12分）如图，在三棱锥中，侧面PAC是等边三角形，，．（1）证明：平面平面ABC；（2）若，则在棱PA上是否存在动点，使得平面MBC与平面ABC的夹角为？若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由．22．（12分）如图，椭圆的焦点分别为，，A为椭圆上一点，的面积最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）若、D分别为椭圆的上、下顶点，不垂直坐标轴的直线l交椭圆于P、（在上方，在下方，且均不与，点重合）两点，直线PB，QD的斜率分别为，，且，求面积的最大值．高二上学期12月份月考数学试题参考答案与试题解析一、选择题（共8小题）1．D． 2．C 3．C 4．B5．C 6．D 7．D 8．D．二．多选题（共4小题）9．AB 10．BCD 11．AC 12．BD．三．填空题（共4小题）13．． 14．15．（1）（2）（4）（5） 16．四．解答题（共6小题）17．解：（1）由，得解得所以的值为3，的值为－5；（2）由是等差数列，得（3）解得所以，故的值为24．18．解：（1）因为圆的圆心为，且与轴相切，所以圆的半径，所以圆的方程为；（2）因为，，所以，所以圆心到直线的距离，即，解得．19．解：（1）①证明：根据题意，数列满足，等式两边除以得；故数列是以为首项，为公差的等差数列；②数列是以为首项，为公差的等差数列，（2）根据题意，由得，则，则20．（1）解：因为抛物线的焦点坐标为，所以，．得到抛物线方程为（2）证明：①当直线AB的斜率不存在时，设，因为直线OA，OB的斜率之积为，所以，化简得．所以，，此时直线AB的方程为，②当直线AB的斜率存在时，设直线的方程为，，联立方程，化简得根据韦达定理得到，因为直线OA，OB的斜率之积为，所以得到，即得到，化简得到（舍）或又因为，，所以，即．综上所述，直线AB过定点．21．解：（1）设D，E分别是AC，BC的中点，连接PD，DE，PE，则，，由于，所以，由于三角形PAC是等边三角形，所以，由于，所以，由于，DE，平面PDE，所以平面PDE，由于平面PDE，所以，由于，AC，平面ABC，所以平面ABC，由于平面PAC，所以平面平面ABC（2）由（1）可知平面平面ABC，以为空间坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，，则，，，所以，，，，设，，平面ABC的一个法向量是，，，设平面MBC的一个法向量是，则，故可设，若平面MBC与平面ABC的夹角为60°，则，即，解得（负根舍去），则，