【玩转压轴题】类型三：二次函数问题综合（解析版）-苏科版2022年初三数学一模（期末）压轴题汇编30题

【玩转压轴题】类型三：二次函数问题综合(解析版)

学校:姓名:班级：考号：

一、单选题

113

1.在平面直角坐标系中，点A(1,—),B(4,若点M(a,-a),N(a+3,

22

-a-4),则四边形MNBA的周长的最小值为()

1313

A.10+—5/2B.10+—s/3C.5+13y/2D.5+13>/3

【答案】A

【分析】

根据题意，得A8=不(4—I)，+(：—万)。—5,

AM=-1)*2*4+(-a-y)2=^(«-l)2+(a+y)2,

MN=+3-々A+j-4-(-a)f=5,

BN—+3—4)2+(_a_4_])2=J(a-1)、+(〃+万)-

由此得四边形MNB4的周长为10+2J(〃-1)2+(。+?)2,利用二次函数求得

J(a—1尸+(。+?)2的最小值即可.

【详解】

113

•••点A(1,—),8(4,—),若点M(a,-a),N(。+3，~a-4),

22

AB=^(4-l)2+(|-y)2=5,

AM=J(a-I)2+(-a-y)2=^J(a-1)2+(a+^-)2,

MN=J(a+3-a)2+(-a-4-(-〃))2=5,

2222

BN=yJ(a-b3-4)+(-a-4-^)=^J(a-l)+(a+^)

・•・四边形MNB4的周长为10+2，。一1)2+(。+])2,

令y=(a-l)2+(a+^-)2

二—2a+1+〃~+11。4---

4

=2a2+9a+—,

4

V2>0,

，抛物线有最小值,

当-羞=一/，有最小值，且为产2T-9丁丁•

J(a-l)2+(a+汐的最小值为

四边形MNBA的周长的最小值为10+2XM=10+=近,

42、

故选A.

【点睛】

本题考查了两点间的距离公式，二次函数的最值问题，灵活运用两点间的距离公式将周

长的最值转化为二次函数的最值是解题的关键.

2.把二次函数y=ax?+bx+c(a>0)的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式

为y=-a(x-l)2+2a,若(m-l)a+b+c$O,则m的最大值是()

A.0B.1C.2D.4

【答案】D

【分析】

根据关于x轴对称的点的坐标特征得出原二次函数的顶点为(1，-2〃)，即可得出原二

次函数为y=a(x-1)2-2a=cur-2ax-a,和y=cix2+hx+c比较即可得出b=-2a,c

=-a,代入C/77-1)a+b+c<09即可得到m<4.

【详解】

解：•・•把二次函数尸加+区+0(〃>o)的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解

析式为y=-a(x-1)2+2tz,

・•・原二次函数的顶点为(1,-2a),

；・原二次函数为y=〃(x-1)2-2a=ax1-2ax-a,

:・b=-2a,c--a,

*.*(/n-1)a+b+c<09

**.Cm-1)a-2a-a<Of

Va>0,

•-1-2-l<0,即m<49

'-m的最大值为4,

故选：D.

【点睛】

本题考查关于x轴对称的点的坐标特点，二次函数的解析式，灵活利用二次函数的各项

试卷第2页，共51页

系数是关键

3.如图，C是线段AB上一动点，△ACD,△CBE都是等边三角形，M,N分别是CD,

BE的中点，若AB=4,则线段MN的最小值为（）

E

A.正B.典C.GD.主叵

242

【答案】C

【分析】

连接CN.首先证明NMCN=90。，设AC=a,则BC=4-a,构建二次函数，利用二次

函数的性质即可解决问题.

【详解】

解：连接CN,

VAACD和^BCE为等边三角形,

：.AC^CD,BC=CE,/AC£>=NBCE=/B=60。，

ZDC£；=60°,

是BE的中点，

：.CN±BE,NECN=30。,

NDCN=94。,

设AC=a,

・.・A8=4,

：.CM=^a,CN=B（4-a）,

22

二MN=ylcM2+CN2=J%+；（4-a）z=\l（a-3）2+3，

，当a=3时，MN的值最小为6.

故选：C.

【点睛】

本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会

添加常用辅助线，构建二次函数解决最值问题.

4.关于x的一元二次方程犬-2》7=0（t为实数）有且只有一个根在-2<x<3的范

围内，贝也的取值范围是（）

A.3<r<8B.-l<r<8

C.3Wf<8或f=-lD.-l</<3

【答案】C

【分析】

由题意得出原方程有两个实数根，进而分两种情况讨论：①当△=（）时，得出f=-l,进

而求出方程的解，判断即可得出结论，②当A>0时，利用二次函数图象，即可得出结

论.

【详解】

解：根据题意得，△=4+4rN0,

t之—19

①当A=0时,即f=T,

二原方程为f-2x+l=0,

.'.x=-l,满足条件；

②当A>0时，原方程有两个不相等的实数根，在平面宜角坐标系中画出函数图象，如

图所示，观察图象可知，当出8时，方程的两个根一个小于等于-2,另一个大于等于4；

当34<8时，方程的两个根一个在—2<x<3范围内，另一个在34x<4范围内；

当，<3时，方程的两个根都在范围内；

即满足条件的♦的范围为33<8或，=-1,

故选：C.

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【点睛】

本题考查了一元二次方程和二次函数的关系，解题关键是树立数形结合思想，利用二次

函数图象解决一元二次方程根的问题.

5.如图，在AABC中，AB=AC=5,BC=4百，。为边AC上一动点（C点除外），把

线段8D绕着点。沿着顺时针的方向旋转90。至DE,连接CE,则ACDE面积的最大值

为（）

A.16B.8C.32D.10

【答案】B

【分析】

过点E作跖J-AC于尸，作于点〃，由勾股定理可求AH=3,由旋转的

性质可求8£>=£>E，NBDE=90,由AAS可证三AD£F,可得EF=DH,由三

角形面积公式和二次函数的性质可求解.

【详解】

解：如图，过点E作EF_LAC于尸，作于点

,ZEFD=ZBHD=90,

BH2=BC2-CH-,BH2=AB2-AH2,AB=AC=5,8C=4石,

80-(5+AH)2=25-AH2,

A/7=3,

ACW=8,

•；将线段BD绕D点顺时针旋转90。得到线段ED，

ABD=DE,NBDE=90°,

ZBDF+NEDF=90,且ZEDF+ZDEF=90,

:*ADEF=ZBDF,

在ABDH和ADEF中，

ZBDF=NAEF

■Z.BHD=NEFD,

BD=DE

：.\BDH=M)EF(AAS),

/•EF=DH.

'：DH=CH-CD=8-CD,

EF=8-CD

,：ACDEiffi^=icDxEF=1xC£>x(8-C£>)=-1(CD-4)2+8,

.♦.当8=4时，ACOE面积的最大值为8,

故选：B.

【点睛】

本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的性质等知识，

添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键.

6.已知点尸(一2,%),。(4,%),加(，％%)均在抛物线丫="+法+。上，其中

2am+h-0.若%n必>M,则m的取值范围是()

A.m<-2B.m>\C.-2<m<lD.1<m<4

【答案】B

【分析】

先证得点》)是该抛物线的顶点，根据点尸(-2,9)，。(4,竺)均在抛物线上，可

知该抛物线开口向下对称轴是直线x=，"，从而可以求得"，的取值范围，本题得以解决

【详解】

2am+b=Q

.b

..m=---

2a

...点M(m,”)是该抛物线的顶点，

二抛物线的对称轴为户如

,点P(-2,y),Q(4,竺)均在抛物线y="+bx+c上，且%之为肛

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解得m>1,

故选：B.

【点睛】

本题考查抛物线的图像性质，对称轴，熟练掌握抛物线的性质是关键

7.已知二次函数y=++bx+c的图像如图所示，有下列结论：①aX）；②廿-助。〉

0；③4“+。=0；④不等式以2+6-1）x+c<0的解集为修工<3,正确的结论个数是

【答案】A

【分析】

根据抛物线的开口方向、于x轴的交点情况、对称轴的知识可判①②③的正误，再根据

函数图象的特征确定出函数的解析式，进而确定不等式，最后求解不等式即可判定④.

【详解】

解：；抛物线的开口向上，

.">0,故①正确;

:抛物线与x轴没有交点

Ab2-4ac<0,故②错误

•••由抛物线可知图象过（1,1）,且过点（3,3）

19a+36+c=3

/.8a+2b=2

：.4a+b^\,故③错误；

由抛物线可知顶点坐标为（1,1）,且过点（3,3）

则抛物线与直线y=x交于这两点

ctx"+（&-l）x+c<0可化为*+/?x+c<x>

根据图象，解得：l<x<3

故④错误.

故选A.

【点睛】

本题主要考查了二次函数图象的特征以及解不等式的相关知识，灵活运用二次函数图象

的特征成为解答本题的关键.

8.如图，线段A5=10,点C、。在AB上，AC=B/）=1.已知点尸从点C出发，以每

秒1个单位长度的速度沿着A8向点。移动，到达点。后停止移动，在点尸移动过程中

作如下操作：先以点P为圆心，PA,P8的长为半径分别作两个圆心角均为60。的扇形，

再将两个扇形分别围成两个圆锥的侧面.设点P的移动时间为（秒）.两个圆锥的底面

面积之和为S.则S关于f的函数图像大致是（）

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D.

O\48t

【答案】D

【分析】

由题意，先求出上4=f+l,PB=9-t,然后利用再求出圆锥的底面积进行计算，即可

求出函数表达式，然后进行判断即可.

【详解】

解：根据题意，

VAB-10,AC=BD^\,且已知点尸从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿着AB

向点。移动，到达点。后停止移动，则0W8,

PA=t+l,

...PB=10-a+l)=9-f,

由PA的长为半径的扇形的弧长为：6。甯1)二*12

•••用心的长为半径的扇形围成的圆锥的底面半径为二

6

其底面的面积为硬止

36

山总的长为半径的扇形的弧长为：3需2=若。

18()3

P8的长为半径的扇形围成的圆锥的底面半径为二

O

其底面的面积为磴江

36

，两者的面积和5="+二(9一/)一二」_万(r-8/+41)

3636181'

二图像为开后向上的抛物线，且”"=4时有最小值；

故选：D.

【点睛】

本题考查了扇形的面积公式，二次函数的最值，二次函数的性质，线段的动点问题，解

题的关键是熟练掌握扇所学的知识，正确的求出函数的表达式.

9.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=--+26的顶点为A点，且与x轴的正

半轴交于点B,P点为该抛物线对称轴上一点，则OP+；AP的最小值为(

)

C.3D.2

【答案】C

【分

连接A。、A8,P8,作于H,8CJ.AO于C,解方程得到-x2+26*=0得8(2^,

0),利用配方法得到A(g,3),则QA=2G，从而可判断AAOB为等边三角形，接着利

用4P=30。得到PH=^AP,利用抛物线的对称性得到PO=PB,所以

OP+^AP=PB+PH,根据两点之间线段最短得到当“、P、8共线时，PB+P”的值

最小，最小值为8c的长，然后计算出8c的长即可.

【详解】

解：如图，连接AO、AB,P8,作尸""LOA于"，BCLAO于C,

则8(26,0),

,•*y=-2+2瓜=-(x-肉2+3,

/.4(6,3),

.•.OA=46)2+3Z=26,

••,顶点A在抛物线的对称轴上，

AB=AO=20,

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AB=AO=OB,

.•.△AOB为等边三角形，

:.ZOAB=ZABO=6CP,

/.OAP=-NQ48=30°,

2

:.PH=-AP,

2

AP垂直平分08,

:.PO=PB,

:.OP+-AP=PB+PH,

2

当”、P、8共线时，P8+P”的值最小，最小值为BC的长，

：AAOB为等边三角形，3。，4。于(7,

AC=—AO=y/3,

2

BC=ylAB2-AC2=J(26)2-(拘2=3，

..OP+g”的最小值为3.

故选：C.

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质以及最短路径

的解决方法，将OP+^AP转化为尸8+尸〃，根据当//、P、B共线时，PB+尸〃的值

最小，最小值为8c的长是解决本题的关键.

10.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2-2x+c的图象与x轴交于A、C两点，

与y轴交于点B(0,-3),若P是x轴上一动点，点D(0,1)在y轴上，连接PD,

则行PD+PC的最小值是()

39—

A.4B.2+2正C.272D.-+-V2

【答案】A

【分析】

过点P作臼，BC于J,过点。作。“L8C于”.根据

近PD+PC=ePO+*PC卜夜(PO+PJ),求出。P+/V的最小值即可解决问题.

【详解】

解：过点P作々，8c于J,过点。作于”.

•••二次函数y=/-2r+c的图象与y轴交于点8(0,-3),

-3,

；・二次函数的解析式为y=/-2x-3,令y=0,x2-2x-3=0,

解得x=-1或3,

・・・A(-1,0),B(3,0),

:.OB=OC=3,

NBOC=90。，

：.ZOBC=ZOCB=45°9

VD(0,1),

OD=1,BD=4,

♦:DHLBC,

：.ZDHB=90°,

设=则=

■:DH'BH'Bb1，

x2+x2=42,

X—25/2，

•*-DH=20,

VPJ±CB,

・・・ZPJC=90°，

:.叵PD+PC=6PO+与PC=夜(。。+夕),

试卷第12页，共51页

*/DP+PJ>DH,

DP+PJ22C，

...CP+/V的最小值为2近，

•，-0PO+PC的最小值为4.

故选：A.

【点睛】

本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短

等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题.

二、填空题

11.如图，在平面直角坐标系xO)，中，点P的坐标为(成-1,-m+5),。。的半径为1,

点Q在上，连接「。，若PQ与OO相切.则线段的最小值为.

【答案】不

【分析】

如图：过P作圆的切线PQ.连接OQ;然后根据两点间的距离公式求得OP\让根据勾股定

理求得PQ2,再运用二次根式的性质求PQ?的最值，进而求得PQ即可.

【详解】

解：如图：过P作圆的切线PQ,连接OQ;

•.,点P的坐标为(加-1,-m+5)

：.OP2=(-m+5)2+(/n-l)2=2m2—12m+26

的半径为1,即OQ=1

2222

PQ=OP-OQ=2m-1+26-1=2加2-12m+25=2(加一3)?+7

即当m=3时PQ?有最小值

.•.当m=3时PQ有最小值巾.

故答案为近.

【点睛】

本题主要考查了圆的切线的性质、勾股定理以及二次函数的应用，根据题意正确做出辅

助线是正确解答本题的关键.

12.如图，一段抛物线：y=-x(x-6)(喷/6),记为C1,它与x轴交于两点O,A；

将G绕A旋转180。得到C?,交X轴于&；将C2绕为旋转180。得到G，交X轴于A，过

抛物线C1,G顶点的直线与CI、c»G围成的如图中的阴影部分，那么该阴影部分的

面积为.

【答案】108

【分析】

由函数＞=-彳。-6)=--+6尢,求出0(3⑼,再G(9,-9),C3(15,9),利用由图像可

知阴影部分的面积=；C£X点C2到C03距离，求解即可.

【详解】

因为函数y=-1(X-6)=*+6%

所以，对称轴：x=3，则当％=3时,产9,即G(3,9),由题意知G(9L9),G05,9)

所以，=3x4=12

由图像可知阴影部分的面积=SMQQ=氐&X点G到GG距离=；C4-(9+9)=

1x12x18=108

2

故答案为108.

试卷第14页，共51页

【点睛】

本题考查的是二次函数与图形运动得综合性题目，解题的关键是，掌握抛物线顶点坐标、

函数与坐标轴的交点等点所代表的意义、图象上点的坐标特征等.

192

13.如图，抛物线-的图象与坐标轴交于A、B、D,顶点为E,以AB

为直径画半圆交y轴的正半轴于点C,圆心为M,P是半圆上的一动点，连接EP,N

是PE的中点，当P沿半圆从点A运动至点B时，点N运动的路径长是.

【答案】1.5万

【分析】

求出A、B、E坐标，由题意可知点N在以EM为直径的圆上，当尸沿半圆从点A运动

至点8时，点N运动的路径是半圆，求弧长即可.

【详解】

192

解：当>>=0时，0=—%2——X——)

解得，x\=-2,M=4,点A的坐标为(-2,0),点8的坐标为(4,0),

所以M点坐标为(1,0),

由抛物线可知，E点坐标为(1,-3),贝IJ

•.•N是PE的中点，

ZMNE=90°,

.•.点N在以EM为直径的圆上，

当点P与8重合时，N点坐标为(2.5,-1.5),当点尸与4重合时，N点坐标为(-0.5,

-1.5),故点N运动的路径是以为直径的半圆，

由坐标可知EM=3,

点N运动的路径长为：yx3^=1.57r,

故答案为：1.5万.

【点睛】

本题考查了二次函数的性质和弧长公式，解题关键是确定点运动的轨迹，利用弧长公式

准确求解.

14.如图，抛物线y=：x2-4与x轴交于A、B两点，P是以点C(0,3)为圆心，2

为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ,则线段OQ的最小值是.

【答案】|3

【分析】

连接8P,如图，先解方程:4=0得A(-4,0),B(4,0),再判断。。为AABP

的中位线得到利用点与圆的位置关系，连接BC交圆于P时，P8最小，

然后计算出BP的最小值即可得到线段OQ的最小值.

【详解】

试卷第16页，共51页

解：连接8P,如图,

当y=0时，-/-4=0,解得%i=4,X2=-4,则A(-4,0),B(4,0),

4

是线段外的中点，

二。。为A48P的中位线，

：.OQ=^BP,

当8P最小时，。。最小，

连接交圆于尸时，P3最小，

•.皿=^77=5,

的最小值=5-2=3,

；•线段OQ的最小值为g.

3

故答案为：~■

【点睛】

本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过

来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系.也考查了三角形中位

线.

15.已知二次函数)，=底+法+°的图像经过点(3,0)与(-1,0),关于x的方程

ox?+Z?x+c+〃?=0Q">0)有两个根，其中一个根是5,若关于x的方程

ajc2+bx+c+n=0(0<n<m)有两个整数根，则这两个整数根分别是.

【答案】4或-2

【分析】

根据题目中的函数解析式和二次函数与一元二次方程的关系，可以得到关于x的方程

a^-+bx+c+n=Q(0<”</w)的两个整数根，从而可以解答本题.

【详解】

•••二次函数y=#+法+c的图像经过点(3,0)与(-1,0),

/.ax2+bx+c=0的两个根为3和-1,函数y=ox2+〃x+c的对称轴是直线x=l,

•关于x的方程加+陵+。+布=0(.m>0)有两个根，

.,.方程ax2+bx+c+m=Q(?n>0)的两个根为函数与直线y=-m的两个交点的

横坐标，

二•方程加(/n>0)一个根是5,函数的对称轴是直线x=l,

方程“K+〃X+C+/M=0(/n>0)的另一个根为-3,函数.La^+fex+c的图象开口向下，

:方程ax2+bx+c+n=0两个根是函数y=ax1+bx+c与直线y=-n的两个交点的

横坐标，

，方程以2+以+。+”=0(0<n<m)两个根，一个在在5和3之间，另一•个在-3和-1之

间，

...关于X的方程以2+灰+c+〃=0(0<"<〃z)的两个整数根是4或-2,

故答案为：4或-2.

【点睛】

本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明

确题意，利用二次函数的关系解答.

16.已知二次函数y=(x-㈤2一1(m为常数)，如果当自变量x分别取-3,—1,1时，

所对应的y值只有一个小于0,那么m的取值范围是.

【答案】-A<m<2S,m^-2,m^0

【分析】

题目中给定三个x的取值，-3,-1,1,对应的y值只有一个小于0,由二次函数可得其

对称轴为*=%开口向上，需对对称轴进行分类讨论，①m>0=—詈时，x=l时取最

2

小值，对应的”->0,”=一3>0；②-3+(-)=-2<、?<0=土时,x=-l

22

取最小值，对应的匕一<0,人=|>0，”—>°；③加>_2=_3+(―1)时,》=一2取最

2

小值，对应的"7<o，y=i>。，>7>o,综合①②③，同时根据树形结合思想，得

〃，的解集，即可得出答案.

【详解】

二次函数y=(x-nt)2T对称轴为x=〃,.

①〃z>0时，x=l时取最小值，

试卷第18页，共51页

1(-1-w)2-1>0,解得0</M<2；

(-3-W)2-1>0

②-2Vm<0时，x=-l时取最小值，

<(1-m)2—1>0,解得一2<7n<0；

(-3-施)2-1>0

③m<-2时，x=—3时取最小值，

'(-3-w)2-l<0

*(―1—/n)2—1>0,解得—4<〃?<—2.

(1-/M)2-1>0

当机=一2时，y=0有两个对应值为：x=-l,x=-3,当x=l时，y>0与题意矛盾，

/.m*—2；

当机=0时，N=0有两个对应值为：x=-l,x=l,当x=-3时，y>0与题意矛盾，

综上可得：，”的取值范围为：且加力-2,相片().

故答案为：Y<m<2且〃?x-2,mr0.

【点睛】

题目主要考察分类讨论、树形结合思想及二次函数基本性质、解不等式组等，根据题意，

对m进行分类讨论、考虑临界值是否满足题意是解题关键.

17.已知二次函数丫=犬2-2取+/-34+6的图象与x轴没有公共点，且当x<-l时，y

随x的增大而减小，则实数a的取值范围是.

【答案】-L,，Y2

【分析】

由题意得：△<(),解得a<2,当x<-l时，>随x的增大而减小，则。…-1,即可求解.

【详解】

解：由题意得：△=(一2。)2-4(/-3。+6)<0,解得a<2,

vl>0,故抛物线开口向上，对称轴为x=a

当xv—i时，y随工的增大而减小，则

二实数。的取值范围是

故答案为：-L,"<2.

【点睛】

本题考查了抛物线与X轴的交点：把求二次函数），=62+云+,（“，人，c是常数，4*0）

与X轴的交点坐标问题转化为解关于X的一元二次方程.也考查了二次函数的性质.

18.如图，在矩形ABCD中，A8=2cm,AQ=5cm,点P为边AD上一个动点，连接

CP,点P绕点C顺时针旋转90。得到点产，连接CP并延长到点E,使C£=2CP,以

CP、CE为邻边作矩形PCEF,连接DE、DF,则△£＞防和面积之和的最小值为

31

【答案】v

【分析】

过点。作。于H,设PZ）=x,然后利用勾股定理求出尸C,CH,EF的长，然后

表示出面积，利用二次函数的性质求解即可.

【详解】

解：如图，过点。作。HLPC于"，设

•••四边形A8C。是矩形，

：.AB=CD=2cm,/POC=90°,

PC=JDP2+CD2=j4+x%m，

,：DH1.PC,

；.gpCgPH=；CD#D

：.CH=yJCD2-DH2=,4cm,

:四边形PCEF是矩形，

,"EF=PC—5/4+x2cm，

试卷第20页，共51页

EC=2PC=2>/4+x2cm，

131

.,•当X二万时，S&DEF+5ADC£有最小值—,

31

故答案为：—.

4

【点睛】

本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，三角形面积，二次函数等知识，解题的关键在

于能够熟练掌握相关知识进行求解.

19.已知关于x的方程,+2px-3P2+5卜9=0,其中P、q都是实数.若方程有三个

不同的实数根为、占、不，且,+―+—=0,则4的值为__________.

X]x2x3

【答案】3

【分析】

根据绝对值的非负性可得g>0,根据题意方程有三个不同的实数根，将问题转化为2

个函数的图象交点，根据二次函数的解析式确定顶点坐标，进而确定一个根，进而可得

q=4p2-5,根据二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系可得

小三的和与积的值，进而求得p2的值，进而求得g的值.

【详解】

依题意，卜?+2p氏-3/r+5|-g=0

••x2+2px—3p，+5=±4

设y=f+2px-3P2+5

%=±q

・••方程有三个不同的实数根占、£、工，

则%与为的图像有三个不同的交点，

=x2+2px-3p2+5

a=l>0,对称轴为x=-P

・•,则M与片的图像有三个不同的交点，

贝|Jy=-q经过)1的顶点

设XLP,则_六4(5-3P2)-4"

=5-4p2

即g=4/?_5

设为'》2是X?+2px-3/?2+5=4的两根，

则x2+2px_3/+5=4p2_5

即x2+2px-lp2+10=0

2

/.X]+x2=-2p,x1x2=10-7p,x3=-p

111c

—i------1—=0

x2x3

.、+/I],-2/?।[=]0—5//二0

毛10-7/?2-p(Ip2-10)p

p2=2

•/A=(2p)2-4(10-7p2)=32p2-40>0

解得p2>0

4

p?=2

q=4p2-5=3

故答案为：3

【点睛】

本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，函数图象交点问题，根与系数的关系，二

试卷第22页，共51页

次函数的图像与性质，将方程的解转化为图象交点问题是解题的关键.

20.定义：在平面直角坐标系中，若点A满足横、纵坐标都为整数，则把点A叫做“整

点”如：仇3,0)、C(-l,3)都是“整点”.当抛物线y="2_46+1与其关于x轴对称抛物

线围成的封闭区域内(包括边界)共有9个整点时，”的取值范围______.

23

【答案】

【分析】

通过抛物线的解析式可得对称轴为x=2,过点(0,1),对。分情况讨论或分

别求解即可.

【详解】

解：由y=d-4ax+l可得x=2,过点(0,1),

当”0时，开口向下，如下图:

此时整点有(0,0)，(1,0)，(2,0),(3,0),(4,0),(0/),(1,1),(2,1),(3/),(4,1)…等等，显然超过9个,

不符合题意；

要保证封闭区域内(包括边界)共有9个整点，需要满足

fx=1[x=2

c,,c,,此时整数点为(1,0),(2,0),(3,0),(1,-1),(2,T),(3,-1),

(1,1),(2,1),(3,1)

试卷第24页，共51页

-2<-3a+l<-l解得2冷3

-2<-4a+l<-l

故答案为:23

【点睛】

此题考查了二次函数的新定义问题，涉及了二次函数的性质与一元一次不等式组的求解,

解题的关键是理解题意，并列出不等式组.

三、解答题

21.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax?-bx+2a过点A(-2,0).

(2)当OWxWl时，y的最小值为4,求抛物线的顶点坐标；

(3)若点B(n-3,yi)、C(n,y2),D(n+2,y3)都在该抛物线上，且总有yi<y3

<y2<-4.求n的取值范围.

4

-3ai5

【答案】(1)x=-］；(2)(,--)；(3)--<n<-1

【分析】

(1)把点A的坐标代入抛物线的解析式中，可得服〃的关系，从而可求得抛物线的对

称轴；

(2)首先0M1在对称轴的右侧，就。的符号讨论，根据抛物线的增减性质即可求得

顶点坐标；

(3)根据条件易得抛物线的开口向下，且点8在对称轴的左侧，点。在对称轴的右侧，

则就点C的位置讨论，并结合图象即可求得〃的范围.

【详解】

(1)：抛物线y=ax2—-+2a过点A(-2,0)

4ei+2b+2a=0

b=-3a

/.y=ax2+3ac+la

抛物线的对称轴为直线尤=-半=-w

2a2

(2)①当。>0时，

・・•当0人1时，)，随x的增大而增大，

，当户0时，y取得最小值4,

・•・抛物线过点(0,4)

2a=4

/.a=2

②当“VO时，y随x的增大而减小，

・•・当户1时，y取得最小值4,

，抛物线过点(1,4)

a+3a+2a=4

2

•*.«=-(舍去)

综上所述：〃二2

,31

y=2,x+6x+4=2(x+—)~9——

抛物线的顶点坐标为(-|，-g)

(3);抛物线y=OT2+3QX+2。

顶点坐标为-4)

24

,总有yi<y3<y2<——

.••抛物线开口向下，且点8始终位于对称轴的左边，点。始终位于对称轴的右侧.

.••①当点C在对称轴上或左边时，如图，

试卷第26页，共51页

..——<n<——

22

②当点C在对称轴右边时，如图,

2

综上所述：一|<“<-1

【点睛】

本题是二次函数的综合，考查了二次函数的对称轴、顶点坐标、增减性等性质，涉及分

类讨论思想，数形结合思想.

22.如图1,抛物线y=/x2+bx-4交x轴于A,B两点（A在B的左侧），与y轴交于

点C,且OC=2OB.

(1)求抛物线的解析式；

(2)连接AC,BC,点P在抛物线上，且满足NPBC=NACB,求点P的坐标；

(3)如图2,直线1：y=x+t(-4<t<0)交y轴于点E,过直线1上的一动点M作

MN〃y轴交抛物线于点N,直线CM交抛物线于另一点D,直线DN交y轴于点F,试

求OE+OF的值.

.3()44

【答案】(1)y—万炉+x-4；(2)(——,—)；(3)8

【分析】

(1)求出点B的坐标，由抛物线的解析式可得出b的值，抛物线的解析式即可求解；

(2)延长CA、8P交于点。，设点Q的坐标为(m,n),求出直线AC的解析式为y=-x-4,

m+2n+3-0

解方程组可求出点Q的坐标，联立直线8Q和抛物线的解析式，则可得

n=-tn-4

出答案;

(3)设点。的坐标为(s,+5-4),可求。(0,-4),由题意得出;=1+4,

y=mx+n

设直线0M由《12得出=-8—2〃，贝=-4一〃,可

y=-x+x-42

2

得出“力=8,由点的坐标可得出0E+0F=8

【详解】

解：(1)对于抛物线y=Jf+陵-%当户0时，y=-4,

；•点C的坐标为(0,-4),即。。=4,

OC=2OB

：・OB=2,即点8的坐标为(2,0),

1、

.,.-X22+2/?-4=0,

2

解得解1,

试卷第28页，共51页

抛物线的解析式为尸方/+》-4；

（2）延长CA、BP交于点Q,设点Q的坐标为（m,n）,

•;NPBC=ZACB,

QC=QB,

QC2=QB2,即/??+(〃+4>=(2广+后

整理得：m+2〃+3=0,

解方程gf+x-4=0得：5=-4,%=2,

...点A的坐标为（-4,0）,

设直线AC的解析式为y=kx+b,

—4k+b=0k=-l

则I,解得

〃=-4'

，直线AC的解析式为y=-x4

•••点。在直线AC±,

/.n=-m-4

机+2〃+3=0m=-5

，，解得

n=-m-4n=1

•••点Q的坐标为（-5,1）,

设直线BQ的解析式为y=px+q,

1

p=~l

-5；p+(7=1'解得

则2+q=0

2

q”

12

.,・直线BQ的解析式为y=--x+-,

1230

y=——x+—“2=一~Z-

「,得X,=2一7

解方程组7

44

y=—x2+x-471=°

2%=而

3044

•••点P的坐标为（7，-）

(3)设点。的坐标为(s,^?+5-4),可求C(0,-4),

...直线CQ的解析式为y=gs+l)x-4,

联立卜=j+D>4,得X+,=(}+DA4,

y=x+t

・'"+4=-sx,

2

・，・'+4=gsxM,

设直线ON：y=rwc+n,

y=mx+n

Ji

联立1、^-x2+(l-zn)x-(7?+4)=0,

y=-x-+x-42、/

2

一(枕+4)

S"N=—^-：——-=-8-2n

1,

2

1)

5"4=-4-〃，

・.・MN//y轴,

：*XN

r+4=-4-n,BP-r-n=8,

•：OErOF=-n

：.OE+OF=S.

【点睛】

本题考查了二次函数解析式的求法及二次函数与一次函数的综合问题，解题的关键是作

出辅助线，用待定系数法求出相关关系式并联立求解.

23.如图，抛物线y=ax?+x+c交y轴于点A(0,2),交x轴于点B(-1,0)及点

C.

(1)填空：a=,c=，点C的坐标为；

试卷第30页，共51页

（2）把△ABO逆时针旋转90。得△APO（其中点A与A，,B与B，分别是对应点），

当4ABCT恰好有两点落在抛物线上时，求点A，的坐标；

（3）点P（m,n）是位于x轴上方抛物线上的一点，APAB的面积记为Si,△PAC的

面积记为Sz,APBC的面积记为S3,若满足Si+S2=S3,求m的值.

【答案】（1）1.2,（2,0）;（2）电，益⑶字或当」

【分析】

（1）利用待定系数法求解即可；

（2）设A'（玉,yj,B'（x2,y2）,的解析式为y=-gx+6,求出A0的解析式联立方

程求解即可；

（3）连接3P交y轴于点M,过点P作PE_Lx轴，交AC于N,则E（〃?,0）,求出BP

和4c的解析式，根据$+S2=S3计算即可；

【详解】

⑴将A（0,2）,代入尸加+x+c,得，

c=2

小解得

c=2

抛物线的解析式为y=-V+X+2,

当y=0时,即-f+x+2=0,

解得：玉=2,X2=-1,

•.•点C在正半轴，

；•点C的坐标为（2,0），点B的坐标为（-1,0）；

故答案是：-1,2,（2,0）；

（2）如图所示,

/.A'B'=ylOB2+OA2=^(-1)2+22=,

设4（%,乂），8'（马,力），A®的解析式为y=-；x+Z>,

)―2X+b,整理得2/-3x+2匕-4=0,

则

y=-x2+x+2

31

/.Xj+x2=—,XjX2=b-2,k=-—,

：•A9==w+wq+x2y

解得：〃=2¥5

16

1?5

・・・A®的解析式为y=-三+孑,

216

125

y=——x+—

：.<216,

y=-x2+2