2023届河南省豫北中原名校大联考高三年级上册10月份大联考数学（理）试题（解析版）

2023届河南省豫北中原名校大联考高三上学期10月份大联

考数学(理)试题

一、单选题

1.已知集合4={力=2向琲,B=„+x-240},则Au5=()

A.[-2,2]B.[-2,1]C.[0,1]D.[0,2]

【答案】A

【分析】先将两个集合化简，用区间表示法表示，然后求并集即可.

【详解】因为—IWsinxWl,所以0卦山工区1,得042忖M42,所以集合

A={y|y=2卜inx|}=[0,2]；因为父+》_240,得(了+2乂万一1)40,解得—2MxS,

所以集合8={n炉+。一240}=[—2,1],所以AUB=[-2,2].

故选：A

2.已知平面向量£与坂的夹角为弓，若W=3,B+B卜屈，则同=()

A.2B.3C.2百D.4

【答案】D

【分析】由+B卜而两边平方化简可求得答案

【详解】由B+耳=至平方可得|«|2+区1+2d出=13,

因为W=3,平面向量£与B的夹角为夸，

所以用+|t|2+2|a|-|S|cos-^=|«|2+9-3同=13即同--3同一4=0,

解得同=4或同=-1(舍去)，

故选：D

3.#sin(tz+—)=-,则sin(2a+2)=()

656

7「16-7-16

AA.-----B.-----C.—D.—

25252525

【答案】C

【分析】根据二倍角的余弦公式和诱导公式即可求解.

【详解】sin(a+^)=|,.,.cos[2(a+当]=1-2sirP(a+£)=三，

656625

sin(2a+—)=sin(2a+—+—)=cos(2tz+—)=—

632325

故选：c

4.已知虚数z满足z2-z+l=0,则|z|=()

A.0B.1C.0或1D.2

【答案】B

【分析】设虚数Z=4+以将Z代入，得出“力,计算回即可.

【详解】解油题知,设虚数z=a+bi,a,bwR,代入z?_z+1=0可得

a2-a+l-h2)+(2ab-b)i=0

a2-a+\-b2=0

2ab-b=0

b=±——

/-Q+1=0人2

可得2

b=。商或

a=­

2

故Z=；±—i,.-.|z|=l,

22

故选:B.

5.已知｛%｝为等比数列，其公比为g,设〃：夕>1,广。2022<。2023，则〃是〃的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】取％）22<0,利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.

【详解】当4>1时,右。2022<。，则。2023=。20224<”2022，即P*

另一方面,取％）22<0，由外022<出023="2022<7，可得”1且即夕斐厂.

因此，。是r的既不充分也不必要条件.

故选：D.

6.我们知道二氧化碳是温室性气体，是全球变暖的主要元凶.在室内二氧化碳含量的

多少也会对人体健康带来影响.下表是室内二氧化碳浓度与人体生理反应的关系：

室内二氧化碳浓度（单位：PPm）人体生理反应

不高于1000空气清新，呼吸顺畅

1000-2000空气浑浊，觉得昏昏欲睡

2000〜5000感觉头痛，嗜睡，呆滞，注意力无法集中

大于5(XX)可能导致缺氧，造成永久性脑损伤，昏迷甚至死亡

《室内空气质量标准》和《公共场所卫生检验办法》给出了室内二氧化碳浓度的国家标

准为：室内二氧化碳浓度不大于0.1%（0.1%即为lOOOppm）,所以室内要经常通风换

气，保持二氧化碳浓度水平不高于标准值.经测定，某中学刚下课时，一个教室内二氧

化碳浓度为2000ppm,若开窗通风后二氧化碳浓度＞%与经过时间，（单位：分钟）的

关系式为y=0.05+/le＜（/leR），则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要开窗通

风时间至少约为（参考数据：ln3=1.099,ln5-1.609）（）A.10分钟B.11分钟

C.12分钟D.20分钟

【答案】A

【分析】由r=0,y=0.2可求得2的值，然后解不等式＞40］，可得结果.

【详解】由题意可知，当r=o时，y=0.05+4=0.2,可得4=0.15,则y=0.05+0.15/；，

由y=0.05+0.15eF40.1，可得fN91n3*9.891,

故该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要开窗通风时间至少约为10分钟.

故选：A.

7.在中，角A,B,C的对边分别为a,h,c,2acos2^=a+c,则AABC为（）

A.钝角三角形B.正三角形C.直角三角形D.等腰直角三角

形

【答案】C

【分析】利用二倍角公式和正弦定理进行化简，结合三角形内角的范围即可得到答案

【详解】由24cos2O=a+c结合正弦定理可得2sinA♦匕90=sinA+sinC,

22

即sinA+sinAcos8=sinA+sinC,

所以sinAcosB=sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB,

所以cosAsin3=0,

因为sin8＞0,所以cosA=0,

7T

因为所以A=/,故AMC为直角三角形，

故选：c

8.已矢口函数/（x）=3"+2：inx+"C°〃x的最大值与最小值之和为6,则实数a的值为（）

3+cosx

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】根据g(x)=；^二,X€R为奇函数，f(x)=r+.,2sg求解即可.

34-cosX3+COSX

■、斗”、3〃+2sinx+〃cosx〃(3+cosx)+2sinx2sinx』、、，2二八

【详解】解：/(x)=----------------=---------------=a+-------，定乂域为R,

3+cosx3+cosx3+cosx

2sinx

令g(x)=,xeR

3+cosx

因为g(-x)=-；sm"=-g(x),所以函数g(x)为奇函数,

J)IVVo人

设g（x）的最大值为M,最小值为m,

所以M+m=O,

因为/,（X）max=a+MJ（X）min=。+"1，函数/⑴的最大值与最小值之和为6,

所以/(冷皿+/(x)mM=2a+M+m=2a=6,解得4=3.

故选：B

9.已知等差数列｛q｝的公差不为0,设S*为其前〃项和，若Sg=0,则集合

｛小=S*,左=1,2,…,2023｝中元素的个数为（）

A.2022B.2021C.2015D.2019

【答案】D

【分析】根据S,=o可得出4、d的等量关系，求出集的表达式，利用二次函数的对称

性和单调性可得出集合｛也=&«=1,2,…,2023｝中元素的个数.

8x9

【详解】因为59=94+;一”=94+36〃=0,可得q=-4d,且dwO,

81

T

且数列｛耳｝（425）单调递增,

根据二次函数的对称性可知5=$8，S2=S7,其=$6，S4=S5,

故集合3|x=1,%=1,2,…,2023｝中元素个数为2023-4=2019.

故选：D.

jr

10.已知函数/(x)=sin@x-cos3x(3>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为彳，则

下列结论错误的是()

A./(x)的图象关于点卜署,。)对称

B.“X)在《号上单调递增

C.在0,y上的值域为

D.将/(x)的图象向右平移9个单位长度，得到的函数图象关于y轴对称

O

【答案】C

【分析】利用辅助角公式将函数化简，再根据函数的最小正周期求出0,即可得到函数

的解析式，由正弦函数的对称性可判断A；根据正弦函数单调性通过解不等式可判断B；

根据x的范围和正弦函数的性质直接求解可判断C；由函数图象的平移变换，结合余弦

函数的性质可判断D

【详解】解:/(x)=sin(ox-coscox

TT

•••函数/(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为T,

TT2才

・二函数的最小正周期是Wx2=),，7="二'，

2co

•*.69=2,/(x)=5/2sin^2x——'j,

/[一所>,in1一,一J卜sin(—%)=0,，f(力关于(一对称，故A正确;

由一]+2EW2工一?+eZ,解得一2+E<x<+kn,kGZ,

冗37r7TTTTT37r

所以/(x)的一个单调增区间为一^，丁，而一V，

ooJ[_124J[_00

jrjr

在-正,了上单调递增，故B正确；

-TT则—工42x-%4。乃，所以—也〈sinjzx—

当04XJ时，<0<2X<TT,

4442I4J

故C错误;

将/(x)的图象向右平移！个单位长度得到

O

y=&sin2卜-小-2=J^sin12》一M=-Jicos2x关于》轴对称，故D正确.

故选：C

11.在各项均为正数的等差数列｛q｝中，4、的、4构成公比不为1的等比数列，S“是

\--—|的前"项和.若WweN*,5„<—,则4的最小值为()

A.-B.-C.1D.2

【答案】A

【分析】设等差数列｛q｝的公差为d,则卬>。且d>0,根据已知条件可得出d与卬的

关系式，求出数列｛%｝的通项公式，再利用裂项相消法求出S,,,根据题意可得出关于q,

解之即可.

【详解】设等差数列｛q｝的公差为d,则4>。且d>(),

由已知可得W=a1a6,即(q+d)~=q(q+5d),可得d=3q,

所以，4,=4+(〃-1”=(3〃一2)4,

,]=I=_J______

a“a“+i(3〃-2)(3〃+l)a：3a；13"-23n+1J'

所以，S„=-^-[l--+---+--+--------=一一[<工，

1"3。鼠4473n-23n+lJ3a；(3n+1)3a：

c11、11

V/7eN",S“<一,贝|J一可得q2；,

443q3

因此，6的最小值为;.

故选：A.

12.已知a,h,ce(O,l),且e"ln2=2a,391n2=8"2ec-2=c,则()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>a>h

【答案】B

【分析】将e"ln2=2a转化为《=2、3e'Tn2=8b转化为且=』-,2e"2=c转化为

aIn2h3In2

c2e”

上e=上e，作出/。)=^的图像，根据%>%>%，可得a>c>b.

c2x

【详解】构造函数/1)=《(0<%<1),f'(x)=(X~')eX<0,

XX

・•・函数/(x)=《在(0,1)上单调递减，f(l)=e,

X

e"ln2=2a可转化为f=2,3苫1：12=86可转化为或=—§—,

aIn2b3ln2

2ei=c可转化为三=更，

c2

下面比较乂=吃%=上,％=3的大小关系，

In231n22

显然:y2>yt,

2e24-e21n2ln(e2)2-ln2e：

y-y=-------=---------=-------------，

13In2221n221n2

设g(f)=〃—2',由丫=产和丫=2，的图像可知：

当f>4时，2'>『,Fije2>4,所以21>(e?)2,

所以-%<0，即)4<%.

8e216-3e2In2ln(e2)8-ln8c；

>2-y,=--------=-----------=-------------

2331n2261n26In2

设/2。)=/-8',y=/"和y=8'的图像如图所示:

因为2$>82,所以于0e(0,2),使得曜=8"，

所以当2<f<8时，产>8、而2《2<8,所以@)8>81，

所以、2-%>。，即%>为，

综上：%>%>/,

则a,6,c分别函数/(x)=J与直线必=工，必=」一，%=又的交点横坐标，

xIn23In22

如图所示:

【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之

中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，

抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对

函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.

根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.

许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.

二、填空题

13.已知“eR,若复数2=/一。-2+(/+3〃+2)为纯虚数，则〃=

【答案】2

【分析】利用纯虚数的概念，实部为零且虚部不为零，解出。即可

【详解】因为z=6-a-2+(〃+3a+2)i为纯虚数，

CT—a—2=0

所以解得a=2

a2+3a+2w0

故答案为：2

14.已知/(x)=e、-#,若曲线y=〃x)在处的切线方程为y=fer+e,则

bn

cos——=.

a

【答案】-1

【分析】由导数的几何意义列方程即可求解.

【详解】当％=1时,y=b+e9所以/6=e-“="e,

即。+。=0①，

又((x)=e*-2or,可得/'⑴=e-2a=匕②,

由①②可得：a=e,b=-e,

hir

所以COS—=COS(-7C)=-1.

故答案为：-1.

15.己知/(x)=e"-；«x2-x-l(a>0),若VxNO,/(x)20恒成立，则实数。的取值范

围为.

【答案】{«1«>1}

【分析】首先确定/(0)=0,确定/(x)在［0,y)最初单调性应该是单调递增，在求出/(x)

的一次导数和二次导数，分类/(X)在〃的不同范围下，x)的单调性，最后得出答案.

【详解】由/(x)=e"—(奴?—x—1可知/(x)=ae'-ax-X,

设〃(x)=ae'"-or-1,则h\x)=a2^-a

令h\x)-a2etix-a=0,解得x=，ln，,

aa

当xe0,-ln-时，hXx)<0；当xe时，h\x)>0,

aaaa)

即/(幻在单调递减，在LnL+s］单调递增

aa)aa)

即小讣In-1

ae-In——l=\na

mina

若lna<0,则,f(x)则在［0内)单调递减，其中

aa

因为/(0)=0,则VxNO,.f(x)20不能恒成立;

故InaNO,使得/'(x)min20,f(x)在［0,+8)单调递增，此时f(x)的取值范围满足题意,,

解出“21

故答案为：

【点睛】思路点睛：

高中考查函数求导的题型中，给出的函数类型一般是有限单调型，故求函数恒成立问题

时，可先判断端点值，根据端点值预测函数单调性的走向，再求出导数，证明自己的预

测.

以此题为例：先判断出.f(0)=0,可预测Ax)的单调性应该是单增型或者先增后减再增

型，以此判断其导数应该是恒大于等于0或者先大于0,讨论情况证明即可.

三、双空题

16.如图为矩形ABCQ与半圆。的组合图形，其中他=24）=2,E为半圆弧上一点,

EFVAB,垂足为F,点P在线段AZ）上，且PE=PP,设NCOE=。（04。＜］），则！PEF

的面积S与。的关系式为S=；S的最大值为.

【分析】设斯与C。交于点G,根据题意可得到EE3G,通过三角形面积公式以及

三角函数的化简即可得到S与。的关系式，利用三角函数的性质即可求得最值

【详解】设EF与CD交于点G,

根据题意可得EF=EG+GF=QEsin6+1=l+sin6»,

DG=DO+OG=1+OEcos0=1+cos0,

因为跖_LAB,ADJ.AB,所以AD//EF,

所以！PEF的面积

S=SJ*=；EF.DG=；(1+sin0)(1+cos。)=g(sin0+cos0+sinSeos6+1)

2

1「.A,(sin0+cos6»)-l/I(sin®+cose)2\.n八、1

=-sine+cos6+---------------------+1---------------—+-(sin0+cos61)+-

22424

=—（sin0+cos0+l）2=~>/2sin|+―|+1,其中046〈1，

441I4j

因为OKdv万，所以£<，+£<斗，

444

所以-*sin]吒卜1,

所以当且仅当。=5时，sin[+?）取最大值为1,

所以S的最大值为[（及+1）2=土逑，

44

故答案为:斗夜sin/e+A+l]（046<%）；3+2近

414/4

四、解答题

2

17.已知S“为数列｛为｝的前〃项和，且4=1,Sn=nan.

⑴求。2，。3；

（2）求｛%｝的通项公式.

【答案】（1）〃2=7，%=二,

3o

【分析】（1）将〃=2和〃=3代入即可求值；

（2）根据g和S“的关系，结合累乘法即可求解.

【详解】（1）当〃=2时，S2=4a2,即4+42=442,

又4=1,所以%=g,

当〃=3时，有q+%+%=9%，解得

(2)因为S.=〃2。“，所以=(”+1)24+],

两式相减得：S„+l-S„=(〃+1)2〃用一〃2%,

即4+1=("+1)2%-〃%.，

2

化简得：n(n+2)a„+l=nan,

a„^n

所以5+2Mm=na„,BP-=—r,

an〃+,

W%an12n-\

/.an=a}xix-x・・・x—=Ix-x—x…x-----

a}a2a〃_]34〃+1

化简得：％==八・

〃("+1)

2

故{4}的通项公式4=“(“+[).

sin(2;r-0)cos(万+0)cosl^+0Icos弩-0

18.(1)已知2,求cos10；

cos(4-ff)sin(3^-6)sin(一乃一6)sin[半+0

V10

(2)已知a,4且sina=V，sin[}=—>求a+尸的值.

510

【答案】（1）I;⑵；

【分析】（1）利用诱导公式可得tan6=-2,然后利用二倍角公式和同角三角函数的基

本关系即可求解;

（2）先利用同角三角函数的基本关系求出cose,cos尸，再利用两角和的余弦公式结合

范围进行求解

1\71j=cosf^-0j=-sin0,sin[9半万+O：=sin[7g1+e)=cose,

【详解因为cos

22

所以

sin(2^--6)cos(;r+6)cos(g。Icos

cos(笈-6)sin(3^--0)sin(一左一6)sin(半+6

-sin^(-cos^)(-sin^)(-sin^=_sin£=_ta^=2>即1ali”一2

-cos8sin。sin8cos0cos0

cos20-sin201-tan203

litcos20=cos2^-sin20=

cos2^+sin2^1+tan265

,Ksina=—,sin〃=@^,

(2)因为a,

510

所以cosa=V1-sin2a=~~，cos/3=-y/l-sin2/7=~~~，

所以侬—闭心…”…叱竽^噜一去噜呼,

（0，1）所以。+/€（0,兀）,

因为。，Bw

兀

所以a+y

19.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为。、b、c,且asin（3—C）=〃sin（A-C）.

(1)证明：a=h；

12

(2)若c=5,cosC=—,求△ABC的面积.

【答案】(1)证明见解析

小、125

⑵工

【分析】(1)利用正弦定理结合两角差的正弦公式化简可得出sin(A-8)=0,分析可得

出A=3,即可证得结论成立；

(2)利用余弦定理可求得标的值，利用同角三角函数的基本关系求出sinC的值，再利

用三角形的面积公式可求得结果.

【详解】⑴解：由asin(8-C)=Asin(A-C)及正弦定理可得

sinAsin(B-C)=sinBsin(A-C),

即sinAsinBcosC—sinAcosBsinC=sinAsinBcosC-cosAsinSsinC，

BPsinC(sinAcosB-cosAsinB)=sinCsin(4—B)=0,

・.・A、B、CG(0,7T),则sinC>0,所以，sin(A-B)=0,

则A-3=(),所以，A=Bf故a=A.

(2)解：由余弦定理可得C2=25=a2+b2-2abcosC=2a2——a2=—a2,

12s

COSC=—>0,则。为锐角，故sinC==j,

1313

m。1,.「113x255125

因此,5AA8C=-^sinC=-x—x—.

TT

20.在平面四边形48co中，AB=4)=20,ZBAD=-NBCD号.

(1)若=求BC的长;

(2)求四边形A6co周长的最大值.

【答案】⑴心吟

（2）40+^^.

3

【分析】(1)分析可知为等边三角形，求出BD的长，以及NBDC,利用正弦定

理可求得8c的长;

(2)利用余弦定理结合基本不等式可求得BC+8的最大值，进而可求得四边形

周长的最大值.

【详解】⑴解：连接B。,

因为AB=A£>=20,ZBAD=,故△ABO为等边三角形，:.BD=20,

^CBD=ZABC-AABD=,则ZBOC=兀一/BCD—NC3O=巴，

123124

，

百⑪十一BDBCg、i叱B£>Sn420A/6

由正弦7E.理得-———~»所以，BC=------

sinZBCDsinZBDCsin—3

.T

2TE

（2）解：由余弦定理可得400=BD?=BC2+CD2-2BC-CDcos—=BC2+CD2+BCCD

=（叱+8"皿（叱+8）2.%8）、3（丁）2,

所以，BC+CO4处8,当且仅当8C=C£>=^^•时，等号成立.

33

因此，四边形48co周长的最大值为40+竺如.

3

21.在数列｛4｝中，4=1,%=3,%=7,且数列｛q+「4｝为等比数列.

(1)求数列｛。“｝的通项公式；

(2)令〃,=(2n-l)a„,求也｝的前n项和5„.

【答案】⑴怎=2"-1

⑵S“=（2n-3）x2n+1-M2+6

【分析】（1）由题知〃向-4,=2",进而判断［会是首项为公比为g的等比数列

即可求得答案；

（2）根据题意d=（2w—1）%=（2〃—1）2"-（2〃-1）,进而根据分组求和和错位相减法求

和求解即可.

【详解】⑴解:因为4=1,%=3,%=7

所以。2-％=2吗一。2=4,

因为数列｛。用-4｝为等比数列，以*=2,

&一囚

所以，数列｛，♦-q｝为等比数列，首项、公比均为2,

所以—-4=2"

所以，%-4=2"两边同除以2向得翳［•果+；,

所以爵-1=；住-1），

又因为g-l=」NO,

22

所以仔-11是首项为公比为g的等比数列，

所以±1=-卜（y=+，

所以%=2"-1.

（2）解：因为q=2*7,

所以仇=（2"-1）%=（2〃—1）2"-（2"-1）

记数列｛（2〃-1）2"｝的前〃项和乙，

贝I」7；,=1x21+3x22+5x2,+♦..+（2〃一3）x2"T+（2〃-1）x2",

27；,=lx22+3x23+5x24+.--+（2n-3）x2）,+（2n-l）x2,,+',

所以-7；=lx2i+2x（22+23+...+2"T+2"）-（2"—l）x2"M

22（1-2H-'）

=2'+2x-（2/j-l）x2n+,=（3-2n）x2,,+1-