自动控制原理(胥布工)第二版章习题及详解

第6章习题及详解6-1试求图6-93所示电路得频率特性表达式,并指出哪些电路得低频段增益大于高频段增益。(a)(b)(c)(d)图6-93习题6-1图解:(a);(b);(c);(d);(a)与(c)低频段增益小于高频段增益;(b)与(d)低频段增益大于高频段增益。6-2若系统单位脉冲响应为,试确定系统得频率特性。解:,故6-3已知单位反馈系统得开环传递函数为试根据式(6-11)频率特性得定义求闭环系统在输入信号作用下得稳态输出。解:先求得闭环传递函数。(1),,。(2),,。故。6-4某对象传递函数为试求:(1)

该对象在输入作用下输出得表达式,并指出哪部分就是瞬态分量;(2)

分析与增大对瞬态分量与稳态分量得影响;(3)

很多化工过程对象得与都很大,通过实验方法测定对象得频率特性需要很长时间,试解释其原因。解:瞬态分量,后一项为稳态分量。(2)与增大,瞬态分量收敛更慢;稳态分量幅值减小,且相位滞后更明显。(3)因为瞬态分量收敛太慢。6-5某系统得开环传递函数为试描点绘制:(1)奈奎斯特曲线;(2)伯德图;(3)尼科尔斯图。解:各图如习题6-5图解所示。习题6-5图解6-6给定反馈系统得开环传递函数如下,(a);(b);(c);(d);(e)。(1)试分别绘出其开环频率特性得奈奎斯特草图,并与借助Matlab绘制得精确奈奎斯特曲线进行比较。(2)试根据草图判断各系统得稳定性。解:(1)精确曲线如习题6-6图解所示。习题6-6图解(2)(a)临界稳定(闭环系统有一对共轭虚根),其余系统稳定。6-7给定反馈系统得开环传递函数如下,(a);(b);(c);(d);(1)试绘出各系统得开环对数幅频渐近特性,并根据所得得渐近特性估算截止频率与相位裕度。(2)试借助Matlab绘制各系统得开环对数幅频精确特性,并确定各系统得截止频率与相位裕度。(3)试比较(1)、(2)所得结果得差别,并解释出现差别得原因。解:(1)(a),;(b),;(c),;(d),;(a)(b)(c)(d)习题6-7图解(2)(a),;(b),;(c),;(d),;(3)因渐近特性仅为精确曲线得近似,需要修正。6-8测量某最小相位系统得开环对数幅频特性,并对其作渐近特性近似,所得结果如图6-94所示,试写出其开环传递函数。图6-94习题6-8图解:。6-9已知最小相位系统开环对数幅频渐近特性曲线如图6-95所示,试求其各自对应得传递函数。。(a)(b)(c)(d)图6-95习题6-9图解:(a);(b);(c),其中参数待定;(d)。6-10试证明图6-95(c)对应反馈系统得静态误差系数为,并求其值。解:。6-11设单位反馈系统得开环传递函数如下,其中各待定参数均大于零,试分别采用奈奎斯特判据、劳斯判据与根轨迹方法确定使系统稳定得参数取值范围。解:奈奎斯特判据见习题6-11图解(a),时稳定,时不稳定,时临界稳定(虚轴上存在一对闭环共轭极点)。劳斯判据结论同(1)。根轨迹法见习题6-11图解(b),结论同(1)。(a)奈亏斯特曲线(b)根轨迹习题6-11图解6-12设系统开环幅相频率特性如图6-96(a)(j)所示,其中,其开环传递函数在右半面得极点数为,系统型别为,试根据奈氏判据判定各系统得闭环稳定性,若系统闭环不稳定,确定其右半面得闭环极点数。(a),;(b),;(c),;(d),;(e),;(f),;(g),;(h),;(i),;(j),。(a)(b)(c)(d)(e)(f)(g)(h)(i)(j)图6-96习题6-12图解:(a)不稳定,2;(b)稳定;(c)不稳定,2;(d)稳定;(e)不稳定,2;(f)稳定;(g)稳定;(h)稳定;(i)不稳定,1;(j)稳定。6-13给定反馈系统开环传递函数如下(1)设分别取值1、0、4、0、1;试借助Matlab分别绘制各取值情况下对应得开环对数幅频特性曲线,并确定系统得截止频率与相位裕度。(2)截止频率附近得谐振环节会对闭环系统产生不良影响。试结合(1)得结果谈谈您对该说法得理解。解:(1)时,,;时,,(前后三次穿越零分贝线,以相位较小处频率为截止频率);时,,。(2)截止频率附近得谐振环节会大幅降低系统相位裕度,影响平稳性。给定单位反馈系统(;(根据(提示:调整包围右半面得封闭曲线)解:两系统。对于系统1),当时,其开环系统得奈奎斯特曲线穿过点,表明为其闭环极点。故应使包围右半s平面得封闭曲线逆时针绕过原点。该封闭曲线与正实轴得交点处坐标为,其中为无穷小正数。又,故封闭曲线调整后得奈奎斯特曲线顺时针包围点一圈,而开环系统在右半s平面有一个极点,故闭环系统在右半s平面无极点。对于系统(2),当时,其开环系统得奈奎斯特曲线穿过点,表明为其闭环极点。故应使包围右半s平面得封闭曲线逆时针绕过原点与这两个闭环极点。分析方法同系统(1),易知闭环系统在右半s平面无极点。试讨论去掉6、4、3节例6-3系统开环传递函数中得带有零点得环节,对闭环系统幅值裕度与相位裕度有何影响。解:虚、实线分别对应于去掉零点前、后对数幅频渐近特性与相频特性。去掉该环节前后,对数幅频特性分别以与得斜率穿过零分贝线,故前者相位裕度必然远大于后者。根据相频特性也可得到同样得结论:去掉零点后相频特性迅速下降,稳定裕度大大降低。根据对数幅频渐近特性可求得,去掉该环节前后,截止频率分别为与,进而得与。题图6-15题6-15系统得伯德图渐近线6-16设单位反馈系统得开环传递函数为相位裕度解:习题6-16图解。简单试探可知,时,;时,;分别代上述值入相位裕度取何值,,故习题6-16图解奈奎斯特曲线系统得开环传递函数为要求:根据系统得相位裕度与截止频率估算系统得时域性能指标设解:截止频率分别为与;相位裕度分别为与(按精确曲线所得分别为,与,)。增大前性能指标:因为相对远离,因此可以将其近似为典型二阶系统处理,根据图6-59与图6-60,易知其阶跃响应最大超调量约为(按精确曲线所得分别为与;实际仿真结果为)。增大为10后系统不稳定,因此无法讨论快速性与平稳性。(a)对数频率特性(b)单位阶跃响应习题6-17图解图6-97给出了(a)与(b)两组单位反馈系统得开环对数幅频特性。设各开环系统均为最小相位系统,试定性比较各组内系统之间得性能。试求出各系统得传递函数,并借助Matlab仿真判断(1)中定性分析得结果就是否正确。(a)(b)图6-97习题6-18图解:(1)图6-97(a):平稳性:三系统得对数幅频特性均以,且截止频率两端均具一定宽度,因此三系统得平稳性均比较良好;第二个系统中频段宽度相对较窄,故可预计其单位阶跃响应得最大超调量就是三个系统中最大得,而另外两系统应具有相同得最大超调量。快速性:第三个系统截止频率最高,故响应最快速;其余两系统得快速性差别不大。三系统得低频段斜率亦均为图6-97(b):平稳性:根据对数幅频特性第一个系统得平稳性显著优于其余两系统。其余两系统平稳性差别不大。快速性:第三个系统截止频率最高,且可推出其放大系数最大,故其响应最快;第二个系统响应最慢。三个系统(2)图6-97(a):,,。图6-97(b):,,。图6-98与。图6-98习题6-19图解:按典型二阶系统近似,图6-59与图6-60,系统单位阶跃响应最大超调量;调节时间。因按开环传递函数按典型二阶系统处理,忽略了零点与一小惯性极点得影响,故超调量与调节时间估计值与实际值会有一定得偏差(仿真结果:;调节时间)。习题6-19图解对数频率特性某高阶控制系统,若要求,,试由近似公式确定频域指标与。解:由式(6-41)与(6-42),;。与。解:与。(式(6-69)～式(6-72),系统单位阶跃响应最大超调量,调节时间分别约为5、8s与5、6s。)习题6-21图解尼科尔斯图(3)试根据(1)与(2)得结果讨论谐振环节对闭环系统稳定性得影响。解:习题6-22图解对数频率特性图6-99图6-99习题6-23图解:(a)内环路奈奎斯特曲线(b)系统奈奎斯特曲线(c)系统奈奎斯特曲线局部放大图习题6-23图解各环路开环奈奎斯特曲线内环传递函数:故为保证系统稳定,试推导最大峰值指标与稳定裕度指标得关系,若,问该系统具有多大得幅稳定裕度,其相稳定裕度就是多少度？解:由6、6、1节图6-54可知就是一个负实数,故有为正实数。由闭环传递函数得 注意到,进一步得 由于,得 又因,故有 利用图6-74所示得关系,由上式易得 归纳结果:最大峰值指标与稳定裕度指标得关系为若,则系统得幅与相稳定裕度分别为,。性能权函数也可选如下形式 试确定其倒数得伯德幅频特性曲线,与性能权函数式(6-100)比较指出两者对性能要求得区别在何处。解题中得性能权函数要求灵敏度函数得伯德幅频特性在中频段比式(6-100)要求得斜率更大,在最大峰值发生得位置变化不大得前提下,这意味着扩大了控制作用得带宽,因此,该性能权函数得要求比式(6-100)更侧重克服外部扰动输入得影响。考虑图6-80所示得闭环控制系统。若不确定性对象为 即标称对象上附加了一个不确定性零点环节,其中,为标称对象,为已知得常数上界,就是满足得未知不确定常参数,即只知取值范围得常数。试求不确定性对象模型得权函数。解:由题意可得 因上式对于任何频率与任意成立,故可取权函数为。考虑图6-80所示得闭环控制系统,设,选定得性能权函数为,并设计了控制器使得闭环控制系统满足鲁棒性能要求(6-115),即等价地满足条件(6-116)。现已知在频率处,有,而在复平面上得坐标点为。试确定:在频率处,对象不确定性部分得允许上界就是多少？在频率处,对象不确定性相对变化得允许百分比上界就是多少？在只需保证稳定性得前提下,(1)与(2)中得结果又就是多少？解注意到条件(6-116)依赖于频率,在频率处,已知,由在复平面上得坐标点为知,此时位于第三象限,其与点得距离为:。由于,由图6-81可知, 即得允许上界就是0、7。又因 即得允许百分比上界就是70%。在保证鲁棒稳定性得前提下,条件化为得允许上界就是1,得允许百分比上界就是100%。

第7章习题及详解7-1考虑图7-49所示角度随动系统组成示意图,试回答:(1)哪些元件属于系统得固有部分,哪些元件构成系统得校正装置？(2)该系统得校正装置属于串联校正还就是局部反馈校正？(3)试从校正环节增益随频率变化得角度简单分析校正装置得作用？(提示:在过渡过程得初期,高频信号分量占比较大,而在过渡过程后期,低频信号分量占比较大)图7-49习题7-1图解:。7-2图7-50描述得就是一种常见得锅炉汽包水位控制系统,其中,液位变送器变送器。系统根据蒸汽流量与进水流量得差值相应调整进水阀门得开度,其中,。试回答:(1)解释该系统得工作原理。(2)判断系统属于按扰动得复合校正,还就是按给定得复合校正。图7-50习题7-2图解:习题7-2图解按扰动补偿得复合校正7-3考虑图7-51(a)所示得角度随动控制系统原理图,其中采用了由测速发电机及超前阻容网络实现局部反馈校正,校正前后系统主回路及局部反馈回路开环对数幅频特性分别如图7-51(b)中得、与所示。试根据图7-51(b)解释该系统中得局部反馈校正如何提高电机角度随动系统得平稳性。(a)(b)图7-51习题7-3图解:系统平稳性决定于中频段穿过零分贝线得斜率。由图7-51(b)易知,该系统中频段增益过大,穿过零分贝线得斜率下降过快。局部反馈通道得频率特性在该频段大于0,意味着负反馈后能降低系统开环频率特性在该频段得幅值,且就是其零分贝线得斜率上升为,有助于提高系统得平稳性。7-4图7-52所示得电路能提供超前得相角,它就是否能单独作为串联超前校正装置？试说明理由。图7-52习题7-4图解:因其低频段斜率为,极大地降低闭环系统稳态精度,故不宜单独采用。7-5试结合频率特性解释下述说法:PD与PID校正容易放大高频噪声,因此应用场合若具有强噪声,应增加滤波环节。在给定输入频繁升降得场合,PID控制得微分作用会导致过大得控制量,对系统产生冲击。将微分项放到反馈通道有助于减轻这种冲击。PI控制得积分作用可以提高系统得稳态精度,但会降低系统得相位裕度。解:(1)PD与PID校正环节得高频段均以得斜率上升,因此会放大高频噪声。(2)在频繁升降得给定输入信号中,高频分量占比较高,PID控制得微分作用将显著放大这些分量而导致过大得控制量。由于被控对象通常具有低通滤波特性,将微分项放到反馈通道后,给定输入信号经过被控对象滤波才输入到PID控制器,相当于被控对象与被控对象串联,有利于降低高频段增益,从而具有降低控制量得作用。(3)因PI控制可提高开环频率特性得低频段增益,提高系统型次,故可改善稳态精度;但其会引入滞后相位,降低系统稳定裕度。7-6试证明超前,并推导解:。7-7某单位反馈系统得开环传递函数为,要求系统在单位斜坡输入信号作用下得稳态误差;若同时要求相位裕度,试判断当前系统就是否满足要求;若不满足要求,试确定合适得超前校正装置得传递函数。解:习题7-7图解校正前后中低频段伯德图(部分)由习题7-7图解习题7-7图解,得。由此可构造校正环节习题7-7图解,若7-8某单位反馈控制系统得开环传递函数为,要求系统在斜坡函数输入时得稳态误差为,相角裕度。试判断应采用何种串联校正方式改善系统性能,并给出合适得校正装置得传递函数。解:习题7-8图解校正前后系统伯德图易求校正环节必须提供超前相角,习题7-8图解,可考虑采用串联超前校正环节。习题7-8图解易知,引入适当得超前校正环节后可使穿越零分贝线得截止频率两端均具有足够宽度,相角裕度得要求。一种可行得方案为7-9试说明串联滞后校正就是否能解决习题7-7系统所提出得性能要求,若可行,试给出合适得校正装置得传递函数。解:习题7-9图解校正前、后系统开环对数频率特性(部分)可行,因为系统无快速性要求,且低频段斜率为斜率保证截止频率两端均具有足够宽度,相角裕度得要求。习题7-9图解,成立不可行,因为滞后校正会使截止频率左移,不能同时满足平稳性与快速性得要求。7-10某单位反馈系统得开环传递函数为,要求系统在单位斜坡输入信号作用下得稳态误差,阶跃输入下得最大超调量。试判断当前系统就是否满足要求;若不满足要求,试采用频率法设计滞后校正环节。若增加要求调节时间,试采用频率法设计超前校正环节。解:图6-59知要求。考虑一定裕度,可初选。由易求得校正前系统相位裕度,远未满足要求。习题7-9图解)由于期望相位裕度较大,故应按宽中频段形式设计;考虑到被控对象存在极点,可初选与;如此,,预留了足够裕度。参考习题7-9图解,成立以增大相位裕度,重选校正环节为习题7-7图解)根据图6-60可初选。取。得。由此可构造校正环节7-11本章例7-5在超前校正设计步骤⑥中需要根据根轨迹与阴影区域边缘交点计算传递系数得可调范围。若解:(1)因为阴影区斜线部分满足闭环期望极点7-12已知某单位反馈系统得开环传递函数为要求系统得阶跃响应稳态误差为,最大超调量,调节时间。试用根轨迹法设计串联超前校正装置得传递函数。解:零极点形式为:(1)习题7-12图解习题7-12图解(a)校正前得根轨迹(实部大于-4得部分)由可得,取。由可得,取。故期望闭环主导极点应落于习题7-12图解中阴影部分区域。由于未校正系统根轨迹不穿过阴影区域,故无法通过改变使系统性能满足要求。习题7-12图解根据式(7-17)得。为方便设计,取校正环节得零点为,则如习题7-12图解,张角为得两条射线与负实轴分别交于与。故校正后系统开环传递函数为习题7-12图解(b)确定校正环节零极点位置7-13已知某单位反馈系统得开环传递函数为要求系统在单位斜坡输入下得稳态误差,单位阶跃响应得最大超调量,调节时间,试采用频率法设计串联校正环节;试采用根轨迹法设计串联校正环节。解:由(1)频率法。根据图6-60可初选。考虑一定裕度,取。可按初选参考习题7-9图解,成立(2)根轨迹法增加积分环节后,被校正对象成为。由可得,考虑一定裕度取。由可得。由此可确定期望闭环主导极点得候选区域。根据式(7-17)得。为方便设计,取校正环节得零点为,则张角为得两条射线与负实轴分别交于与(准确值为-5、8)。此时,校正后系统开环传递函数为。。7-14考虑本章例7-9,若反馈校正装置由原来得要求求调整后系统得开环传递函数。(2)解:7-15设某典型二阶系统如图7-53所示。为使阶跃响应调节时间下降为,且保持原最大超调量不变,试确定反馈校正装置得传递函数。图7-53习题7-15图解:,其开环对数频率特性曲线如习题7-15图解(a)所示。习题7-15图解(a)校正前与期望系统对数频率特性曲线3s,不满足要求。最大超调量不变,即相位裕度不变,为缩短调节时间至1s,截止频率应增大为校正前得3倍,即若能将对数频率特性整体右移至转折频率约为习题7-15图解(a)中虚线所示,,则截止频率与相位裕度满足要求。根据习题7-15图解(b),易求得,。习题7-15图解(b)校正后系统结构图7-16某单位反馈系统得开环传递函数为试设计PID控制方案,使系统满足下列性能指标:(1)在最大指令速度为时,位置滞后误差不超过;(2)相位裕度不小于;(3)幅值裕度不低于;(4)阶跃响应调节时间不超过。解:。按要求(4),将校正后系统近似为典型二阶系统,按图6-61或式(6-37),时,阶跃响应调节时间与校正后期望截止频率近似满足习题7-16图解习题7-16图解校正后系统开环频率特性7-17为方便操作人员进行PID参数整定,工程师们根据经验总结出了一些口诀如下:参数整定找最佳,从小到大顺序查,先就是比例后积分,最后再把微分加;曲线振荡很频繁,比例度盘要放大,曲线漂浮绕大湾,比例度盘往小扳;曲线偏离回复慢,积分时间往下降,曲线波动周期长,积分时间再加长;曲线振荡频率快,先把微分降下来,动差大来波动慢。微分时间应加长;理想曲线两个波,前高后低4比1,一瞧二调多分析,调节质量不会低。其中,比例度盘。若可将被校正对象得传递函数近似为,试通过PID得频率特性曲线解释上述说法。解:通常可将机械或热力学系统近似为,其对数频率特性如习题7-17图解(a)所示。习题7-17图解(a)一阶惯性滞后组合系统开环频率特性串联P、I、D三环节得作用可通过其对系统开环频率特性得影响来分析。串联PID得频率特性如习题7-17图解所示。通常,,故各参数调整得效果如下:,则幅频特性下降,截止频率减小,快速性下降,但间接增大相位裕度,提高平稳性;反之幅频特性上升,截止频率增大,相位裕度减小,系统响应快速,但稳定性下降。“曲线振荡很频繁”反映出闭环系统阻尼系数过小,系统响应不平稳;而“曲线漂浮绕大湾”反映出闭环系统阻尼系数过大,响应过缓。因此应分别。环节可以减小该负相位对相位裕度得影响,但就是也会降低各频段得增益,使系统快速性变差。“曲线偏离回复慢”表明过渡过程得后半段变化缓慢,反映出系统低频段增益过低;此时,若不方便,可考虑减小,以达到仅提高低频段增益而尽量不影响其她频段得效果。“曲线波动周期长”表明相位裕度与截止频率均过低,故而存在低频振荡;此时若单纯调整,则难以同时兼顾相位裕度与截止频率;为此,可联动增大减小,不改变中频段增益,达到提高相位裕度但不降低截止频率得作用。若校正前系统截止频率大于,则增大微分时间将可能使增大微分时间可同时改善系统平稳性与快速性,但若增大微分时间可能极大地降低系统平稳性。“曲线振荡频率快”表明响应不够平稳,且截止频率较大,很可能落于被校正对象相频特性迅速下降得频段,因此,应减小,降低截止频率,间接改善平稳性。“动差大来波动慢”表明响应过于缓慢且在振荡,截止频率较低;此时若改变作用不明显,则可增大,同时改善平稳性与快速性。习题7-17图解(b)串联PID对数频率特性7-18试借助MATLAB重新对习题7-16得系统设计滞后-超前校正装置。解:。按要求(4),将校正后系统近似为典型二阶系统,按图6-61或式(6-37),时,阶跃响应调节时间与校正后期望截止频率近似满足习题7-18图解习题7-16图解习题7-18图解习题7-18图解(a)校正前系统频率特性习题7-18图解习题7-18图解(b)超前校正后系统频率特性习题7-18图解(c)滞后-超前校正后系统频率特性7-19试借助MATLAB,采用根轨迹法对习题7-13所述系统设计滞后-超前校正环节。7-20某单位反馈温度控制系统得开环传递函数为试借助MATLAB采用PID参数整定法设计PID控制规律。解:利用MATLAB绘制阶跃响应曲线,如习题7-20图解(a)所示。习题7-20图解(a)被校正对象单位阶跃响应由图可近似得到一阶延迟系统得参数分别为:,,。PID控制:,,。系统闭环传递函数及其阶跃响应如习题7-20图解(b)所示。习题7-20图解(b)校正后系统单位阶跃响应(虚线部分对应PI控制)7-21试参考7、7节所介绍程序,在Matlab中仿真检验例7-5与例7-6校正后系统就是否满足预定得时域性能指标要求。解:满足。

第8章习题及详解8-1试解:图8-49习题8-2图解:习题8-2图解8-3试分析下述与采样相关得问题:(1)求脉冲函数得z变换。(2)试求图8-50所示幅度为1,宽度小于一个采样周期得信号得z变换。(3)设高度为,宽度为得矩形脉冲作用于惯性环节,试定性说明,当时,只要恒定,宽度得大小对输出得幅频特性影响不大。(4)假设实际采样开关在时刻对采样得结果可近似为幅度为,宽度远小于一个采样周期得信号,试分析为什么以采样时刻信号得幅值作为理想脉冲得冲量,即。图8-50习题8-3图解:(1)1,因为(2)1,因为(3)实际脉冲得傅立叶变换为。惯性环节得傅立叶变换为。故输出得幅频特性为。当时,,故工程上通常认为在外得值近似为0。又因,故也可近似为0。因此,在区间上,。(4)z变换相同,且根据(3)结果,两者作用于大惯性对象得效果差别可忽略8-4图8-51所示得典型数字控制系统在实现时为图8-51习题8-4图解:为防止高频噪声8-5假设每隔一小时测量一次某药物在人体内得浓度,发现其变化过程满足。(1)若服药时,一小时后测量得浓度为,试递推其后5小时得浓度值。(2)试通过z变换计算上述各时刻浓度值,并用终值定理求序列得终值。(3)假设每次服药能使药物浓度升高,且药物疗效要求浓度,试分析最短服药间隔时间为几小时才能保证持续得长期疗效？解:(1)分别为(单位mg/l):0、8、0、52、0、32、0、1936、0、1165、0、07、0、0420。(2)对该差分方程两边作z变换,并根据超前定理,得:代入初始条件、,并化简得:故其z反变换得。易知极点在单位圆内,该序列收敛,可用终值定理得终值为0。(3)每隔12小时应服药一次。前30小时浓度值为(单位mg/l):0、1、0、8、0、52、0、32、0、1936、0、1165、0、07、0、042、0、0252、0、0151、0、0091、0、0054、1、0033、0、802、0、5212、0、3207、0、194、0、1167、0、0701、0、0421、0、0252、0、0151、0、0091、0、0055、1、0033、0、802、0、5212、0、3207……解:(1)分别为(单位mg/l):0、8、0、52、0、32、0、1936、0、1165、0、07、0、0