高考数学 7.6 空间直角坐标系、空间向量及其运算练习试题

课时提升作业(四十五)空间直角坐标系、空间向量及其运算(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.向量a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),下列结论正确的是()A.a∥b,a∥c B.a∥b,a⊥cC.a∥c,a⊥b D.以上都不对【解析】选C.因为c=(-4,-6,2)=2(-2,-3,1),所以a∥c.又a·b=(-2)×2+(-3)×0+1×4=0,所以a⊥b.2.(2015·中山模拟)已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a,b,c三向量共面,则实数λ等于()A.627B.637C.64【解析】选D.因为a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),所以a与b不平行,又因为a,b,c三向量共面,则存在实数x,y使c=xa+yb,即2x-y=7,-x+4y=5,3x-2y=λ,解得λ故选D.【加固训练】(2014·洛阳模拟)O为空间任意一点,若OP→=34OA→A.一定不共面 B.一定共面C.不一定共面 D.无法判断【解题提示】根据OP→=xOM→+yOA【解析】选B.因为OP→=34OA→+18OB→+183.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,给出以下向量表达式:①(A1D1→-A1A→)-AB→③(AD→-AB→)-2DD1→;④其中与向量BDA.①② B.②③ C.③④ D.①④【解析】选A.①(A1D1→-A1A→)-A②(BC→+BB1→)-D1C③(AD→-AB→)-2DD1→④(B1D1→+A1A→)+DD1综上,①②符合题意.4.(2015·长沙模拟)若A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),当|AB→|取最小值时,x的值为()A.19 B.-87 C.87 【解析】选C.|AB→=14x-872+575.设A,B,C,D是空间不共面的四个点,且满足AB→·AC→=0,AD→·ACA.钝角三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.无法确定【解题提示】通过BC→·BD→,DB→·DC【解析】选C.BC→·BD→=(AC→-AB=AC→·AD→-AC→·AB→-AB→·AD→+同理DB→·DC→>0,CB【加固训练】(2014·太原模拟)如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中点,cos<DP→,AE→A.(1,1,1) B.1C.1,1,32【解析】选A.由已知得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),设P(0,0,a)(a>0),则E1,1,所以DP→=(0,0,a),AE|DP→|=a,|A=2+a4又cos<DP→,AE所以0×(-1)+0×1+a2解得a2=4,即a=2,所以E(1,1,1).二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015·安庆模拟)已知a=(2,-1,3),b=(-4,y,2),且a⊥(a+b),则y的值为.【解析】a+b=(-2,-1+y,5),由于a⊥(a+b),所以a·(a+b)=0,即-4+1-y+15=0,解得y=12,答案:127.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA=DD1=1,DC=2,点E是B1C1的中点,建立空间直角坐标系Dxyz如图所示,则|AE|=.【解题提示】确定A,E的坐标,可得AE→【解析】由题意长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA=DD1=1,DC=2,点E是B1C1的中点,则A(1,0,0),E12,2,1,所以所以|AE→|=-1答案:138.(2015·天津模拟)已知ABCD-A1B1C1D1为正方体,①(A1A→+A1D1②A1C→·(A③向量AD1→与向量A④正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|AB→·AA其中正确的序号是.【解析】①中,(A1A→+A1D1→+QUOTEA1B1→)

22A1B1→)2=QUOTEA1A→②中,A1B1→-A1A→=AB1→,因为AB1⊥A1C,故②正确;③中,两异面直线A1B与AD1所成的角为60°,但AD1→与A1B答案:①②三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015·银川模拟)已知a=(3,5,-4),b=(2,1,8),c=(0,0,1).(1)计算3a-2b及a·b.(2)求实数λ的值,使λa+2b与c垂直.【解析】(1)因为a=(3,5,-4),b=(2,1,8),所以3a-2b=(9,15,-12)-(4,2,16)=(5,13,-28).a·b=3×2+5×1-4×8=-21.(2)因为a=(3,5,-4),b=(2,1,8),所以λa+2b=(3λ+4,5λ+2,-4λ+16),因为(λa+2b)⊥c,所以(λa+2b)·c=0.因为c=(0,0,1),所以0+0-4λ+16=0,解得λ=4.10.(2015·唐山模拟)已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=AB→,b=A(1)求a和b夹角的余弦值.(2)设|c|=3,c∥BC【解析】(1)因为AB→=(1,1,0),所以a·b=-1+0+0=-1,|a|=2,|b|=5.所以cos<a,b>==-12×5(2)BC因为|c|=3,c∥BC所以x2+y2+z2=3,存在实数λ联立解得x=-2,y=-1,所以c=±(-2,-1,2).(20分钟40分)1.(5分)(2015·宜宾模拟)已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值是()A.-1B.43C.53【解析】选D.由题意得,ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2,-2).所以(ka+b)·(2a-b)=3(k-1)+2k-2×2=5k-7=0,解得k=752.(5分)二面角α-l-β为60°,A,B是l上的两点,AC,BD分别在半平面α,β内,AC⊥l,BD⊥l,且AB=AC=a,BD=2a,则CD的长为()A.2a B.5aC.a D.3a【解题提示】选CA→,AB【解析】选A.因为AC⊥l,BD⊥l,所以<AC→,BD→>=60°,且AC→·所以CD→=CA→+所以|CD→=a2+a23.(5分)(能力挑战题)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1内(含正方体表面)任取一点M,则AA1→·【解析】由题知正方体的体积为V=8,以A为原点建立空间直角坐标系,AB为x轴,AD为y轴,AA1为z轴.那么A(0,0,0),A1(0,0,2),设M(x,y,z),那么x,y,z∈[0,2],所以AM→=(x,y,z),AA1→·AM→≥1,即2z即点M与平面ABCD的距离大于等于12,点M的轨迹是正方体的34,其体积为V1=34×8,则AA1→答案:34.(12分)(2014·长春模拟)已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).(1)求以AB→,(2)若|a|=3,且a分别与AB→,A【解析】(1)由题意可得:AB→=(-2,-1,3),AC→=(1,-3,2),所以cos<A=-2+3+614×14=所以sin<AB→,AC所以以AB→,S=2×12|AB→|·|AC→|·=14×32=73(2)设a=(x,y,z),由题意得x解得x=1,y=1,所以向量a的坐标为(1,1,1)或(-1,-1,-1).5.(13分)(2015·太原模拟)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1,底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是A1B1,A1A的中点.(1)求BN(2)求cos<BA1→(3)求证:A1B⊥C1M.【解析】如图,建立空间直角坐标系.(1)依题意得B(0,1,0),N(1,0,1),所以|BN(1-0)2(2)依题意得A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2).所以BACB1→=(0,1,2),B|BA1→|=6,|C所以cos<B