复变函数第11讲

复变函数

第11讲本文件可从网址上下载1第五章留数§1孤立奇点2函数不解析的点为奇点.

如果函数f(z)虽在z0不解析,但在z0的某一个去心邻域0<|z-z0|<d内处处解析,则z0称为f(z)的孤立奇点.34将函数f(z)在它的孤立奇点z0的去心邻域内展开成洛朗级数.根据展开式的不同情况对孤立奇点作分类.51.可去奇点如果在洛朗级数中不含z-z0的负幂项,则孤立奇点z0称为f(z)的可去奇点.

这时,f(z)在z0的去心邻域内的洛朗级数实际上就是一个普通的幂级数:

c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+....

因此,这个幂级数的和函数F(z)是在z0解析的函数,且当z

z0时,F(z)=f(z);当z=z0时,F(z0)=c0.由于6所以不论f(z)原来在z0是否有定义,如果令f(z0)=c0,则在圆域|z-z0|<d内就有

f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+...,

从而函数f(z)在z0就成为解析的了.由于这个原因,所以z0称为可去奇点.782.极点如果在洛朗级数中只有有限多个z-z0的负幂项,且其中关于(z-z0)-1的最高幂为

(z-z0)-m,即

f(z)=c-m(z-z0)-m+...+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1

+c0+c1(z-z0)+...(m1,c-m0),

则孤立奇点z0称为函数f(z)的m级极点.上式也可写成其中g(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+c-m+2(z-z0)2+...在|z-z0|<d内是解析的函数,且g(z0)0.9反过来,当任何一个函数f(z)能表示为(5.1.1)的形式,且g(z0)0时,则z0是f(z)的m级极点.

如果z0为f(z)的极点,由(5.1.1)式,就有103.本性奇点如果在洛朗级数中含有无穷多个z-z0的负幂项,则孤立奇点z0称为f(z)的本性奇点.中含有无穷多个z的负幂项.11在本性奇点的邻域内,函数f(z)有以下的性质(证明从略):如果z0为函数f(z)的本性奇点,则对任意给定的复数A,总可以找到一个趋向于z0的数列,当z沿这个数列趋向于z0时,f(z)的值趋向于A.例如,给定复数A=i,我们把它写成12综上所述我们可以利用上述极限的不同情形来判别孤立奇点的类型.134.函数的零点与极点的关系不恒等于零的解析函数f(z)如果能表示成

f(z)=(z-z0)mj(z), (5.1.2)

其中j(z)在z0解析且j(z0)0,m为某一正整数,则z0称为f(z)的m级零点.

例如当f(z)=z(z-1)3时,z=0与z=1是它的一级与三级零点,根据这个定义,我们可以得到以下结论:

如f(z)在z0解析,则z0是f(z)的m级零点的充要条件是

f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,...,m-1),f(m)(z0)0(5.1.3)14这是因为,如果f(z)在z0解析,就必能在z0的邻域展开为泰勒级数:

f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cm(z-z0)m+...

易证z0是f(z)的m级极点的充要条件是前m项系数c0=c1=...=cm-1=0,cm0,

这等价于

f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,...,m-1),f(m)(z0)0(5.1.3)

例如z=1是f(z)=z3-1的零点,由于

f'(1)=3z2|z=1=30,从而知z=1是f(z)的一级零点.15由于(5.1.2)中的j(z)在z0解析,且j(z0)0,因而它在z0的邻域内不为零.这是因为j(z)在z0解析,必在z0连续,所以给定所以f(z)=(z-z0)mj(z)在z0的去心邻域内不为零,即不恒为零的解析函数的零点是孤立的.161718由此,当z

z0时,得而y(z)=1/j(z)在z0解析,并且y(z0)0,所以z0是f(z)的m级极点. [证毕]这个定理为判断函数的极点提供了一个较为简单的方法.1920215.函数在无穷远点的性态如果函数f(z)在无穷远点z=的去心邻域R<|z|<内解析,称点为f(z)的孤立奇点.2223规定,如果t=0是j(t)的可去奇点,m级极点或本性奇点,则称点z=是f(z)的可去奇点,m级极点或本性奇点.

由于f(z)在R<|z|<+内解析,所以在此圆环域内可以展开成洛朗级数,根据(4.4.5)与(4.4.8),C为R<|z|<+内绕原点任何一条简单正向闭曲线24如果在级数(5.1.6)中i)不含负幂项,ii)含有有限多的负幂项,且t-m为最高幂,iii)含有无穷多的负幂项,则t=0是j(t)的i)可去奇点,ii)m级极点,iii)本性奇点.25因此,在级数(5.1.5)中,

i)不含正幂项;

ii)含有限多的正幂项,且zm为最高幂;

iii)含有无穷多的正幂项;

则z=是f(z)的

i)可去奇点;

ii)m级极点;

iii)本性奇点.26272829例2函数在扩充平面内有些什么类型的奇点?如果是极点,指出它的极.[解]易知,函数f(z)除使分母为零的点z=0,1,2,…外,在|z|<+内解析.由于(sinpz)'=pcospz在z=0,1,2,…处均不为零,因此这些点都是sinpz的一级零点,从而是(sinpz)3的三级零点.所以这些点中除去1,-1