多元函数积分学期末复习(考点)

一、二重积分二、三重积分三、曲线积分多元函数积分学四、曲面积分一、二重积分的概念和性质

1．定义：

2．几何意义：

表示曲顶柱体的体积性质：线性性质；可加性；

单调性；

若估值性质：中值定理：则至少存在一点,使得设函数

在闭区域上连续,则积分中值定理二、二重积分的计算方法

1．利用直角坐标计算（1）X-型区域：

.(2)过任一x∈[a,b],作垂直于

x轴的直线穿过D的内部从D的下边界曲线穿入—内层积分的下限从D的上边界曲线穿出—内层积分的上限(1)确定积分区域D在x轴上的投影[a,b]定限步骤：（2）Y-型区域：

2．利用极坐标计算

(2)从D的边界曲线

穿入,从

穿出(1)确定D夹在哪两条射线之间，定出定限步骤：过极点作一极角为的射线常见计算类型1.选择积分顺序原则：①能积分，②少分块解原式＝

解：2.交换积分顺序根据给出的积分上下限定出积分区域3.利用对称性简化计算要兼顾被积函数和积分区域两个方面，不可误用（1）若D关于x

轴对称，则当f(x,y)关于y为奇函数，当f(x,y)关于y为偶函数，（2）若D关于y

轴对称，则当f(x,y)关于x为奇函数，例.

将化为在极坐标系下的二次积分。1）4）4.极坐标系下二重积分的定限2）3）分析由于被积函数中含有绝对值,所以应首先在给定的积分区域内,求出的解析表达式，即去掉绝对值。5.其它三、三重积分的计算方法

1．利用直角坐标计算

“坐标面投影”法

确定在xoy面上的投影区域D(1)定限步骤：作垂直于xoy面的直线，从曲面穿入，从曲面穿出，(2)三、三重积分的计算方法（坐标面投影法）

1．利用直角坐标计算

(1)投影求积分域

在xOy

面上的投影区域Dxy;(2)定限x

yzOS2S1Dxy

z1(x,y)z2(穿越法)步骤：其中

为三个坐标例.

计算三重积分所围成的闭区域.解:面及平面解:1º投影消去z2º定限yOx–112º定限2．利用柱面坐标计算计算方法：三重积分的投影方法结合二重积分的极坐标运算其中

为由例2.计算三重积分所围解:及平面柱面成半圆柱体.OxyDxy：解：

1、体积四、几何应用

若曲面方程为：曲面S的面积为2、曲面面积解：

例.计算双曲抛物面被柱面解:

曲面在

xOy

面上投影为则所截出的面积A.注：常用二次曲面旋转抛物面:锥面:球面椭球面椭圆抛物面:柱面:(方程中缺少某一变量)(1)对光滑曲线弧第十一章曲线积分与曲面积分一、对弧长的曲线积分(化为定积分计算）则定限1.基本计算方法•对有向光滑弧二、对坐标的曲线积分(化为定积分)•对有向光滑弧解2.利用格林公式（必要时可作辅助线）3.利用积分与路径无关（取折线）例解LyxOLyxO例、解

设则三、对面积的曲面积分(化为二重积分）四、对坐标的曲面积分

•••1、基本计算方法(化为二重积分)：一代、二投、三定号上正下负前正后负右正左负小结:要点为：将曲面的方程表示为二元显函数，代入被积函数，将其化成二元函数将积分曲面投影到与面积元素（如dxdy）同名的坐标面上（如xoy

面）由曲面的侧确定二重积分的正负号一代、二投、三定号曲面取上侧、前侧、右侧时为正注:积分曲面的方程必须表示为单值显函数否则分片计算，再讲结果相加曲面取下侧、后侧、左侧时为负代: