2021届四川省内江市高考数学三诊试卷(文科)(含答案解析)

2021届四川省内江市高考数学三诊试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.复数z=f,则|3|=（）

A.V10B.V5C.叵D.叵

52

2.设集合4={x|x|%2-%一220},B=（x\x>a],若4nB={x|x22},则所有实数a组成的

集合为（）

A.{a|a>2）B.{a|a<2]

C.{a|-1<a<2}D.{a|-1<a<2}

3.己知向量五,方满足|方一石|=3且石=（0,-1），若向量五在向量方方向上的投影为一2,贝!J|H|=（）

A.2B.2V3C.4D.12

4.下列各组事件中，不是互斥事件的是（）

A.一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6

B.播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒

C.检查某种产品，合格率高于70%与合格率为70%

D.统计一个班数学期中考试成绩，平均分数不低于90分与平均分数不高于120分

5.如图所示,在四棱锥.歙-，感触蒯中，底面,舞唠=1心凰"是直角梯形,

有L幽，，舞1,舞礴，侧棱懒1,底面寿辎，且士海口小碱，

则点醒=乐碎到平面室迂[门,来礴的距离为（）

A.

c琳或他郁曙3前„3

B.低应：--------—

需笳

C.修;『礴=血1需#—

「需

D.宴您以洋晒

6.某种豆类生长枝数随时间增长，前6月数据如下:

第X月123456

枝数y（枝）247163363

则下列函数模型中能较好地反映豆类枝数在第X月的数量y与X之间的关系的是（

2X

A.y=2xB.y=%—%+2C.y=2D.y=Iog2x+2

7.已知抛物线C：V=轨的焦点F和准线/,过点F的直线交/于点A,与抛物线的一个交点为3,

且丽=一3万，贝=（）

A.-B.-C.-D;

3333

8.某零件的三视图如图所示，则该零件的体积为（）/行A

正视图侧视图

c7-H俯视图

D.—

9.将函数y=sinx的图象上每个点的纵坐标不变，横坐标缩为原来的也然后将图象沿y轴正方向

平移2个单位，再沿x轴正方向平移着个单位，得到的图象的函数解析式为（）

A.y=sin2x+2B.y=sin(|x+^)+2

C.y=sin(2x-3)+2D.y=sin(2x--)+2

10.过点食胃作圆独：-$产的两条切线，切点分别为凶，球,则直线辎的方程为（）

A.受富一般一E=l®B,既富*/一意=顿C.邛/一第一意=则D.趣髯噜/-号=顿

11.已知产是椭圆9+y2=i上的动点，则P点到直线/：乂+丫一2百=0的距离的最小值为（）

A.叵B.匹C.叵D.在

2255

12.曲线r：（^-y-i）Vx2+y2-9=0）要使直线丫=小（小€/?）与曲线「有四个不同的交点，则

实数机的取值范围是（）

A.B.（-3,3）

C.（-3,-|）U（1,3）D.（-3,-|）U（-|j）U（1,3）

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

T东:牝罗工觞

'看一辞工0

13.15.已知变量案、承满足条件2),若目标函数M=穗注般(其中就》网)，仅在

K逆蒯

源虽@

(4,2)处取得最大值，则颌的取值范围是-

14.中心在坐标原点，一个焦点为(5,0),且以直线'=为渐近线的双曲线方程为.

15.已知A、8、C是直线/上的三点，向量方，而，无满足:瓦？-[y+2[(1)]话+ln(x+1)元=0.

则函数y=f(x)的表达式.

16.底面半径为1,高为3的圆锥的体积为.

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)

17.已知多为等比数列｛%i｝的前〃项和，且的+&4=一看，且对于任意的neN*,有9、Sn+2、S”+i

成等差数列，｛九｝的前〃项和〃=；712+，n5€7*,/£>0),且7；的最小值为1.

(1)求数列｛%｝和｛%｝的通项公式；

(2)对任意meN*,将数列｛%｝中落入区间(2机+l，4m+3内的个数记为Cm，求数列｛Cm｝的前m项

和；

2

(3)记用=1知+1号1+1察1^---h|^|,若(九一I)<m(Pn-n-1)对于ri>2恒成立，求实数加

ala2a3an

的取值范围.

18.某校某次N名学生的学科能力测评成绩(满分120分)的频率分布直方图如下，已知分数在100-

110的学生数有21人(1)求总人数N和分数在110-115分的人数几；

(2)现准备从分数在110-115的〃名学生(女生占：)中选3位分配给A老师进行指导，设随机变量f表

示选出的3位学生中女生的人数，求f的分布列与数学期望Ef；

(3)为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导建议，对他前7次考试的数学成绩

X、物理成绩y进行分析，该生7次考试成绩如表

数学(X)888311792108100112

物理①)949110896104101106

已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，求出y关于x的线性回归方程Ay=/\以+/\a.

若该生的数学成绩达到130分，请你估计他的物理成绩大约是多少？

附：对于一组数据(%1，%),(x2,y2)'(xn,yn),其回归方程Ay=/\bx+/\a的斜率和截距的

最小二乘估计分别为Ab=弋上《*/，Aa=y-A

19.如图，在四棱锥S-ABC。中，底面A8CC是平行四边形，侧面SBC正三角形，点E是SB的中

点，且平面SBC.

(I)证明：S0〃平面ACE；

(口)若48145,BC=2,求三棱锥S-ABC的体积.

20.如图，在平面直角坐标系龙。/中，椭圆E：提+，=l(a>b>0)的离心

率为立，直线/：y=[x与椭圆E相交于A,B两点，AB=2相,C,。是

2N

椭圆E上异于A,B的两点，且直线AC,8。相交于点M,直线A。，BC相交于点M

(1)求4,。的值；

(2)求证：直线MN的斜率为定值.

21.已知函数/'(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值.

(1)讨论函数/(x)的极值；

(2)过点4(0,16)作曲线y=〃久)的切线，求此切线方程.

22.在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为p2=4。905。+加71。)-3.若以极点0为原点，极轴所

在直线为x轴建立平面直角坐标系.

(1)求圆C的参数方程；

(2)在直角坐标系中，点P(x,y)是圆C上的动点，试求久+2y的最大值，并求出此时点尸的直角坐标.

23.2知a>0,b>0,c>0.

(1)求证：a4-a2b2+b4>

(2)若abc=1,求证：Q3+〃+〃2ab+be+ac.

【答案与解析】

1.答案：D

解析：解：因为z=^=黑黯=二岁，

所以5=一去则臼=571=票

故选：D.

结合复数的基本运算进行化简，然后结合模长公式即可求解.

本题考查复数的运算，考查运算求解能力.

2.答案：D

解析：解：由A中不等式变形得：(x-2)(x+l)>0,

解得：工工一1或即/={%|工工一1或％22},

,:B={x\x>a},且BnB={x\x>2],

・•.a的范围为{Q|-1WaV2},

故选：D.

求出A中不等式的解集确定出A,根据3以及A与8的交集，确定出。的范围即可.

此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

3.答案：A

解析：解：设式=(居y)；

a—b=(%,y4-1)，且|N-另|=3;

:./+y2+2y+1=9①；

•・,五在方方向上的投影为一2；

|a|-cos<a,b>==a-b=-y=-2；

・•.y=2,代入①得％=0；

・•・a=(0,2)；

|a|=2.

故选：A.

可设有=(%,y)，由|五—3I=3即可得出+y2+2y+1=9①，而根据向量N在向量石方向上的投

影为-2即可得出y=2,带入①即可求出X,从而得出方的坐标，即得出I五

考查向量坐标的减法运算，根据向量的坐标求向量的长度，以及一个向量在另一个向量方向上投影

的计算公式.

4.答案：D

解析：试题分析：根据题意，不能同时发生的事件为互斥事件，那么对于A一个射手进行一次射击，

命中环数大于8与命中环数小于6,不可能同时发生，因此是互斥事件

对于B.播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒，彼此不能同时发生，因此是互斥事件。

对于C.检查某种产品，合格率高于70%与合格率为70%,也是同时发生，因此是互斥事件。

对于。.统计一个班数学期中考试成绩，平均分数不低于90分与平均分数不高于120分，可以同时发

生，故选。.

考点：互斥事件

点评：本试题主要是考查了互斥事件的概念的运用，属于基础题。

5.答案：D

解析：试题分析：由侧棱.嬲」，底面施疑意可知，吟.陶.%融蚓辎.==・西空,第=鬟，

,iKS

连接BD,%*侬匐强」.幽=£幽然鬟=：，则%-图勰,=还您慈一%-逊5,=翳—届=]

.连接AC,直角梯形中，可得丝=鼠信，侬=而。侧棱瀛」，底面魏驰，所以侧棱辍,_L,AC,

直角三角形SAC中，貂=4谶f普,靖=玷，直角三角形4。中嬲£=，敏海蝴=乖,

口跳耍中，由余弦定理可得瘴酹H：翻窗=一^,则血蝙血期;窗=空，

争§

晶淳“=4辎，谢足触窗=避.所以编彳=逛也翻=1徐铲•您即诙=.

6.答案：C

解析：

本题考查函数模型的选择，解题的关键是看出函数的变化趋势和所过的特殊点，属于基础题.

本题要选择合适的模型，从所给数据可以看出图象大约过(1,2)和(2,4),和(4,16)和(6,63),把这四个

点代入所给的四个解析式发现只有.y=2,最合适.

解：从所给数据可以看出图象大约过(1,2)和(2,4)和(4,16)和(6,63),

把这四个点代入所给的四个解析式发现只有y=2"最合适，

故选：C.

7.答案：A

解析：

本题考查抛物线的性质，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于基础题.

设设4(-1,Q),B(m,n),由而=一3而得血=7,九=-3Q,把m=7代入抛物线方程可求即可求

利用两点间的距离公式求|4B|即可.

解：依题意可得尸(1,0)设力(一l,a),B(m,n),

则：~FB=(m-l,n)，FA=

v~FB=(m-l,n)=-3(-2,a),-1-6

=—3a

m=7,n=­3a,

把m=7代入抛物线方程可求几=±2近，

n=2y/7n=-2夕

则2b2y/7

a=------a=—

33

[阴=[82+(学)2=竽,

故选4.

8.答案：B

解析：

本题考查了四棱锥与圆锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

由三视图可知：该几何体是一个四棱锥去掉一个圆锥的一半.

解：由三视图可知：该几何体是一个四棱锥去掉一个圆锥的一半.

.,.该零件的体积V=ix2x22-ixixn-xl2x2=^.

故选：B.

9.答案：C

解析：解：由题意y=sinx将其图象上每个点的纵坐标不变，横坐标缩为原来的也得到函数y=sin2x

的图象，

将图象沿y轴正方向平移2个单位，得到y=sin2x+2,再沿x轴正方向平移，个单位，得到y=

sin(2x—g)+2的图象,

所以的表达式为y=sin(2x+2；

故选：c.

由左加右减上加下减的原则，可确定函数f(x)的表达式,需要把y=sinx的图象横坐标缩为原来的,

得到函数丫=sin2x的图象，将图象沿)，轴正方向平移2个单位，再沿x轴正方向平移看个单位，求出

/(x)的解析式.

本题考查三角函数的平移.三角函数的平移原则为左加右减上加下减.注意变换的方法的变化，是

基础题.

10.答案：B

解析：试题分析：因为过点©L既作圆1笈-项口外,/=：1的两条切线，切点分别为叁、廨，

所以，圆的一条切线方程为解=3,切点之一为(M),显然激、.超选项直线不过CU),

/、会不符合题意；

另一个切点的坐标在7)的右侧，所以切线的斜率为负，选项。不满足，殿满足.

故选解.

考点：直线与圆的位置关系

11.答案：A

解析：

本题考查直线与椭圆的位置关系、两平行直线间的距离等知识点，属于中档题.

设与直线x+y-2通=0平行且与椭圆相切的直线方程是x+y+c=0,与椭圆方程联立并消元，

由4=0可得c的值，求出两条平行线的距离，即可求得椭圆9+y2=1上的动点尸到直线/距离的

最小值.

解：设与直线x+y-2V5=0平行且与椭圆相切的直线方程是％+y+c=0,

与椭圆方程联立=1,

(x+y+c=0

消无可得5/+8cx+4c2-4=0,

则4=64c2-20(4c2-4)=0,可得c=土巡，

故与直线％+y—2V5=0平行且与椭圆相切的直线方程是％+y土晶=0,

%4-y+V5=0与％+y-2后=0之间的距离为隔，何=

x+y—遍=0与久+y—2遥=0之间的距离为卜嚼伺=当，

，椭圆9+y2=1上的动点尸到直线/距离的最小值是手.

故选A.

12.答案：C

解析：解：曲线r：(WY_1)〃2+y2_9=0,可知x,

ye[-3,3],

图形如图：是一个圆与双曲线的一部分，由J：：)20'

解得y=±|,

曲线「：(9一[-1)>/(2+y2—9=0,

要使直线y=m(mGR)与曲线「有四个不同的交点，可得mG

(-3,-|)U(|,3).

故选：C.

画出曲线表示的图形，利用数形结合转化求解即可.

本题考查曲线与方程的应用，数形结合的应用，正确判断与画出曲线方程的图形，是解题的关键,

是难题.

13.答案：a>1

解析：解：

作出可行域如图所示:

因为目标函数z=ax+y仅在(4,2)处取得最大值，所以目标函数z=ax+y的位置如图所示，所以其

斜率k=-a<-1,解得：a>1

故答案是：a>1.

14.答案：--^=1

169

解析：解：设双曲线方程为圣+卷=1,由题意得c=5=VH4"①，②，

由①②得a2=16,b2=9,故所求的双曲线方程为会?=1,

故答案为：--^=1.

169

设双曲线方程为真+3=1,由5=病不再①，和②，解方程组求得。2,/的值.

本题考查利用待定系数法求双曲线的标准方程的方法，以及双曲线的简单性质得应用.

15.答案：/(%)=ln(x+1)

解析：解：•.•?1、B、C是直线/上的三点，

向量瓦?满足：瓦？=[y+2/(l)]而一ln(x+l)能，

■-y+2/'⑴-ln(x+1)=1①，

对①求导数得y'—W=°，

代入①式得：/(x)=ln(x+1),

故答案为：/(x)=ln(x+l).

利用A、B、C共线时，OA=AOB+(1-^OC>建立等式①，对①求导数得到1(1)的值，再把此

值代入①，求出/(x)的解析式.

本题考查三个向量共线的性质以及求函数的导数的方法，考查运算能力，属于中档题.

16.答案:n

解析：解：底面半径为1高为3的圆锥的体积为：y=i7rxl2x3=jr.

故答案为：7T.

利用圆锥的体积公式，能求出结果.

本题考查圆锥的体积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意体积公式的合理运用.

17.答案：解：⑴设等比数列｛%｝的公比为g,

•••对于任意的ne/V*,有％、Sn+2、S“+i成等差数列，

2

•••2(%+arq+arq)=&+%+a1q.

整理得：2al(1+q+q2)=%(2+q).

,・,的工0,・•・2+2q+2q2=2+q.

・•・2q2+q=0,又qH0,・•・q=—1.

又的+&=fli(l+q3)=一套，

lo

把q=-：代入,得的=一会

•••an=%q"T=(-j)x(一手n-1=

•••｛%｝的前"项和7；=1n2+^n(n6N*,k>0),月4的最小值为1.

Tj=/?i=^+^=1,解得k=1,

22

当n>2时，bn=T"-Tn-i=(|n+|n)-[|(n-l)+1(n-1)]=n,

71=1时，上式成立，

：■1)日—Tl•

(2)由2m+T<n<4m+£

得数列也｝中落入区间(2771+京铲+今内的个数Cm=4m-2m,

m23m

•••数列的前机项和S7n=(4+42+43+…+4)-(2+2+2+…+2)

_4(1-4吗2(1-2与

1—41—2

Azn+l9

=5-------2m+1+-.

33

n

(3)Vbn=n,an=(~1)，

.•・I如I=|W-|=n-21

1111

an(-l)n，

=n

**•Pn1x2+2x22+3x23+…+几,2.

24=1x2?+2x23+3x2,+…+(71—1)•2n+入2n+1.

•••-P=2+22+23+-+2n-n-2n+1=迎二22_,n+l,

n1-2n2

n+1n+1

Pn=-(兰?-n-2)=(n-1)-2+2.

2

若(九-l)<m(Tn-n-1)对于几>2恒成立，

贝lj(n—l)2<m[(n-1)-2n+1+2—n—1]对于n>2恒成立，

也就是(几-l)2<m(n-1)-(2n+1-1)对于n>2恒成立，

・对于九>2恒成立,

2九+1-1

令fS)=亦三7,

(2—n)・2n+il

"f(.n+1)-f(n)=2n+2-l2n+1-1(2n+2-l)(2n+1-l)

・・・/5)为减函数，.・・“力工"2)=若

・•・m>-.

2

•••(n-l)<m(Tn-n-1)对于几>2恒成立的实数m的范围是巳+8).

2n

解析：(1)由已知得2(4+arq+axq)=%+%+aiq.由此求出册=(一》,由已知得A=瓦=1+

3=1,解得攵=1,当九N2时，匕=〃一=弓足+：九)一己⑺一i)2+/九-1)]=几，从而求

出=n.

(2)由”+[<n<4m+1,得数列也｝中落入区间(2巾+*4机+》内的个数%=4m-2m,由此能

求出数列｛加｝的前相项和.

n2

⑶由I弱=I由I=n•2,利用错位相减法能求出(n-I)<m(Tn-n-1)对于n>2恒成立的实

数m的范围.

本题考查数列的通项公式、前〃项和的求法，考查实数的取值范围的求法，熟练掌握等差数列的通

项公式、等比数列的前〃项和公式是解题的关键.

18.答案：解：(1)分数在100-110内的学生的频率为七=(0.04+0.03)x5=0.35,

所以该班总人数为2=建=60,

分数在110-115内的学生的频率为

P2=l-(0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01)X5=0.1,

分数在110-115内的人数为n=60x0.1=6；

(2)由题意分数在110-115内有6名学生，其中女生有2名，

从6名学生中选出3人，女生人数f的可能取值为0,1,2；

则P($=0)Wp(f=i)=萼=|,p&=2)=等.

所以f的分布列为:

012

131

P

555

f的数学期望为Ef=0x1+lx|+2xi=1；

(3)计算元=1x(88+83+117+92+108+100+112)=100,

y=1X(94+91+108+96+104+101+106)=100；

由于x与y之间具有线性相关关系，

根据回归系数公式得到人b=瑞*心等刃=怒=。-5,

/\a=y—Abx=100—0.5x100=50,

二线性回归方程为Ay=0.5x+50,

•••当x=130时，Ay=0.5x130+50=115.

解析：(1)根据题意，计算分数在100-110内的频率，求出该班总人数，再计算分数在110-115内

的频率，计算对应的人数；

(2)求出分数6名学生中女生有2名，得出6名学生中选出3人，女生人数f的可能取值，再计算对

应的概率值，写出f的分布列，计算数学期望值；

(3)计算元、y,求出回归系数Ab、写出对应线性回归方程，根据方程计算％=130时Ay的值即可.

本题考查了频率分布直方图与线性回归方程以及分布列和数学期望的计算问题，是综合性题目.

19.答案：(I)证明：连接BD交AC于O,连接OE,

•.•底面4BC。是平行四边形，二。是的中点，

又E是BS的中点，

OE//SD,又OEu平面ACE,SDC平面ACE,

S。〃平面ACE.

(H)解：U平面SBC,BSu平面SBC,

•••AELBS,又E为8s的中点，AB1AS,

・•.△4BS是等腰直角三角形，

•••AE=-BS=-BC=1,

22

又正三角形SBC的面积SASBC=|X2X2Xsin600=A/3,

^S-ABC=^A-SBC=,XV3X1=—.

解析：本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题.

(/)连接8。交AC于。，连接OE,根据中位线定理可得OE〃SD,故而SD〃平面ACE；

(〃)求出AE和三角形SBC的面积，代入棱锥的体积公式得出答案.

20.答案：解：(1)因为e=£=立，

a2

所以c2=ga2,即a?—b2=[a2,

所以。2=2炉；

故椭圆方程为三+1=1;

2b2b2

由题意，不妨设点A在第一象限，点B在第三象限，

由匕I,解得A磬瓦表)；

I市+*13

又=2倔

所以04=遍,即浮+涉=5,解得炉=3；

故a=V6>b=V3;

(2)由(1)知，椭圆E的方程为应+”=1,从而4(2,1),B(-2,-1)；

63

①当CA,CB,DAf斜率都存在时，设直线CA,D4的斜率分别为七，fc2,以%,%)，

显然々1*k2;

从而心.kcB=皿♦"=①=3。"=*=_工，

XQ-2XO+2XQ-4XQ-4XQ~42

所以kcB=一今；

同理岫8=—

于是直线A。的方程为y-l=心。-2),直线BC的方程为y+1=-今(x+2)：

(X=.也-4%-2

，+1=一而。+L解得|-2kk-4r

由k+

,y-1=12。-2)V―_2卜也+1-

4kicz-4k「2-2kk-4k+l

从而点N的坐标为(•l122

2k述2+12k述z+l

-4〃i+l.

用心代心，自代心得点M的坐标为(・4kllc2-4k2—2-2k\k?

2〃述2+12更1k2+1

-2*1*2-4灰2+1-2〃1〃2-4力+1

2的〃2+12〃1〃2+1-4(〃]一k2)

所以％MN4k]3-4火1-24比1k2-4Q—2=-1；

4(k2-/Ci)

2k1〃2+l2灯3+1

即直线MN的斜率为定值-1；

②当C4,CB,DA,OB中，有直线的斜率不存在时，

根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，

故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C(2,-l)；

仍然设DA的斜率为伍,由①知MB=-泰；

此时C4：x=2,DB：丁+1=一京(％+2),它们交点M(2,—1—看)；

2

BC：y=-1,AD：y-1=k2(%-2),它们交点N(2一1,—1),

”2

从而k“N=-1也成立；

由①②可知，直线MN的斜率为定值-1；

解析：本题考查了椭圆的几何性质的应用问题，也考查了直线与椭圆的综合应用问题，考查了分类

讨论思想的应用问题，是较难的题目.

(1)根据椭圆的几何性质，利用离心率e以及48的长，求出a、6的值；

(2)结合椭圆E的方程，求出A、B的坐标，讨论：

@CA,CB,DA,OB斜率都存在时，利用斜率的关系，写出直线方程，与椭圆方程联立，求出M、

N的坐标，计算/CMN的值；

②C4CB,DA,中，有直线的斜率不存在时，求出M、N的坐标，计算%MN的值；从而得出正

确的结论.

21.答案：解：(l)/z(x)=3ax2+2bx-3,

依题意，1(1)=((-1)=0,

即13a+2b—3=0

'l3a-2b-3=0.’

解得a=1,b=0.

•1■/(x)=x3—3x,

r(x)=3x2—3=3(x+l)(x—1).

令((x)-0,得x——1,x=1.

若xe(—8,—l)U(l,+8),则[(X)>0,

故/(X)在(-8,-1),(1,+8)上是增函数.

若X6(-1,1),则尸(x)<0,

故/(X)在(一1,1)上是减函数.

所以，"-1)=2是极大值；/(1)=-2是极小值.

(2)曲线方程为、=/一3'点y1(0,16)不在曲线上.

x

设切点为M(a,y0)，则点〃的坐标满足y0=o~3沏•

因/'(x(j)=3(XQ-1),故切线的方程为y-y0=3(瑶—l)(x-x0),

注意到点4(0,16)在切线上，有16-(瑞-3x0)=3(就-1)(0-x0),

化简得端=-8,解得X。=-2.

所以切点为M(—2,—2),

故切线方程为9x-y+16=0.

解析：(1)求得函数的导数，由题意可得/"'(1)