2023年高考数学真题完全解读（全国甲卷理科）

2023年高考数学真题完全解读（全国甲卷理科）

2023年高考数学真题完全解读（全国甲卷理科）

适用省份：四川、广西、贵州、西藏

飞闪试卷总评

高考数学全国卷全面考查数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据

分析等学科核心素养，体现基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求，突出理性思

维，发挥数学学科在人才选拔中的重要作用.

一、基础学科的考查重点

高考数学是基础性学科，2023年高考数学全国卷充分发挥基础学科的作用，突出素养

和能力考查，甄别思维品质、展现思维过程，给考生搭建展示的舞台和发挥的空间，致

力于服务人才自主培养质量提升和现代化建设人才选拔.

一是重点考查逻辑推理素养.如第7题，以三角函数为材料考查充要条件的推证，要求

考生判别充分性和必要性，然后分别进行证明，解决问题的关键是利用三角函数同角公

式中的平方关系进行推理论证.

二是深入考查直观想象素养.如第15题，要求通过想象与简单计算，确定球面与正方体

棱的公共点的个数.

三是扎实考查数学运算素养.试题要求考生理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思

路,求得运算结果。如第12题，可用椭圆的定义和余弦定理,求|P用,归用,俨制2+仍用2,

再用中线的向量公式求OP.

四是加强关键能力考查，增强试题的选拔性.试题通过设置综合性的问题和较为复杂的

情境，加强关键能力的考查.如第21题重视基于数学素养的关键能力的考查，将函数、

导数、三角函数与不等式等知识有机结合，考查学生灵活应用函数、不等式思想解决复

杂问题的能力，对直观想象能力和逻辑推理能力也有较高的要求.在数学知识、数学能

力和创新思维层面都有所体现，具有较好的选拔功能.

二、高考试卷的命题探究

高考数学全国卷在命制情境化试题过程中，在剪裁素材方面，注意控制文字数量和阅读

理解难度；在抽象数学问题方面，设置合理的思维强度和抽象程度；在解决问题方面,

通过设置合适的运算过程和运算量，力求使情境化试题达到试题要求层次与考生认知水

平的契合与贴切.

一是创设现实生活情境.数学试题情境取材于学生生活中的真实问题，贴近学生实际，

具有现实意义，具备研究价值.如第6题，取材于滑冰和滑雪两项典型的冰雪运动，具

有时代气息，贴近考生，贴近生活，意在引导学生积极参加体育活动，健体强身，全面

发展.又如第9题，以志愿者报名参加公益活动的情境考查排列组合内容，引导学生重

视社会责任感，培养学生的创新精神和实践能力.

二是设置科学研究情境.科学研究情境的设置不仅考查数学的必备知识和关键能力，而

且引导考生树立理想信念，热爱科学，为我国社会主义事业的建设作出贡献.如第19题，

研究臭氧环境对小白鼠生长的影响，将小白鼠随机分配到试验组和对照组，利用成对数

据制成列联表，进行独立性检验.

三、高考复习的目标导向

高考数学全国卷在反套路、反机械刷题上下功夫，突出强调对基础知识和基本概念的深

入理解和灵活掌握，注重考查学科知识的综合应用能力，落实中国高考评价体系中“四

翼，，的考查要求.同时，合理控制试题难度，科学引导中学教学，力图促进高中教学与义

务教育阶段学习的有效衔接，促进考教衔接，引导学生提高在校学习效率，避免机械、

无效的学习.

一是突出基础性要求.各套试卷在选择题和填空题部分均设置多个知识点，全面考查集

合、复数、平面向量、排列组合、三角函数的图像和性质、几何体的体积、直线和圆等

内容，实现对基础知识的全方位覆盖.同时，在解答题部分深入考查基础，考查考生对

基础知识、基本方法的深刻理解和融会贯通的应用.如第17题，全面考查等比数列、等

差数列的概念与性质，以主干知识考查理性思维素养和运算求解能力.

二是彰显综合性要求.如第10题，是集合、三角函数的综合题，深入考查集合的概念、

三角函数的周期性，既可以通过三角函数的周期性求解，也可以用数形结合的方法求解.

三是体现创新性要求.如第10题，将三角函数的图像和直线方程相结合，考查两者交点

的个数，展示函数图象在解决问题过程中的重要作用.

2023年高考数学全国卷全面贯彻党的二十大报告精神，落实高考内容改革的要求，严

格依据高中课程标准，深化基础性和综合性，聚焦学科核心素养，精选试题情境，加强

关键能力考查，促进学生提升科学素养，引导全面发展，助推高中育人方式改革.

峪考情分析

题分题考查考查点

试卷第2页，共32页

号型内容

单

15选集合对整数形式的无限集合的理解，求并集，求补集

题

单

25选复数复数的代数乘法运算，复数相等

题

算法

单

与程

35选程序框图的运算

序框

题

图

单

'I--lill平面向量线性运算，等腰三角形的判断，三角形重心的运用，

45选

向量求向量的夹角

题

单

等比

55选等比数列前〃项和计算，需注意其中条件“正项”

数列

题

单

条件概率的计算，用古典概型来做的话，可以用Venn图来表

65选概率

示

题

常用

单

的逻用三角函数同角公式中的平方关系来判断充分性和必要性，可

75选

辑关举反例来判断

题

系

单

圆锥

85选用双曲线的离心率求渐近线，渐近线与圆相交，求弦长

曲线

题

95单计数分类加法、分布乘法计数原理以及特殊条件下的组合问题

选原理

题和排

列组

合

单

三角三角函数图像的平移问题，三角函数与一次函数交点个数判断，

105选

函数可采用图像法，特值法

题

单

立体四棱锥，通过三角形全等的方法证明PB=P4,再通过余弦定理

115选

几何计算出，再计算面积

题

单可通过椭圆的焦点三角形的面积公式以及等面积法求出尸的坐

圆锥

125选标；可用椭圆的定义和余弦定理，求|P用

曲线

题再用中线的向量公式求0尸

函数

填

与三偶函数+偶函数=偶函数，三角函数为偶，通过二次函数一次项

135空

角函为0时是偶函数得出结果

题

数

填

线性

145空根据约束条件作出可行域，根据线性规划求目标函数的最值

规划

题

填

立体

155空根据正方体的对称性，可知球心到各棱的距离相等，即可求解

几何

题

填

三角

165空根据余弦定理求出4C,再用等面积法求出4。

函数

题

解

1712数列(1)公式法求通项公式；(2)用错位相减法求前"项和.

答

试卷第4页，共32页

题

(1)通过线面、面面垂直的判定与性质定理可得A。，平面

解

立体BCCIB1,由勾股定理得。为中点，即可得证；(2)利用直角

1812答

几何

题三角形求出的长及A到面的距离，根据线面角定义直接可

得正弦值.

解概率(1)利用超几何分布的知识即可求分布列和期望；(2)(i)根

1912答与统据中位数的定义即可求的%=23.4,从而列出列联表；

题计(ii)根据独立性检验的方法即可求解；

(1)利用直线与抛物线的位置关系，联立直线与抛物线方程求

解

圆锥出弦长，即可求出p；(2)设直线为*=冲+〃，

2012答

曲线例(4,弘),%(々,%)，再利用时尸・代尸=0，找到〃&〃的关系，

题

求出&WA下的面积表达式，结合二次函数的性质求出最小值.

(1)求导化简，通过，=cos2》换元，转化为二次函数判断导函

解函数

数的正负，即可判断单调性;(2)构造g(x)=〃x)-sin2x,

2112答与导

计算g'(x)的最大值，然后与0比较大小，得出。的分界点，

题数

讨论即可.

极坐

选

标与(1)根据直线的几何意义即可求出；(2)在直角坐标系下求出

2210做

参数直线的普通方程，再转化为极坐标方程.

题

方程

选(1)分类讨论：或x>”去掉绝对值，即可求解；(2)将

不等

2310做绝对值函数写成分段函数，画草图，写出面积表达式，即可求

式

题出.

*备考指津

1、强调对基础知识和基本概念的深入理解和灵活掌握，引导学生提高在校学习效率,

避免机械、无效的学习.

2、学生应认识到低效的学习方式只会带来无效的压力和负担，讲究备考复习时效性，

不断巩固阶段性复习成果.

3、合理控制试题难度，科学引导中学教学，力图促进高中教学与义务教育阶段学习的

有效衔接.

4、不管命题方向趋势如何，重视对基础概念的理解和掌握永远是最重要的.不论题型、

题量、难度如何，透彻、全面地理解基础概念，能够用最基础、朴素的方式使用基础概

念分析解决问题是一切的基础，是能做对所有送分的基础题的基础，是能着手分析难题

的基础，也是未来学习大学的专业知识和高等知识的基础.

5、不管命题方向趋势如何，逻辑分析推理能力也是非常重要的.现在的难题几乎根本不

会出现非常套路化、模板化的陈年旧题，总是在想方设法地推陈出新.就算有旧题型，

往往也都是简单的题目，不需要什么特殊的方法也能做出来.

聒真题解读

一、选择题

1.设全集U=Z，集合M={xlx=3k+\,keZ},N=[^x=3k+2,keZ},加(M2N)=()

A.[x\x=3k,keZ}B.{jdx=3k-l,keZ]

C.{A|x=3k-2,k&Z}D.0

【知识链接】

1、集合的表示方法：列举法、描述法、论”〃图等；

2、集合的类型：有限集、无限集；

3、根据元素的特征判断集合所表示的含义；

4、应用数形结合进行交、并、补等运算，常用的数形结合形式有数轴、坐标系及私〃〃

图.

2.设aeR,(a+i)(l—ai)=2,,贝!]。=()

A.-1B.0C.1D.2

【知识链接】

1、复数的四则运算

设zi=a+历，Z2=c+dt(a,b,c,dWR),我们规定:

zi+z2=(a+bi)+(c+di)-(a+c)+(t>+d)i；

Z2-Z1=(c+di)-(a+bi)=(c-a)+(d-b)i.

zi-Z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i;

试卷第6页，共32页

Z|a+b\(a+bi)(c-d1)ac+bdbc-ad,小、

-=----=7----~----+-----7iz(c+ai/O).

22c+di(c+M)(c-di)c~+rf-c~+d~

2、复数相等的充要条件

两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别对应相等，那么我们就说这两个

复数相等.也就是若mb,c,d£R,则a+〃=c+di=a+b\=O^a=b=O.

3.执行下面的程序框图，输出的()

〃=14=1,6=2

A=A+B

B=A+B

~T~

〃=〃+i

/输

富束)

A.21B.34C.55D.89

【知识链接】

1、程序框图基本概念：

程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准

确、直观地表示算法的图形.

2、构成程序框的图形符号及其作用

程序框名称功能

11起止框表示一个算法的起始和结束，是任何流程图不可少的.

输入、输表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要

//出框输入、输出的位置.

—赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、公式等分别写

处理框

在不同的用以处理数据的处理框内.

判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是"或‘7'；

判断框

O不成立时标明“否”或“AT.

3、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构

4.向量|。|=|匕|=1,|。|=夜，且d+z>+e=o，贝!|8$〈4-。,6-<?)=()

122

A.——B.——C.-D.

555

【知识链接】

1、向量的线性运算

向

量

定义法则(或几何意义)运算律

运

算

求两个向交换律:a+b=b+a\

加

量和的运结合律：

法

算三角形法则平行四边形法则(a+Z?)+c=a+(b+c)

求“与〃的

减相反向量

4-/?=4+(一〃)

法-6的和的

三角形法则

运算

九仇。)=(办)a

求实数2与,七=|斗忖，当/1>0时痴与a的方

数

(2+

向量Z的积向相同；当/<0时/la与a的方向相反；

乘

的运算

当a=0时，助=0+=Za+Ab

2、向量线性运算常见的结论

(1)若P为线段A3的中点，。为平面内任一点，则OP=g(OA+OB).

(2)在AABC中，么+/>8+PC=0=P为"BC的重心.

(3)若G是AABC的重心，贝(]GA+GB+GC=0，AG=~(,AI3+AC)-

3、平面向量的数量积

(1)定义:已知两个非零向量“与〃，它们的夹角为。，则数量时|“cose叫作“与方的

试卷第8页，共32页

数量积（或内积），记作“山，即42=忖•W，cose.规定零向量与任一向量的数量积为0,

即0/=0

（2）向量的夹角

①定义:已知两个非零向量”和人，如图,

作OA=a，OB=a，则/4。8=火0。46三180。）叫作4与方的夹角，记作<〃〃>.

cos0=cos<a,b>=

②当9=0。时，a与b同向；当9=180。时，”与〃反向；当0=90。时，a与b垂直

5.已知正项等比数列｛4｝中，4=1,5“为｛%｝前"项和，S5=553-4,则邑=（）

A.7B.9C.15D.30

【知识链接】

1、等比数列的有关概念

一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列

就叫作等比数列.这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母虱行0）表示，定义的表达

式为）*=虱4和）.

2、等比数列的有关公式

（1）通项公式必，.

,<7=1

（2）前〃项和公式:S〃=<4（1一4"）_ax-anq

—:=-W丰D

\-q]-g

6.有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，

若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（）

A.0.8B.0.4C.0.2D.0.1

【知识链接】

1、条件概率

一般地，设A,B为两个随机事件，且尸（A）>0,我们称尸（B|A尸为在事件A发生

的条件下，事件8发生的条件概率，简称条件概率.

2、概率的乘法公式

由条件概率的定义，对任意两个事件A与8,若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A).我们称

上式为概率的乘法公式.

7.设甲：sin2a+sin2^=l,乙：sina+cos夕=0,则()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必

要条件

【知识链接】

1、同角三角函数的基本关系

(1)平方关系:siMa+cos2a=1.

(2)商数关系:^^=tana(aHA7t+E，keZ

cosa\2

2、充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p=q,则〃是q的充分条件，q是p的必要条件

且q=>/pp是q的充分不必要条件

p=/q且qop〃是〃的必要不充分条件

pgqP是q的充要条件

〃=/4且q=/PP是q的既不充分也不必要条件

8.已知双曲线/巨叱。吠。)的离心率为⑹其中-条渐近线与圆

(x-2f+(y-3)2=l交于A,B两点，则|AB|=()

B.咚C.平撞

-"I-

【知识链接】

1、圆的定义和圆的方程

定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)

标准

(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)圆心:(a,b),半径:r

方程

试卷第10页，共32页

x2+f+Dx+Ey+F=0,即1++=圆心:(DE}

一般半径：

方程2

n2+E2-4F+£-4F

---------(£>2+£2-4F>0)

4*

2、直线被圆截得的弦长

弦心距”，弦长/的一半及圆的半径r构成一直角三角形，且有'=d+(g/户

3、双曲线的标准方程和几何性质

2222

标准方程±..2L=i(a>o,b>o)与b>0)

abab

图形

范围后。或烂-a,y£Rx£R,)W-a或左4

对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点

顶点AI(-4,0),A2(〃，0)Ai(0,-a),A2(0,d)

ba

渐近线y=±-x产土1X

ab

性

e=£=Jl+(2),(1,+oo),其中c=

离心率

质

线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|AIA2|=2a；线段8山2叫作双曲

轴线的虚轴，它的长@&|=24“叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线

的虚半轴长

a,b,c

222

c=a^b(c>a>0fc>b>0)

的关系

9.有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加

服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为()

A.120B.60C.40D.30

【知识链接】

1、计数原理

分类加法计数原理分步乘法计数原理

相同

用来计算完成一件事的方法种数

点

分类、相加分步、相乘

不同

每类方案中的每一种方法都每步依次完成才算完成这件事情（每步中的每一

点

能独立完成这件事种方法不能独立完成这件事）

注意

类类独立，不重不漏步步相依，缺一不可

点

2、排列与组合

名

定义

称

排

并按照一定的顺序排成一列，叫作从"个元素

列

中取出m个元素的一个排列

从〃个不同元素中取出

风,彷〃）个元素

组

作为一组，叫作从〃个不同元素中取出"个元素的

介

一个组合

①从n个不同元素中取出皿加刍）个元素的所有不同排列的个数，叫作从n个不同元素

中取出加个元素的排列数，用符号A：表示.

②从n个不同元素中取出，"（〃区"）个元素的所有不同组合的个数，叫作从n个不同元素

中取出〃?个元素的组合数，用符号C：表示.

10.函数y=/（x）的图象由函数y=cos（2x+^的图象向左平移?个单位长度得到，则

6

y=/（x）的图象与直线y=的交点个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【知识链接】

函数尸sinx的图象经变换得到）=Asin（Gx+3）（A>0,①>0）的图象的步骤如下:

试卷第12页，共32页

11.在四棱锥P—"CQ中，底面ABC。为正方形，AB=4,PC=PD=3,ZPCA=45°,

则PBC的面积为（）

A.20B.3亚C.4>/2D.5夜

【知识链接】

1、简单多面体的结构特征

名称棱柱棱锥棱台

D'

图形区

ARAR

底面互相平行且全等多边形互相平行且相似

侧棱平行且相等相交于一点但不一定相等延长线交于一点

侧面形状平行四边形三角形梯形

2、正弦定理、余弦定理

在△ABC中，若角A,B,C所对的边分别是a,h,c,R为^ABC外接圆的半径，则

定

正弦定理余弦定理

理

6Z2=Z?24-C2-2Z?CCOSA;

内abc

———2/?/72=c2+6Z2-2cacosB；

容sinAsinBsinC

c1=a2+h2-2ahcosC

b2+c2-a2

(l)tz=2/?sinA,b=2RsinB,c=2/?sinC；(2)sinA=cosA=---------；cosB-

变2bc

ab.「cd+t?方

形，sinB=，sinC~；

2R2R2R

2ac

「a2+b2-c2

(3)4:b：c=sinA：sin8：sinC；cosC=-------------

lab

(4)asinB-bsinA,bsinC=csinB,

AsinC=csinA

3、三角形的面积公式

S=yaha-ybhb-ychc(hchhb,力c分别表示a,b,c,边上的高);

S=yabsinC--yacsinB-JbcsinA;

S=y(a+b+c)r(r为ZkABC内切圆的半径);

S=煞(R为4ABe外接圆的半径)；

S=Jp(p-a)(p-b)(p-c),其中p=g(a+b+c).

12.已知椭圆一+—=1,耳,心为两个焦点，。为原点,P为椭圆上一点，cos=-

965

则1P。1=()

A.2B.我C.3D.叵

5252

【知识链接】

1、椭圆的标准方程和几何性质

2222

标准方程♦+%=l(n>Z?>0)+p-=1(a>h>0)

A.

图形

Bx\ab\CnB2x

T

范围-a<x<a\-b<y<b-b<x<b\-a<y<!a

对称性对称轴:坐标轴；对称中心:原点

性Ai(-a,0),A2(a,0),81(0,4)，4(0,-a),A2(0,a),0),

顶点坐标

质&(0,b)历3，0)

轴长轴A1A2的长为2〃；短轴3由2的长为2b

焦距|Fif2|=2c

试卷第14页，共32页

离心率e=-e（0,1）

a

。，仇。的

a2=b2+c2

关系

2、与椭圆的焦点三角形相关的结论(含焦半径公式)

椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形.解决焦点三角形的问题常利用

椭圆的定义、正弦定理和余弦定理.

22

在以椭圆3•上一点P(xo,yo)(y#O)和焦点F|(-C,0),F2(C,0)为顶点的

ah'

APQ尸2中,若NFIPF2=0,则

(l)|PB|=a+exo,|PF2|=a-exo((焦半径公式，e为椭圆的离心率)，\PF\\+\PF^2a-,

222

(2)4C=|PFI|+|PF2|-2|PFI|•\PF2\■cos0;

.n

2

(3”叫丹=yI^FiUP^psin0=c\y^=b\.an—,当伙)|=b,即P为短轴端点时，SPF^取得最

大值，最大值为A；

(4)焦点三角形的周长为2(a+c).

3、中线的向量公式：若尸为线段A3的中点，。为平面内任一点，则OP=g(OA+OB).

二、填空题

13.若/(x)=(x-iy+ox+sin(x+1)为偶函数，贝lja=.

【知识链接】

1、函数的奇偶性

奇偶

定义图象特点

性

偶函如果对于函数直外的定义域内任意一个X,都有人㈤=/(x)，那么关于y轴

数函数./(X)就叫作偶函数对称

奇函如果对于函数7U)的定义域内任意一个x,都有,那关于原点

数么函数火X)就叫作奇函数对称

2、函数奇偶性的几个重要结论

(1求x)为奇函数的图象关于原点对称;A*)为偶函数0Ax)的图象关于y轴对称.

(2)如果函数於)是偶函数，那么段)=/加.|).

(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即./(x)=0,x&D,其中定义域。是关

于原点对称的非空数集.

（4）奇函数在两个对称的单调区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的单调区间上

具有相反的单调性.

（5）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取最值时的自变量互为相反数;

奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数.

（6）设兀v）,g（x）的定义域分别是。02,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇，

奇、奇=偶,偶+偶=偶，偶、偶=偶，奇乂偶=奇.

（7）复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶

提醒:①（6）中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的.

②判断分段函数的奇偶性应分别对每段函数证明火㈤与_Ax）的关系，只有当各段上的x

都满足相同关系时，才能判断其奇偶性.

-2x+3y<3

14.设x,y满足约束条件，3x-2y<3,设z=3x+2y,则z的最大值为.

x+y>\

【知识链接】

1、线性规划问题

⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断：

法一：取点定域法：

由于直线Ar+3），+C=0的同一侧的所有点的坐标代入Ar+3），+C后所得的实数的符

号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点（x。，%）（如原点）,

由心+By0+C的正负即可判断出Ar+8），+C>0（或<0）表示直线哪一侧的平面区域.

即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.

法二：根据Ar+B），+C>0（或<0）,观察B的符号与不等式开口的符号，若同号，

Ar+8y+C>0（或<0）表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域.即：同

号上方，异号下方.

⑵二元一次不等式组所表示的平面区域：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示

的平面区域的公共部分.

⑶利用线性规划求目标函数z=Ar+By（A,B为常数）的最值：

法一：角点法：

如果目标函数z=-+By（x、N即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，

则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到

一组对应Z值，最大的那个数为目标函数Z的最大值，最小的那个数为目标函数Z的最

试卷第16页，共32页

小值

法二：画——移——定——求:

第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线/°：Ar+B），=O,平移直线

/（）（据可行域，将直线平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解（x,y）；第四步,

将最优解（工了）代入目标函数z=Ar+8y即可求出最大值或最小值.

第二步中最优解的确定方法：

利用z的几何意义：2为直线的纵截距.

①若8>0,则使目标函数z=Ax+By所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得最大值,

使直线的纵截距最小的角点处，z取得最小值；

②若B<0,则使目标函数z=Ar+约，所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得最小值,

使直线的纵截距最小的角点处，z取得最大值.

⑷常见的目标函数的类型：

①“截距”型：z=Ax+By-

②“斜率，，型：2=2或2=匕；

xx-a

③“距离，，型：2=噌+丫2或2=Jd+yZ；

z=（x_a）2+（y-6）2或Z=yl（x-a）2+（y-b）2.

在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使

问题简单化.

15.在正方体ABCO-ABCR中，E,F分别为C£>,4百的中点，则以EF为直径的球

面与正方体每条棱的交点总数为.

【知识链接】

正方体的内切球、外接球、棱切球：

正方体的内切球

试卷第18页，共32页

与正方体的棱都相切的球的球心是体对角线的交点.

棱切球的直径等于正方体的面对角线.

16.在43c中，AB=2,NBAC=60o,BC=C,。为8c上一点，AO为/区4c的平

分线，则AO=.

【知识链接】

正弦定理、余弦定理

在AABC中，若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为AABC外接圆的半径，则

定

正弦定理余弦定理

理

a2=b2+c2-2bccosA；

内

abc

———2Rb2=c2+d1-2cacosB；

容sinAsinBsinC

c2=a2+b2-2abcosC

(l)a=2RsinA,h=2RsinB,c=27?sinC;(2)sinA=

b2+c2-a2

a.门b.「ccosA=-------------；cosB=

—,sinB=—,sinC=----；2bc

2R2R2R

变d+L苏

(3)a:b：c=sinA：sin5：sinC；

形lac

222

「a+b-c

(4)。sinB-bsinA,bsinC=csinB,cosC=-------------

2ab

AsinC=csinA

三、解答题

17.设S”为数列｛%｝的前〃项和，已知。2=1，2'=照,.

(1)求｛4｝的通项公式：

(2)求数歹的前〃项和?；.

【知识链接】

1、数列｛。〃｝的。"与S”的关系

(1)数列｛〃”｝的前n项和:S〃=G+G+…+a〃.

S|,n=\,

2、已知S〃求a〃的三个步骤

(I)先利用ai=Si求出ai；

⑵用n-1替换Sn中的”得到一个新的关系，利用a〃=S”-S“i(论2)即可求出当论2时an

的表达式；

(3)注意检验n=\时的表达式是否可以与n>2时的表达式合并.

3、求数列的前〃项和的方法

(1)公式法

①公差为"的等差数列｛“〃｝的前〃项和公式S"=*&=〃0+达产〃.

②公比为q的等比数列｛助｝的前n项和公式

当q=l时，Sn=nai；当好1时，5"=色^—―=T―~■

i-qi-q

(2)倒序相加法

如果一个数列｛“〃｝,首末两端等“距离”的两项的和相等，那么求这个数列的前"项和可

用倒序相加法，如等差数列的前,项和即是用此法推导的.

(3)错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个

数列的前〃项和可用此法来求，如等比数列的前"项和就是用此法推导的.

(4)裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.

(5)分组求和法

若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或其他可求和的数列组成，则求

和时可用分组求和法，分别求和后再相加减.

(6)并项求和法

一个数列的前几项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如加=(-1)，水〃)类型，

可采用两项合并求解.

试卷第20页，共32页

18.如图，在三棱柱ABC-AB©中，AC_L底面ABC,NACB=90。,=2,4到平

面BCC冉的距离为1.

(2)己知AA与BBi的距离为2,求A4与平面BCC.B,所成角的正弦值.

【知识链接】

一、直线与平面垂直

1.定义:如果直线/与平面a内的任意一条直线都垂直，那么直线/与平面a垂直.

2.判定定理与性质定理

文字语言图形语言符号语言

a,bua,

判/。♦力=O,

定一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂

定ILa,

理直，则该直线与此平面垂直7ILb

=>/±a

ab

性

质2a1a]

定垂直于同一个平面的两条直线平行,.\^a//b

理kbVa}

3.距离

(1)过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段叫作这个点到该平面的垂线

段，垂线段的长度叫作这个点到该平面的距离.

(2)一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这条直线

到这个平面的距离.

(3)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等,

我们把它叫作这两个平行平面间的距离.

二、直线和平面所成的角

1.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫作这条直线和这个平面所成的角.

2.当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90°

和0°.

7T

3.范围：0.-.

三、二面角的有关概念

1.二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角.

2.二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱

的两条射线，则这两条射线所成的角叫作二面角的平面角.

3.范围:[0,n].

四、平面与平面垂直

1.定义:如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.

2.判定定理与性质定理

文字语言图形语言符号语言

判

定一个平面过另一个平面的垂线，则这两个I±a,1

定=a_L"

理/u/7J

平面垂直

a工

件IuB，

质两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线

定a/0=a,

理的直线与另一个平面垂直ILa

=>/±a

注意

1.垂直间的三种转化关系

线线垂直声定定理、线面垂直声定定理＞面面垂直

性质定理

2.直线与平面垂直的五个结论

(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.

(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.

(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.

(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直.

(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.

试卷第22页，共32页

19.为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组(不

加药物)和实验组(加药物).

(1)设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为X,求X的分布列和数学期望；

(2)测得40只小鼠体重如下(单位：g)：(已按从小到大排好)

对照组：17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.4

26.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3

实验组：5.46.66.86.97.88.29.410.010.411.2

14.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0

(i)求40只小鼠体重的中位数m，并完成下面2x2列联表：

n＜机

对照组□J

实验组U□

(ii)根据2x2列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.

参考数据：

0.100.050.010

2件次)2.7063.8416.635

【知识链接】

一、超几何分布

1.超几何分布

一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取〃件(不放回),

用X表示抽取的〃件产品中的次品数，则X的分布列为

p（X=k）=k=m,m+\,〃z+2,

C"N

其中〃，N,MEN*,MSN,nWN,m=max{0,上N+M},r=min{«,M}.如果随机变量X

的分布列具有上式的形式，那么称随机