湖南省长沙市雅礼教育集团2022-2023学年高二上学期期末数学试题含答案

雅礼教育集团2022年下学期期末考试试卷高二数学一、选择题：本共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线过点，且不过第四象限，则直线的斜率的最大值是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由直线不过第四象限，可画出所有符合要求的直线，观察可得.【详解】如图，，，只有当直线落在图中所示位置时才符合题意，故.故直线的斜率的最大值为2．故选：A.2.函数的一条对称轴方程是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化简，再根据正弦函数的对称轴求解【详解】,对称轴方程是取,知是一条对称轴故选:C3.若集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据排列数的计算公式可得,根据组合数的性质可得，即可由交集的定义求解.【详解】由可得，由得，故.故选：B4.如图，在同一平面内以平行四边形两边为斜边向外作等腰直角，，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通过题意可得到，然后通过数量积的运算律即可求解.【详解】根据题意可知所以，由等腰直角，可得，，,故选：B5.6名志愿者分配到3个社区参加服务工作，每名志愿者只分配到一个社区，每个社区至少分配一名志愿者且人数各不相同，不同的分配方案共有（）A.540种 B.360种 C.180种 D.120种【答案】B【解析】【分析】根据分组分配即可由排列组合进行求解.【详解】每个社区至少分配一名志愿者且人数各不相同,故三个社区分配到志愿者的人数为，故共有种.故选：B6.双曲线的右焦点F与抛物线的焦点重合,两曲线有一个公共点为P,若,则该双曲线的离心率为()A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】根据焦半径公式计算出点坐标,再根据定义计算离心率即可【详解】由题知,抛物线焦准距设,由,得,所以不妨设点在第一象限,则双曲线焦半距,焦点是根据双曲线的定义,所以所以离心率故选:A7.函数的零点属于区间()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】找到两个端点异号的区间,再说明函数的单调性,利用零点存在定理即可【详解】因为所以又因为是增函数,所以有唯一的零点故选：C8.已知,若,则的最小值等于()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先变形为，证明，再把问题转化为求直线上的动点到圆上动点距离的最小值.【详解】由题设，设,则，当单调递减，当单调递增，所以，即，综上，，即，所以，设是直线上的点，是圆上的点，而目标式为，由，故.故选：B.二、选择题：本共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若复数，则下列结论正确的是（）A.z的虚部是 B.z的共轭复数是C.z的模是 D.z在复平面内对应的点为【答案】BCD【解析】【分析】由复数虚部、共轭复数、模的定义和复数的几何意义对选项一一判断即可得出答案.【详解】∵，∴z的虚部是1，共轭复数是，，在复平面内对应的点为．故选:BCD10.下列数列中，单调递增的数列是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】结合对应函数单调性即可判断各选项.【详解】对于A，结合对应函数在上单调递减，在上单调递增，可知数列不为递增数列；对于B，结合对应函数在上单调递增，可知数列为递增数列；对于C，结合对应函数的单调递增区间为，，可知数列不为递增数列；对于D，由于，结合对应函数在上单调递增，所以数列为递增数列.故选：BD.11.法国数学家笛卡尔开创了解析几何思想方法的先河.他研究了许多优美的曲线，在平面直角坐标系中，方程所表示的曲线称为笛卡尔叶形线.当时，笛卡尔叶形线具有的性质是（）A.经过第三象限 B.关于直线对称C.与直线有公共点 D.与直线没有公共点【答案】BD【解析】【分析】根据笛卡尔叶形线的方程，即可判断AB，联立直线与笛卡尔叶形线的方程，通过方程的根可判断CD.【详解】当时,笛卡尔叶形线为，A：若，则，故不经过第三象限，故A错误，B：若点在曲线上，则点也在曲线上.故笛卡尔叶形线关于直线对称，故B正确，C,D：由方程组得，此方程组无解，故笛卡尔叶形线与直线没有公共点，故D正确，C错误，故选：BD12.过下列哪些点恰可以作函数的两条切线（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】由，所以，设切点为，则，结合导数的几何意义分别求解即可.【详解】由，所以，设切点为，则.对于A，因为，所以在函数上，当为切点时，有一条切线；当不为切点时，由，即，设，则，令，则或；令，则，所以函数在和上单调递增，在上单调递减，又，，所以函数只有一个零点，故只有一个解，综上所述，过恰可做函数的两条切线，故A正确；对于B，由，即，设，则，令，则或；令，则，所以函数在和上单调递增，在上单调递减，又，，所以函数有3个零点，故有3个解，所以恰可做函数的三条切线，故B不正确；对于C，由，即，解得或，所以过恰可做函数的两条切线，故C正确；对于D，由，即，设，则，令，则或；令，则，所以函数在和上单调递增，在上单调递减，又，，所以函数有1个零点，故有1个解，所以恰可做函数的一条切线，故D不正确；故选：AC.三、本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在的展开式中，常数项为_____．【答案】【解析】【分析】根据展开式的通项公式求解即可.【详解】在的展开式的通项公式为，所以令，解得，所以常数项为故答案为：．14.圆与圆的公共弦长等于______.【答案】【解析】【分析】两圆相减得出公共弦所在直线方程，再根据勾股定理计算公共弦长【详解】联立,得公共弦所在直线方程为.圆心到距离所以公共弦长为故答案为：15.如图，在正方体中，动点在线段上，异面直线和所成的角为，则的取值范围是______.（用区间表示）【答案】【解析】【分析】利用，得出，通过线面垂直的判定定理和性质定理可得到，通过几何关系可得到，可知的最小值为与平面所成的角.设的交点为O，则为与平面所成的角.所以的最小值为.的最大值为点在点处，此时.【详解】连结,由正方体的性质可得，，所以四边形是平行四边形，所以，所以异面直线和所成的角即直线与所成的角，连接的交点为O，过点作直线的垂线，垂足为，因为平面，平面，显然,，又平面,所以平面,因为平面,所以,,又因为，平面，所以平面，又平面，，易知,所以有，，，可得,由正方体的性质可知，显然为锐角，所以，得，即，所以当，即点在上时，此时有最大值为，此时最小为；显然当点在时，此时有最大值，因为，此时有最大值，显然为正三角形，所以此时；故故答案为：16.曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率,表明曲线偏离直线的程度,曲率越大,表示曲线的弯曲程度越大,工程规划中常需要计算曲率,如高铁的弯道设计.曲线在点曲率的计算公式是,其中是的导函数.则曲线上点的曲率的最大值是______.【答案】【解析】【分析】根据定义直接计算,最后利用基本不等式得出结果【详解】对于曲线,即当且仅当时等号成立故答案为:三、本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台．该平台首次实现了“有组织，有管理，有指导，有服务”的学习，极大地满足了广大党员干部和人民群众多样化、自主化、便捷化的学习需求，日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门APP．某市宣传部门为了解市民利用“学习强国”学习国家政策的情况，从全市抽取1000人进行调查，统计市民每周利用“学习强国”的时长，下图是根据调查结果绘制的频率分布直方图．（1）估计该市市民每周利用“学习强国”时长在区间内的概率；（2）估计该市市民每周利用“学习强国”的平均时长；（3）若宣传部为了解市民每周利用“学习强国”的具体情况，准备采用分层抽样的方法从和组中抽取7人了解情况，从这7人中随机选取2人参加座谈会，求所选取的2人来自不同的组的概率．【答案】（1）0.3（2）6.8小时（3）．【解析】【分析】(1)由频率分布直方图求出学习时长在内的频率，由此估计学习时长在内的概率；(2)根据平均值的计算公式求解；(3)先由分层抽样的性质确定从和组中应抽取的人数，再列出样本空间，并利用古典概型概率公式求出事件所选取的2人来自不同的组的概率．【小问1详解】由题意知，该市市民每周利用“学习强国”时长在内的频率为，所以估计该市市民每周利用“学习强国”时长在内的概率为0.3．【小问2详解】由题意知各组的频率分别为0.05，0.1，0.25，0.3，0.15，0.1，0.05，所以，所以估计该市市民每周利用“学习强国”的平均时长在6.8小时．【小问3详解】由（2）知，利用“学习强国”时长在和的频率分别为0.25，0.1，故两组人数分别为250，100，采用分层抽样的方法从组抽取人数为，记作a，b，c，d，e；从组抽取人数为，记作A，B；从7人中抽取2人的基本事件有，共21个，来自不同组的基本事件有，共10个，故所求概率．18.记为数列的前n项和，已知的公差为的等差数列.（1）求的通项公式；（2）证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用题意建立等式求出，然后利用，求出通项即可；（2）先将放大为，然后裂项求和即可.【小问1详解】因为，所以，又因为是公差为的等差数列，所以，所以.当时，时，也满足上式.所以的通项公式是；【小问2详解】当时，，不等式成立；当时，.19.如图，中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.（1）求A大小；（2）若内点P满足，求的大小.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）对变形,运用余弦定理求解.（2）设,则,再在与中运用正弦定理得出的另外一个关系即可求解.【小问1详解】因为.所以由余弦定理得,所以【小问2详解】因为，所以设在中,由正弦定理得,在中,由正弦定理得,两式相除得,所以又因为所以,即所以即所以,所以20.如图所示，在直三棱柱中，，为的中点.（1）直线与平面的交点记为，直线与平面的交点记为.证明：直线平面.（2）求二面角的大小；【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由题意可知，两两垂直，分别以为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，可得，进而得到，从而得证；（2）求得平面平面和平面的法向量，进而求解.【小问1详解】根据题意知，两两垂直，分别以为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.因为，E为的中点.所以，所以.直线与的交点即为直线与平面的交点M，直线与的交点即为直线与平面的交点N，所以.所以，所以，又平面平面，所以直线平面.【小问2详解】设G为的中点，则，，因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，所以平面的一个法向量.由，设是平面的法向量，则，，令，得，即，所以二面角大小是.21.设F，E分别是椭圆的左，右焦点，椭圆上存在点N，满足且的面积为20.（1）求b值；（2）设点P的坐标为，直线过点P，与椭圆交于点A，B，线段的中点记为M.若是与的等比中项，求a的最小值，并求出此时直线l的方程.【答案】（1）（2）a的最小值是7，或【解析】【分析】（1）根据余弦定理以及椭圆定义得到焦点三角形中满足的边角关系，即可联立求解，（2）根据点点距离可求解,由向量的模长可得，结合等比中项即可得求解.【小问1详解】设，根据题意得，解得,【小问2详解】由于是线段的中点，所以,又,因此故，又因为是与的等比中项，所以，所以，—①设，记，，同理，所以，代入①，得.整理，得，—②由②得，因为，所以a的最小值为7，此时，即直线l的斜率为.又点在椭圆内，于是两条直线均满足要求.综上，a的最小值是7，此时直线l的方程为或.【点睛】圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.22.设函数，曲线在原点处的切线为x轴，（1）求a的值；（2）求方程解；（3）证明：.【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1