【数学】等差数列的前n项和公式(第2课时)课件-2023-2024学年高二上人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2.2等差数列的前n项和公式复习回顾1、等差数列{an}的前n项和公式：2、求数列前n项和的一种方法：“倒序相加”法随堂练习1、已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n，第k项满足5<ak<8，则k=()A、9B、8C、7D、6B2、在等差数列{an}中，已知公差

，且a1+a3+a5+…+a99=60，a2+a4+a6+…+a100=()A、85B、145C、110D、90A3、等差数列{an}的前n项的和为Sn，已知am-1+am+1-am2=0，S2m-1=38，则m=_____.10例题解析1、某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多两个座位.问第1排应安排多少个座位？解：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成等差数列{an}，其前n项和为Sn.由题意知，数列{an}是一个公差为2的等差数列，且S20=800可得a1=21因此，第1排应安排21个座位例题解析2、已知数列{an}的前n项和为

，求这个数列的通项公式，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？当n=1时也满足①式.an-an-1=2随堂练习4、已知数列{an}的前n项和为

，求这个数列的通项公式.当n=1时不满足①式.探究新知探究：如果一个数列{an}的前n项和为Sn=pn2+qn+r，其中p、q、r为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项和公差是什么？(1)若r=0，则这个数列一定是等差数列.an=2pn+(q-p)(2)若r≠0，则这个数列一定不是等差数列.探究新知则有Sn=An2+Bn(A，B为常数)等差数列前n项和公式的函数特征：当A≠0(即d≠0)时，Sn是关于n的二次函数式，即Sn=An2+Bn的图象是抛物线y=Ax2+Bx上的一群孤立的点当d=0时，{an}是一个常数列，Sn=na1当d≠0时，Sn是一个常数项为零的关于n的二次型函数

即任何一个等差数列前n项的和都可以写成Sn=An2+Bn(A，B为常数)的形式(过原点)例题解析3、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=10，公差d=-2，则Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值n时的值；若不存在，请说明理由.=-n2+11n解：由题意知，a1=10，d=-2，Sn关于n的图象是一条开口向下的抛物线上的一些点.所以，当n=5或6时，Sn最大，最大值为30函数思想例题解析3、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=10，公差d=-2，则Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值n时的值；若不存在，请说明理由.又由an=10+(n-1)×(-2)=-2n+12，可知：另解：由d=an+1-an=-2<0，得an+1<an，当n<6时，an>0；所以{an}是递减数列当n=6时，an=0；当n>6时，an<0；所以，S1<S2<…<S5=S6>S7>…即当n=5或6时，Sn最大.所以Sn的最大值为30从等差数列的通项公式出发来分析归纳提升(1)利用an：当a1＞0，d＜0，数列前面有若干项为正，此时所有正项的和为Sn的最大值

可由an≥0，且an＋1≤0，求得n的值；当a1＜0，d＞0，数列前面有若干项为负，此时所有负项的和为Sn的最小值

可由an≤0，且an＋1≥0，求得n的值.等差数列前n项和的最值问题有两种常用的方法：(2)利用Sn：由

利用二次函数配方法求得最值时n的值.随堂练习5、已知等差数列{an}中，a1=13且S3=S11，求n取何值时，Sn取最大值故当n＝7时，Sn取最大值49.解：(法一)设公差为d.由S3＝S11得=-n2+14n=-(n-7)2+49配方法随堂练习5、已知等差数列{an}中，a1=13且S3=S11，求n取何值时，Sn取最大值解：(法二)设公差为d.由S3＝S11得对称轴法∵a1=13>0，d<0，则Sn的图象如图所示所以图象的对称轴为7n113Sn故当n＝7时，Sn取最大值49.随堂练习5、已知等差数列{an}中，a1=13且S3=S11，求n取何值时，Sn取最大值解：(法三)设公差为d.由S3＝S11得故当n＝7时，Sn取最大值49.∴a7+a8=0又由S3＝S11得，a4+a5+a6+……+a11=0而a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8又d=－2<0，a1=13>0∴a7>0，a8<0随堂练习6、等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1＞0，S3＝S11，则当n为多少时，Sn最大？故当n＝7时，Sn最大.解：(法一)设公差为d.由S3＝S11，因为a1＞0，配方法随堂练习6、等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1＞0，S3＝S11，则当n为多少时，Sn最大？故当n＝7时，Sn最大.解：(法二)设公差为d.由S3＝S11，因为a1＞0，对称轴法所以Sn是关于n的二次函数，由S3＝S11得，所以Sn的图象关于

对称轴随堂练习6、等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1＞0，S3＝S11，则当n为多少时，Sn最大？故当n＝7时，Sn最大.解：(法三)设公差为d.由S3＝S11，解得6.5≤n≤7.5要使Sn最大，则有随堂练习6、等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1＞0，S3＝S11，则当n为多少时，Sn最大？解：(法四)设公差为d.由S3＝S11，又由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0，即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0，故a7＋a8＝0，又由a1＞0，可知d＜0，所以a7＞0，a8＜0，所以当n＝7时，Sn最大.随堂练习7、已知数列{an}是等差数列，a1=50，d=-6.(1)从第几项开始有an<0?(2)求此数列的前n项和的最大值.解：(1)依题意得，an=50+(n-1)×(-6)=-6n+56∴当n=9时，Sn有最大值为令an<0，即-6n+56<0，∴从第10项开始有an<0(2)由(1)知，当1≤n≤9时，an>0，当n≥10时，an<0随堂练习8、在递减的等差数列{an}中，若a1+a100=0，则其前n项和取得最大值的n的值为______.50随堂练习9、设等差数列的前n项和为Sn，已知a3=12，S12>0，S