百师联盟2021高三数学模拟摸底联考试卷含答案解析

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百师联盟2021高三数学模拟摸底联考试卷含答案解析

百师联盟2021届高三开年摸底联考新高考卷

数学试卷

注意事项：

1.答卷的,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上,写在本试卷上

无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

考试时间为120分钟，满分150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

!■已知集合”=|xly=|,N=Ixly=1叫式=-I）”，则集合MCN=

A・|XI0WNW2|B.IXIO^X<1或1<x^2|

C.|x11<%W2|D.|xlO<x<2|

2.复数z满足:1+七=21,则Z=

.21.21.「2」21.

AT-i5'BDi5-rCT+i5'Dn15+T'

3.人口普森是世界各国所广泛采

六次人U忤董总人口数（包括大陆港澳台）

用的搜集人口资料的一种科学1600000000

方法,是提供全国基本人口数1400000000

据的主要来源.根据人口普查1200000000

1000000000

的基本情况，可以科学的研究

8000000000.8

制定社会、经济、科教等各项发6000000000.6

400000000

展政策,是国家科学决策的重0.4

200000000

要基础工作，人口普查资料是0

第一次第二次第三次笫四次第五次第六次

制定人口政策的依据和前提.

截止2020年10月10日,我国■人数一增幅

共进行了六次人口普查,右图

是这六次人I」普花的人数和增幅情况，下列说法正确的是

A.人口数逐次增加，第二次增幅最大

B.第六次普查人数最多,第四次增幅最小

C.第六次普查人数最多，第三次增幅最大

D.人口数逐次增加,从第二次开始增幅减小

2

4.已知圆C：x+/-4x-2r+3=0.过原点的直线/与圆C相交于4津两点，则当A4BC的面

积最大时,在线，的方程为

开年摸底联考新高考卷数学试卷第I页

4i

A.y=OsEy=jxB.,=2b或,=-yx

Cx=Os£y=jxD.y=-1-x

5.将3X男生1名女生分配到甲、乙、丙三个社区参加社会实践，每个社区至少一名同学，则恰

好一名女生和一名男生分到甲社区的概率是

BCD

人•吉T4I

6.函数/«)=ln(b|+1)・8in2”的部分图象大致是

7.雪花曲线因其形状类似雪花而得名，**

它的产生也与雪花类似，由等边三角

形开始,把三角形的每一条边三等分.

并以每一条边三等分后的中段为边.(3)

向外作新的等边三角形,但要去掉与原三角形叠合的边,接若对每一个等边三角形“尖出”的

部分继续上述过程，即以每条边三等分后的中段为边向外作新的等边三角形(如图：(2),

(3),(4)是等边三角形(】)经过第一次,第二次，第三次,变化所得雪花曲线)若按照上述规

律,一个边长为3的等边三角形，经过四次变化得到的雪花曲线的周长是

256

D号

8.如图，直角三角形中，448C=90。,/18=3,BC=4,M点是线段4C一动点,若以M为圆

心半径为6的圆与线段4C交于P,。两点，则前•布的最小值为

二、选择题:本题共4小题,每小题5分，共如分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分,部分选对的得3分.

9.对任意实效a,b,c,有以下命即中，正确的是

A.若则a<6B.若a>A则菅>1

C.则a<161D.若。>I>6>0,则lo区(a-6)>0

开年摸底底考新高考惠敦学试在第2页

10.设M,N是南切■(x)=2sin(«r+M(a>O,O”VF)的图象与直线y=2的西，若MN两

点距离的班小值为6,P(-/,2)是该函数图象上的一个点,则下列说法正确的是

A.该函数图象的一个对称中心是(7.0)

B.该函数图象的对称轴方程是工=-»3A,AeZ

C./(H)在[-丸-向上单调递增

D./(X)=2c<»(y»+-^-)

11.如图所示,在棱长为1的正方体/IBC。-44GA中,M,N分别为棱

4",.DD,的中点，则以下四个结论正确的是

A.B,C//MN'('jf——f»(

B.B£L平面MNC1

C.4到在线MN的距离为乎^|/]/

D.过MN作该正方体外接球的藏面,所得截面的面积的最小值为

O

12.已知函数/(x)=y-lnx+m在区间(I,e)内有唯一零点，则m的可能取值为

A-3B.占C-77TD-,+T

三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若min2a=•，则tana=.

6

14.若(―+：)的展开式中X1的系数为160,则a=.

15.函数/(x)是定义在R上的函数,且/(I)=0J'G)为/(x)的导函数，且〃(幻>0,则不等式

(x-2)/(x)>0的解集是.

16.过抛物线C：/=22•上点时作抛物线D：/=4x的两条切线人也切点分别为P,Q,若

△MPQ的重心为G(14)，则p=.

四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)

在®ai=14.1=；(g)A,+3a+5a+・•・+(2n-1)a.+—+•••+-=n2

+1235a2a.

三个条件中任选一个,补充在下面问题中，并作答・

已知数列｛。“｝满足,

(I)求｛4｝的通项公式；

(2)求|竽坐|的前几项和乙

In(n+1)J

注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分•

开年攫底联考新南考卷数学试卷第3页

18.(12分)

已知aAc是△，BC的内角4,H,C的对边.且5cos/Jc<wC+2=5sinBsinC+cos2d.

(1)求角A的大小；

(2)若△ABC的面积S=第"=6,求sin8sinC的值.

19.（12分）

如图.在直角△48C中,直角边AC=2,乙1=600.5/为AB的中点,Q

为8c的中点，将三角形AAMC沿着MC折起，便AMJ.MB,（4为4

SB折后所在的点），连接MQ.

⑴求证:

（2）求直线MB与面4MC所成角的正弦值.

20.（12分）

近年来.我国的电子商务行业发展迅速,与此同时,相关管理部门建立了针对电商的商品和

服务评价系统.现从评价系统中选出200次成功的交易,并对其i平价进行统计,对商品的好

评率为■1’对服务的好评率为吉.其中对商品和服务均为好评的有80次.

（1）是否可以在犯错误概率不超过0.1的前提下,认为商品好i平与服务好评有关？

（2）若将频率视为拇率.某人在该购物平台t进行的4次购物中，设对商品和服务全好评的

次数为甑机变质X.求对商品和服务全好评的次数V的分布列及Jt期史.

，（界'建A。）0.150.100.050.0250.0100.0050.001

A。2.0722.7063.R4I5.0246.6357.87910.82B

&'=(a+6)在+d)(a+j通+d)(其中-a+-c+d)

21.（12分）

已知椭圆。:£+£=1（。>〃>0）的上'下顶点分别为A.B.P为直线y=2上的动点,当点P

位于点（1,2）时,△dHP的面积=।，椭例。上任意一点到椭网的左焦点F的最短地离

为&-L

（I）求椭MIC的方程；

（2）连接/M,户8,直线,P8分别交椭圆于M,N（异于点4.8）两点,证明：直线"N过

定点.

22.（12分）

已知函数/（x）=ae'+sinx+x,xe[0,ir],

（1）证明：当"=-1时.函数/（外有唯一的极大值点;

（2）当-2va<。时，证明:/（*）<E

开年报底联考新高考卷救学试卷第4页

百师联盟2021届高三开年摸底联考新高考卷

数学参考答案及评分意见

1.B【解析】M=blOWxW2|,7V=|«l«eR,x#l|{adOWxvl或1<#W2］，选B.

2

(a+—=2a

2.A【解析】设z=a+bi,Q,6wR,Q+6i+^^=2(a-bi),,a=^-9b==

6+y=-26

2一吉，选A。

J

3.C【解析】略.

4.A【解析】圆C：/+C-4卜一2»+3=0,(%-2)2+。-1)/=2,因为4斜为为等腰三角形,

AC=BC=瓜当(ACB=90。时，A48C的面积最大，此时圆心C到直线I的距离等于多=1,

设直线/方程y=H，等1=1,解得人=0或4=言,直线/的方程为夕=0或,=9,选人

yjrnr33

5.D【解析】总数《用,恰好一名女生和一名男生分法有c用，恰好一名女生和一名男生分到

甲社区的概率是八吉|二卷，选D.

6.B【解析】/(-x)=-/(%),所以函数是奇函数，排除A,易知ln(|#|+1)N0,当*w

(0,用时，/(%)>0,排除C,4£卜亨)，贝IJsin4<0,故〃2)=ln3xsin4<0排除D,故选B.

7.C［解析】设雪花曲线的边长分别为a,,a2,a3.，边长个数为4出也也，设周长为S„(n=

123,4,5)

ax1a

a2=iy=,。3=y«2=y»4=y«3=亍，％==,，=3也=3x4,63=3x4x4也=3x4

x4x4也=3x4x4x4x4

SL9,S?=12,&=16,S,号，&=竽，选C.

8.B［解析］加-BQ=(BM+MP)■(BM-MP)=\BM\2-\MP\2,

不•前=IBM/-5,只需要求IBMI的最小值即可，

当BM_UC时最小，此时I8MI=号，

(瓦5•而I”*-5=吴选B.

9.AC【解析】/>0,根据不等式性质得a<6,故A正确;对于B,6=0时不成立，故B错误;对

于C,可得0</<凡即lai<1"，(《近1(1|,不等式成立,正确；对于口,若0=今,64，则侬.

(a-b)=logxl=0,D错误;选AC.

10.ABD【解析】函数/(x)周期为6,则3=等,P(-；,2)代人解析式,化简得1=sin(-胃+

DZO

M,则3=津+24p,AwZ,因为。<”明所以夕二学，则/(%)=2sin(yx+^)，令?

开年摸底联考新高考卷数学答案第1页(共6页)

+孕=**得H=3*-2,故函数/(工)的对称中心为(3人-2,0),左右2,当及=3时,工=7,函数

图象的一个对称中心是(7,0),故A正确；

令?+空=手+*”,得到函数图象的对称轴方程*=-；■+3*,八Z,故B正确.一m+

2*”W界+竽+2面,解得-弓+6*WxW-/+6*，则/⑺的单调递增为

[-尹6£,-»64*eZ,当*=0时，得到/(H)在[目单调递增，故C错误；

/(x)=2sin(孕:+竽)=2cos[y-(yx+空)]=2cos(-y*-*)=2cos(yx+菅),故D

正确.选ABD.

11.ACD【解析】易知4c〃4。，AO〃MN,则B,C〃MN,则4正确；D,

分别以ZM,OC,叫为凡y,z轴,建立空间直角坐标系，得瓦Z=(0,,

1,-/),加=(-+,0,-/),品=弓,-1,0),设平面加帽的f'标.「

法向量为m=(%y,z),由加•n»=0,漏♦m=0,得"»=(2,1,-'.......\'/

2),由于瓦"(O,1，T)与加=(2,1,-2)不平行，因此BQ与平---------1/

面MNC,不垂直，故B错误;在平面中易求得4到直线MN的距离为斗，故C正

确;设外接球心为。，过。作。。,_LMM垂足为。,，则过MN且与00、垂直的平面截外接球

所得的圆面积最小，该圆以0,为圆心，设r为半径.易求得MN=OM=ON=亨，则。0,=

亨，该正方体外接球半径R=J-yFTPVP=冬则/=R2-。。J1■，故截面圆面积最

小为卷F,则D正确.

O

12.BC【解析)/y)=T」=^V^,

XxX

(1)当机=0时,在区间(1,6)内，/(*)<0,/(名)在区间(1,6)内单调递减，只要满足：

/⑴>°n//e

,0<m<---,

l/(e)<0'e+r

(2)当m<0时,r(*)=0时/=-m,

若-mNe,即mW-e,在区间(l,e)内,/IZ)>0,/(4)在区间(1,e)内单调递增，只要满足:

若1<-m<e,gp-e<m<-1时,在区间(1,-m)内/(#)>0/(%)在区间(-m,e)内

/(-m)>0/(-m)>0

/'(%)<0,只要满足:/(D<0或/(1)>0，即

l/(e)>0/(e)<0

开年摸底联考新高考卷数学答案第2页(共6页)

--1-ln(-m)+m>0r—1—ln(-zn)+m>0

2m<02m>0

或无解.

—-1+m>0--1+m<0

若0<-mwl,即-lwm<o时,在区间(l,e)内,/(4)<0JQ)在区间(1,e)内单调递减,

-1<m<0

只要满足£脚隈,mN。干也

e

m<----

e+1

综上所述选BC.

e+1

13.5或3［解析】sin2a=2sinacosa=，邪然3f,

Ssina+cosa

2;inotco*=Ntan?=”，所以3tan2a-lOtana+3=O,tana=；或tana=3.

sina+cosa1+tana*S

14.2【解析］(/+Y)6的展开式中的通项为1\八=或(一)6"(。『=媒•ak-jz,12-3A

=3时*=3,所以CV=160,解得a=2.

15.(-8,l)u(2,+8)【解析】由题意可知/⑺在(-8,+8)单谓递增，又/(I)=0,

%<1时,/(*)<0；z>l时J(名)>0；对于(4-2)/(4)>0,当4>2时，不等式成立，当1<4

<2时/-2<0,/(口>0,不等式不成立；当*<1时,*-2<0,且/(4)<0,不等式成立.不

等式的解集(-8,1)U(2,+8).

16.2【解析】设切点坐标为P停,％),Q停,％),设直线，，”-乎=叫6-%),与/=4工

22

联立，消元得/-4叫y+4叫力-力2=0,A=16nli2-4(4mlyl)=4(2m1-yj=0,

x

即=?■，则直线Zj：x=y-(y-Xi)，化简得lx：x=苧-3-，同理有l2-=当一与一，

联立1,4的方程可得，Z=竽,则M(竽，号b,由于aMPQ的重心为

力'/2、力打上,力+力

0；+£+%%=12

(1,|).则丁:丁=1,5H=1

C即所以

|/i+力=3

(；工；，则”的坐标为(T卷)，

将M点坐标代人抛物线C：x2=2”,解得。$

17.【解析】若选①,(1)%.,=小、,两边取倒数得」一=&l=2+工，............2分

又因为器=1，所以｛：｝是首项为1，公差为2的等差数列，所以2=2吁1,

故a-=i^~T..................................................................5分

ZR—1

111

(2)由(1)得:7分

n(ra+1)n(n+1)n

开年摸底联考新高考卷数学答案第3页(共6页)

所以7/1-»卜/+卜++…十一告=1-占=卷,............10分

若选②,(1)Q|+3%+5%+…+(2n-1)as=n.

当nN2时,a〕+3aj+5a3+…+(2n-3)a„.i=n-1，两式相减得(2〃-1)«„=1,

所以4=针二",(〃妾2),.................................................4分

Zn-1

当n=l时,％=1,满足上式，则%=2；/_r...................................5分

(2)由(1)得：(2：二卜!」-士,.................................7分

n(zi+1)n(n+1)nn+1

111111_____n__

所以北二1―+-----+*Z---T'+10分

22334n,+1n+1

若选③,(1)*^-+,+…+-^-="2,/IN2时,'+'+…—=(n-1)2,

aianai02«-1

两式相减得」■=/-6-1)2=2n-l,(n》2),...............................4分

当n=l时,5=1,当所以4=5-^,.......................................5分

Zn—1

(2)由(1)得7n=J--±,...............................7分

n(a+I)n(n+1)nn+I

所以北二1-J…----77=1-=~~T«...........10分

22334nn+1n+1n+I

18.［解析］5cos(8+C)+2=2cos24-1,2cos2/1+5cos4-3=0,

co&4="^■或cos4=-3(舍去).................................................4分

0<4<叫所以4=拳.........................................................5分

(2)S=y/3=y6csiny,6c=6,c=73,6=273,...............................7分

由余弦定理得。2=62+/-从=12+3-6=9,(1=3,...........................10分

由正弦定理得△48C外接圆直径,2/?=3=2=2仔，........................11分

sin4g

~2

(27?)2sinBsinC=6,所以sinBsinC=.....................................12分

19.【解析】（1）取的中点为N,连接MN,NQ,因为4/_LM8,

所以4B=24,3C=2GHe=2,所以4C14/,...2分

又NQ%A】C,所以A［B工QN,...................4分

又△4MB为等腰三角形，所以48_L7VM,M/VAQN=/V

所以48_L面AfNQ,...........................5分

QMU面MNQ,所以MQ_L84....................6分

（2）MQj.B4，MQj_BC,BCn84=B,所以QM_L面4cB

取Q8所在直线为，轴，QM所在直线为y轴，过。点作面

MCB的垂线为z轴，建立空间直角坐标系.

开年摸底联考新高考卷数学答案第4页（共6页）

则8(万,0,0),C(-7T,0.0),M((0,1,0),

4(-亨,0,竽)

设面4,MC一个法向量为n=(*,，»)，湍=(",1,0),

就=(哈，。，喳J，得5产+g鼠=K0取“-I……再

典=(戊，-&，-1),......................................................................................................8分

又加=(白，-1,0),

sin"Icoe>I=亭，...........................................11分

03

宜线MB与面4MC所成角的正弦值为号....................

12分

20.【解析】(1)由题意可得关于商品和服务评价的2x2列联表如下:

对服务好评对服务不满意总计

对商品好评8040120

对商品不满意602080

总计14060200

膨=黑(甯;=1.587,1.587<2.706,............................................................5分

140x60xl20x80'

所以,不可以在犯错误概率不超过0.1的前提下，认为商品好评与服务好评有关.……6分

(2)每次购物时，对商品和服务都好评的概率为右，且X的取值可以是0,1,2,3,4.-6分

其中P(X=0)=信)T；P(X=1)=(：：/)信)'=翁

P(X=2)=C：(I)1(y)J=^r;P(X=3)=C：(/)'(/)=p；

p(x=4)=(/)'=%..................................................................................................

9分

X的分布列为:

X01234

812162169616

P1ryFF

由于X~8(4,>则E(X)4...............................................................................12分

21.【解析】(I*”=/x2b=1,6=1,

设M(a)是椭圆上任意一点,F(-c,0),MP=(x+c)J+/=宗+2cx+a2,

对称轴x=--<-a,区间He[-a,a]为增区间#=-a时,MF~.=a-c,即

c

0-1,