2024届江苏省苏州市吴江区震泽中学高三一模试卷数学试题

2024届江苏省苏州市吴江区震泽中学高三一模试卷数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若复数（是虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知函数是偶函数，当时，函数单调递减，设，，，则的大小关系为（）A． B． C． D．3．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A． B．C． D．4．方程在区间内的所有解之和等于()A．4 B．6 C．8 D．105．已知函数，且关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围（）．A． B． C． D．6．是虚数单位，则（）A．1 B．2 C． D．7．若的展开式中的常数项为-12，则实数的值为（）A．-2 B．-3 C．2 D．38．已知条件，条件直线与直线平行，则是的()A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件9．明代数学家程大位（1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的的值为，则输入的的值为（）A． B． C． D．10．在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（）A． B． C． D．11．已知数列中，，()，则等于（）A． B． C． D．212．已知函数，，且在上是单调函数，则下列说法正确的是（）A． B．C．函数在上单调递减 D．函数的图像关于点对称二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．二项式的展开式中项的系数为_____．14．记为数列的前项和，若，则__________.15．设函数满足,且当时,又函数,则函数在上的零点个数为___________.16．已知实数满足，则的最小值是______________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知，函数有最小值7.（1）求的值；（2）设，，求证：.18．（12分）已知点到抛物线C：y1=1px准线的距离为1．（Ⅰ）求C的方程及焦点F的坐标；（Ⅱ）设点P关于原点O的对称点为点Q，过点Q作不经过点O的直线与C交于两点A，B，直线PA，PB，分别交x轴于M，N两点，求的值．19．（12分）在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝1，AA1＝2，E，F，G分别是棱AA1，AC和A1C1的中点，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz.（1）求异面直线AC与BE所成角的余弦值；（2）求二面角F-BC1-C的余弦值．20．（12分）[选修45：不等式选讲]已知都是正实数，且，求证:．21．（12分）如图所示，在四棱锥中，底面是棱长为2的正方形，侧面为正三角形，且面面，分别为棱的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的正切值．22．（10分）已知函数．当时，求不等式的解集；，，求a的取值范围．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

将整理成的形式，得到复数所对应的的点，从而可选出所在象限.【题目详解】解：，所以所对应的点为在第一象限.故选:A.【题目点拨】本题考查了复数的乘法运算，考查了复数对应的坐标.易错点是误把当成进行计算.2、A【解题分析】

根据图象关于轴对称可知关于对称，从而得到在上单调递增且；再根据自变量的大小关系得到函数值的大小关系.【题目详解】为偶函数图象关于轴对称图象关于对称时，单调递减时，单调递增又且，即本题正确选项：【题目点拨】本题考查利用函数奇偶性、对称性和单调性比较函数值的大小关系问题，关键是能够通过奇偶性和对称性得到函数的单调性，通过自变量的大小关系求得结果.3、B【解题分析】

还原几何体可知原几何体为半个圆柱和一个四棱锥组成的组合体，分别求解两个部分的体积，加和得到结果.【题目详解】由三视图还原可知，原几何体下半部分为半个圆柱，上半部分为一个四棱锥半个圆柱体积为：四棱锥体积为：原几何体体积为：本题正确选项：【题目点拨】本题考查三视图的还原、组合体体积的求解问题，关键在于能够准确还原几何体，从而分别求解各部分的体积.4、C【解题分析】

画出函数和的图像，和均关于点中心对称，计算得到答案.【题目详解】，验证知不成立，故，画出函数和的图像，易知：和均关于点中心对称，图像共有8个交点，故所有解之和等于.故选：.【题目点拨】本题考查了方程解的问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定函数关于点中心对称是解题的关键.5、B【解题分析】

根据条件可知方程有且只有一个实根等价于函数的图象与直线只有一个交点，作出图象，数形结合即可．【题目详解】解：因为条件等价于函数的图象与直线只有一个交点，作出图象如图，由图可知，，故选：B．【题目点拨】本题主要考查函数图象与方程零点之间的关系，数形结合是关键，属于基础题．6、C【解题分析】

由复数除法的运算法则求出，再由模长公式，即可求解.【题目详解】由.故选:C.【题目点拨】本题考查复数的除法和模，属于基础题.7、C【解题分析】

先研究的展开式的通项，再分中，取和两种情况求解.【题目详解】因为的展开式的通项为，所以的展开式中的常数项为：，解得，故选：C.【题目点拨】本题主要考查二项式定理的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.8、C【解题分析】

先根据直线与直线平行确定的值，进而即可确定结果.【题目详解】因为直线与直线平行，所以，解得或；即或；所以由能推出；不能推出；即是的充分不必要条件.故选C【题目点拨】本题主要考查充分条件和必要条件的判定，熟记概念即可，属于基础题型.9、C【解题分析】

根据程序框图依次计算得到答案.【题目详解】，；，；，；，；，此时不满足，跳出循环，输出结果为，由题意，得．故选:【题目点拨】本题考查了程序框图的计算，意在考查学生的理解能力和计算能力.10、D【解题分析】

设羊户赔粮升,马户赔粮升,牛户赔粮升,易知成等比数列,,结合等比数列的性质可求出答案.【题目详解】设羊户赔粮升,马户赔粮升,牛户赔粮升,则成等比数列,且公比,则,故,,.故选:D.【题目点拨】本题考查数列与数学文化,考查了等比数列的性质,考查了学生的运算求解能力,属于基础题.11、A【解题分析】

分别代值计算可得，观察可得数列是以3为周期的周期数列，问题得以解决.【题目详解】解：∵，()，

，

，

，

，

…，

∴数列是以3为周期的周期数列，

，

，

故选：A.【题目点拨】本题考查数列的周期性和运用：求数列中的项，考查运算能力，属于基础题.12、B【解题分析】

根据函数，在上是单调函数，确定，然后一一验证，A.若，则，由，得，但.B.由，，确定，再求解验证.C.利用整体法根据正弦函数的单调性判断.D.计算是否为0.【题目详解】因为函数，在上是单调函数，所以，即，所以，若，则，又因为，即，解得，而，故A错误.由，不妨令，得由，得或当时，，不合题意.当时，，此时所以，故B正确.因为，函数，在上是单调递增，故C错误.，故D错误.故选：B【题目点拨】本题主要考查三角函数的性质及其应用，还考查了运算求解的能力，属于较难的题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、15【解题分析】

由题得，，令，解得，代入可得展开式中含x6项的系数.【题目详解】由题得，，令，解得，所以二项式的展开式中项的系数为.故答案为：15【题目点拨】本题主要考查了二项式定理的应用，考查了利用通项公式去求展开式中某项的系数问题.14、-254【解题分析】

利用代入即可得到，即是等比数列，再利用等比数列的通项公式计算即可.【题目详解】由已知，得，即，所以又，即，，所以是以-4为首项，2为公比的等比数列，所以，即，所以。故答案为：【题目点拨】本题考查已知与的关系求，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.15、1【解题分析】

判断函数为偶函数，周期为2，判断为偶函数，计算，，画出函数图像，根据图像到答案.【题目详解】知，函数为偶函数，，函数关于对称。，故函数为周期为2的周期函数，且。为偶函数，，，当时，，，函数先增后减。当时，，，函数先增后减。在同一坐标系下作出两函数在上的图像，发现在内图像共有1个公共点，则函数在上的零点个数为1．故答案为：.【题目点拨】本题考查了函数零点问题，确定函数的奇偶性，对称性，周期性，画出函数图像是解题的关键.16、【解题分析】

先画出不等式组对应的可行域，再利用数形结合分析解答得解.【题目详解】画出不等式组表示的可行域如图阴影区域所示.由题得y=-3x+z,它表示斜率为-3,纵截距为z的直线系，平移直线，易知当直线经过点时，直线的纵截距最小，目标函数取得最小值，且.故答案为：-8【题目点拨】本题主要考查线性规划问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）.（2）见解析【解题分析】

（1）由绝对值三解不等式可得，所以当时，，即可求出参数的值；（2）由，可得，再利用基本不等式求出的最小值，即可得证；【题目详解】解：（1）∵，∴当时，，解得.（2）∵，∴，∴，当且仅当，即，时，等号成立.∴.【题目点拨】本题主要考查绝对值三角不等式及基本不等式的简单应用，属于中档题．18、(Ⅰ)C的方程为,焦点F的坐标为(1,0)；（Ⅱ）1【解题分析】

（Ⅰ）根据抛物线定义求出p，即可求C的方程及焦点F的坐标；

（Ⅱ）设点A(x1,y1),B(x1,y1),由已知得Q(−1,−1)，由题意直线AB斜率存在且不为0，设直线AB的方程为y=k(x+1)−1(k≠0)，与抛物线联立可得ky1-4y+4k-8=0，利用韦达定理以及弦长公式，转化求解|MF|•|NF|的值．【题目详解】(Ⅰ)由已知得，所以p=1.所以抛物线C的方程为,焦点F的坐标为(1,0)；(II)设点A(x1,y1),B(x1,y1),由已知得Q(−1,−1)，由题意直线AB斜率存在且不为0.设直线AB的方程为y=k(x+1)−1(k≠0).由得，则,.因为点A,B在抛物线C上,所以,.因为PF⊥x轴，所以，所以|MF|⋅|NF|的值为1.【题目点拨】本题考查抛物线的定义、标准方程及直线与抛物线中的定值问题，常用韦达定理设而不求来求解，本题解题关键是找出弦长与斜率之间的关系进行求解，属于中等题.19、（1）.（2）.【解题分析】

（1）先根据空间直角坐标系，求得向量和向量的坐标，再利用线线角的向量方法求解.（2）分别求得平面BFC1的一个法向量和平面BCC1的一个法向量，再利用面面角的向量方法求解.【题目详解】规范解答（1）因为AB＝1，AA1＝2，则F(0，0，0)，A，C，B，E，所以＝(－1，0，0)，＝记异面直线AC和BE所成角为α，则cosα＝|cos〈〉|＝＝，所以异面直线AC和BE所成角的余弦值为.（2）设平面BFC1的法向量为=(x1，y1，z1)．因为＝，＝，则取x1＝4，得平面BFC1的一个法向量为＝(4，0，1)．设平面BCC1的法向量为＝(x2，y2，z2)．因为＝，＝(0，0，2)，则取x2＝得平面BCC1的一个法向量为＝(，－1，0)，所以cos〈〉＝=根据图形可知二面角F-BC1-C为锐二面角，所以二面角F-BC1-C的余弦值为.【题目点拨】本题主要考查了空间向量法研究空间中线线角，面面角的求法，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.20、见解析【解题分析】试题分析：把不等式的左边写成形式，利用柯西不等式即证．试题解析：证明：∵，又，∴考点：柯西不等式21、(1)见证明；(2)【解题分析】

（1）取PD中点G，可证EFGA是平行四边形，从而，得证线面平行；（2）取AD中点O，连结PO，可得面，连交于，可证是二面角的平面角，再在中求解即得．【题目详解】（1）证明：取PD中点G，连结为的中位线，且，又且，且，∴EFGA是平行四边形，则，又面，面，面；（2）解：取AD中点O，连结PO，∵面面，为正三角形，面，且，连交于，可得，，则，即．连，又，可得平面，则，即是二面角的平面角，在中，∴，即二面角的正切值