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文档简介
2023年沈阳市高中一年级教学质量监测数学第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设集合,,则()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据集合间的交集运算求解.【详解】由题意可得:.故选:B.2.设,则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】分别解不等式和,根据小范围推大范围,分析判断即可.详解】若,解得,即解集;若,注意到在定义域内单调递增,解得;故“”是“”的既不充分也不必要条件.故选:D.3.已知,,且与平行,则等于()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出向量与的坐标,然后利用向量共线坐标公式计算即可.【详解】因为,,所以,,若与平行,则,得x=2.故选:C.4.从含有三件正品和一件次品的产品中任取两件,则取出的两件中恰有一件次品的概率是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据古典概型概率计算公式直接计算.【详解】有三件正品(用,,表示)和一件次品(用表示)的产品中任取两件的样本空间,恰有一件次品,由古典概型得,故选:D.5.已知函数的定义域为,则函数的定义域为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可.【详解】∵函数的定义域为,即,可得,∴函数的定义域为,令,解得,故函数的定义域为.故选:B.6.设是所在平面内的一点,,则()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据向量的减法运算求解.【详解】由,则,整理得.故选:A.7.已知幂函数的图象经过点,且,则的取值范围为()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先根据已知条件求出的解析式,再根据的单调性和奇偶性求解即可.【详解】由题意可知,,解得,,故,易知,为偶函数且在上单调递减,又因为,所以,解得,或.故的取值范围为.故选:C.8.设函数,,若的图象与的图象有且仅有三个不同的公共点,,,,则下列判断正确的是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】结合图象可判断BD,将方程可化为,根据不等式性质可判断A,然后可判断C.【详解】如图,在同个坐标系中画出函数,,由题意得的三个解满足,,故BD错误;方程可化为,则有,且由,得,所以,即,所以,.A错误,C正确.故选:C二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.某厂家对其新购进的4000件原料产品的长度(单位:mm)进行统计,可得到如图所示的频率分布直方图,其中分组的区间为,,,,,,低于60视为不合格,则下列说法中正确的是()A.长度在的产品数最多 B.C.不合格的产品数为100件 D.产品长度的平均值约为70.5【答案】ABD【解析】【分析】运用频率分布直方图中所有频率之和为1、频数及平均数公式计算即可.【详解】对于A项,因为频率分布直方图中的矩形的高度最高,所以长度在的产品数最多,故A项正确;对于B项,由得,故B项正确;对于C项,因为,所以不合格产品数为1000件,故C项错误;对于D项,,故D项正确.故选:ABD.10.设集合,且,则x的值可以为()A.3 B. C.5 D.【答案】BC【解析】【分析】根据元素与集合的关系运算求解,注意检验,保证集合的互异性.【详解】∵,则有:若,则,此时,不符合题意,故舍去;若,则或,当时,,符合题意;当时,,符合题意;综上所述:或.故选:BC.11.已知函数,,则下列选项中正确的有()A.的图象关于原点对称 B.的图象关于y轴对称C.与的图象关于x轴对称 D.与的图象关于原点对称【答案】BCD【解析】【分析】根据对称性的定义逐项分析判断.【详解】对A:∵,故为偶函数,图象关于y轴对称,例如,不满足,故的图象不关于原点对称,A错误;对B:∵,故为偶函数,图象关于y轴对称,B正确;对C:,故与的图象关于x轴对称,C正确;对D:,故与的图象关于原点对称,D正确;故选:BCD.12.若关于x的方程的解集中只含有一个元素,则满足条件的实数k可以为()A. B. C.0 D.1【答案】ABD【解析】【分析】将方程变形为(,且)分别讨论,,的情况即可求解,或者根据函数图象的交点情况进行求解.【详解】法一:显然,且,原方程变形得,即,若,此时,方程的解集为,若,此时,方程的解集为,若,此时,方程的解集为.法二:原方程等价于,在平面直角坐标系中做出函数的图象如图,当,当,当此图象和直线的交点只有一个,所以满足条件的实数可以为,,1.故选:ABD第Ⅱ卷(非选择题共90分)三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.某高中的三个年级共有学生2000人,其中高一600人,高二680人,高三720人,该校现在要了解学生对校本课程的看法,准备从全校学生中抽取50人进行访谈,若采取分层抽样,且按年级来分层,则高一年级应抽取的人数是______.【答案】15【解析】【分析】根据分层抽样原则直接计算即可【详解】由题意,从全校2000人中抽取50人访谈,按照年级分层,则高一年级应该抽人.故答案为:1514.已知实数a,b满足,若对于,恒成立,则实数m的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】利用基本不等式“1”的代换求最小值,结合已知不等式恒成立求参数范围即可.【详解】由得:,当且仅当,即,时等号成立,所以的最小值为27,又恒成立,故.故答案为:15.已知函数同时满足下列两个条件:①,②无零点.写出一个符合题意的函数______.(结果不能写成分段函数的形式)【答案】(答案不唯一)【解析】【分析】写出满足两个条件的一个函数即可.【详解】函数同时满足下列两个条件:①,②无零点.故答案为:(答案不唯一).16.若,是方程的两个根,则______.【答案】【解析】【分析】把代入方程,化简得,再利用两根之和及对数运算得,即可求解.【详解】由是方程的根,则,所以,即,又由,是方程的两个根,所以,即,所以,所以.故答案为:四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(1)解关于x的方程:;(2)求关于x不等式的解集.【答案】(1);(2)答案见解析【解析】【分析】(1)方法一:化分式为整式解分式方程;方法二:整理得,分析求解;(2)分类讨论两根的大小关系解一元二次不等式.【详解】(1)(方法一)方程两边同乘得,即,所以,解得,则解集为.(方法二)原方程可化为,即,即,因为,所以,解得,则解集为.(2)原不等式可化为,令,解得或,当时,解集为;当时,解集为;当时,解集为.18.已知函数.(1)证明:函数在上单调递增;(2)讨论关于x的方程的实数解的个数(直接写出结论即可).【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析【解析】【分析】(1)根据单调性的定义分析证明;(2)原题意等价于函数与常函数的交点个数,作出函数的图象,数形结合处理问题.小问1详解】任取,则,令,且,则,,所以,即,故函数在上单调递增.【小问2详解】关于x的方程的实数解的个数,等价于函数与常函数的交点个数,由(1)可得:,令,且,则,,所以,即,故函数在上单调递减,结合(1)可得:函数在上单调递减,在上单调递增,故,令,且,整理得,解得或,故函数的图象如图所示:可得函数的图象如图所示:对于函数与常函数的交点个数,则有:当时,交点个数为0个;当或时,交点个数为2个;当时,交点个数为3个;当时,交点个数为4个.19.新能源汽车具有节约燃油能源、减少废气排放、有效保护环境等优点.据统计,截至2022年9月底,我国新能源汽车保有量为1149万辆,占汽车总保有量的3.65%.小杨哥准备以9万元的价格买一辆新能源汽车作为出租车(不作它用),根据市场调查,此汽车使用年的总支出为万元,每年的收入为5.25万元.(1)此汽车从第几年起开始实现盈利?(2)此汽车使用多少年报废最合算?(①利润=收入-支出;②出租车最合算的报废年限一般指使年平均利润最大时的使用年数)【答案】(1)第3年起开始盈利(2)使用6年报废最合算【解析】【分析】(1)表达出,,由,解出答案;(2)设汽车使用n年的年平均利润为z万元,表达出,利用基本不等式求出最值,得到此汽车使用6年报废最合算.【小问1详解】设此汽车使用n年的总利润为y万元,则,,由得,,解得,所以从第3年起开始盈利;【小问2详解】设此汽车使用n年的年平均利润为z万元,则因,由基本不等式得:,所以,当且仅当,即时取等号,答:所以此汽车使用6年报废最合算.20.在中,,,为的中点,点为线段上一点,且,延长线与交于点.(1)用向量与表示;(2)用向量与表示.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用向量的加减法则及数乘向量运算求解即可;(2)根据E,F,A三点共线,得,再设,得到,通过平面向量基本定理求出,,即可求出向量.【小问1详解】由,,D为AB的中点,得,又由ED=2EC,得,所以.【小问2详解】设,则,……①设,则……②因为,不共线,由①②得,解得,所以.21.足球号称世界第一大体育运动,卡塔尔世界杯刚刚落下帷幕.主办方为了调查球迷对本次世界杯的满意度,从来自本地(地区)和外地(地区)的球迷中,分别随机调查了名球迷,得到他们对本届世界杯的满意度评分,如茎叶图所示:
(1)设表示地区名球迷满意度的方差,表示地区名球迷满意度的方差,则_____;(用“”或“”填空,不要求写出计算过程);(2)计算地区的分位数;(3)根据满意度评分,将满意度从低到高分为三个等级:满意度评分低于分分到分不低于分满意度等级级(不满意)级(满意)级(非常满意)从地区和地区分别随机抽取名球迷,记事件:“地区球迷的满意度等级高于地区球迷的满意度等级”,根据所给数据,用调查样本的频率估计地区总体概率,求的概率.【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】(1)根据样本数据的集中程度可得出、的大小关系;(2)利用百分位数的定义可计算出地区分位数;(3)设事件分别表示抽取地区名球迷的满意度为级,则、、两两互斥,设事件分别表示抽取地区名球迷的满意度为级,则、、两两互斥,可得,利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得的值.【小问1详解】解:因为地区的数据更集中,则地区的方差越小,则.【小问2详解】解:设地区的个数据由小到大依次为、、、,由,得分位数等于.【小问3详解】解:设事件分别表示抽取地区名球迷的满意度为级,则、、两两互斥,设事件分别表示抽取地区名球迷的满意度为级,则、、两两互斥,且有与相互独立,由题意得,,,,,,又有,且、、互斥,故.22.指数级增长又称为爆炸式增长,其中一条结论是:当时,指数函数在区间上的平均变化率随t的增大而增大.已知实数a,b,满足.(1)比较和的大小;(2)当时,比较和的大小;(3)当时,判断的符号.【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】(1)分析可得,,结合对数函数单调性分析运算,注意讨论和;(2)方法一:利用反证法证明;方法二:构建函数,,结合单调性分析运算;方法三:构建,结合单调性分析运算;(3)构建,结合单调性分析可得,再根据题意结论分析可得,即可得结果.【小问1详解】由题意得:,,则,所以,当时,则在定义域内单调递减,解得,所以;当时,则在定义域内单调递增,解得,所以;综上所述:,即,所以.【小问2详解】当时,则,(方法一)①假设,则,即,由,且,所以,则,所以,与已知矛盾,故假设不成立;②假设,则,即,由,且,所以,则,同理可得,与已知矛盾,假设不成立;③当,则,可得,符合题意;由①②③可得:.(方法二)设,则b是的零点,对,且,∵,,在单调递增,则,可得,即,故在单调递增,∴有唯一的零点b,设,对,且,∵,都在单调递增,则,可得,即,故在单调递增,且,故函数零点存在性定理知在存在唯一的零点,则满足,即,可得,即,故,即,所以的零点即为的零点b
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