高考人教数学（理）一轮课件第六章第一节不等关系与不等式

第六章不等式、推理与证明第一节不等关系与不等式a＞b

a＝b

a＜b

a＞b

a＝b

a＜b

性质性质内容特别提醒对称性a＞b⇔_____⇔传递性a＞b，b＞c⇒_____⇒可加性a＞b⇔_____________⇔可乘性注意c的符号ac>bc

ac<bc

b＜a

a＞c

a＋c＞b＋c

2．不等式的基本性质

性质性质内容特别提醒同向可加性⇒同向同正可乘性⇒可乘方性a＞b＞0⇒________(n∈N，n≥1)a，b同为正数可开方性a＞b＞0⇒_________(n∈N，n≥2)ac>bd

a＋c＞b＋d

an＞bn

续表D2．(基本方法：比较大小)设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(

)A．M＞N B．M＝NC．M＜N D．与x取值有关AA答案：(－π，0)5．(基本应用：在实际问题中的应用)完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设请木工x人，瓦工y人，则请工人满足的关系式是________________________．题型一比较两个数(式)的大小B因为a＜0，b＜0，所以a＋b＜0，ab＞0.若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；若a≠b，则p－q＜0，故p＜q.综上，p≤q.类型2利用不等式性质比较大小[例2]

(1)已知x>y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式成立的是(

)A．xy>yz B．xz>yzC．xy>xz D．x|y|>z|y|解析：因为x>y>z，x＋y＋z＝0，所以3x>x＋y＋z＝0，所以x>0，又y>z，所以xy>xz.C(2)(2020·福建厦门模拟)已知a＞b＞0，x＝a＋beb，y＝b＋aea，z＝b＋aeb，则(

)A．x＜z＜y B．z＜x＜yC．z＜y＜x D．y＜z＜xA解析：法一：由题意，令a＝2，b＝1，则x＝2＋e，y＝1＋2e2，z＝1＋2e，显然有1＋2e2＞1＋2e＞2＋e，即x＜z＜y.法二：a＞b＞0时，ea＞eb，∴aea＞aeb＞beb，∴b＋aea＞b＋aeb＞b＋beb，∴y＞z.∵z－x＝(b－a)＋(a－b)eb＝(a－b)(eb－1)＞0，∴z＞x，∴x＜z＜y.类型3构造函数法比较大小[例3]

(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则(

)A．a＞2b B．a＜2bC．a＞b2 D．a＜b2解析：由指数和对数的运算性质可得2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b.令f(x)＝2x＋log2x，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增．又∵22b＋log2b＜22b＋log2b＋1＝22b＋log22b，∴2a＋log2a＜22b＋log22b，即f(a)＜f(2b)，∴a＜2b.BB方法总结1．作差法适用于四则运算形式的整式型代数式的比较大小问题，是解决比较大小问题的基本方法；作商法适用于幂指数形式的代数式以及整式的比较大小问题．破解此类题的关键点：(1)作差(商)，即根据两数或两式的结构特征确定作差或作商．(2)变形，即把差式或商式进行等价变形，化简，以便于判断差或商的大小．(3)定值，即判断差与0的大小，或商与1的大小．(4)定号，即根据差与0的大小关系，或商与1的大小关系确定两数或两式的大小关系．

2．不等式的性质法就是根据已知不等关系，确定已知不等关系向所比较代数式转化的过程，然后利用不等式的性质判断代数式大小的一种方法．适用于基本初等函数代数式的比较大小问题．破解此类题的关键点：(1)明已知，明确已知的不等关系．(2)定变形，确定由已知不等关系变为要比较大小的代数式的过程．(3)寻性质，确定变化过程所使用的不等式的性质．(4)得结果，正确运用不等式的性质判断两者的大小关系．[题组突破]1．已知a>0，且a≠1，m＝

，n＝aa＋1，则(

)A．m≥n B．m>nC．m<n D．m≤nB2．已知a>0，b>0，且a≠b，则(

)A．ab＋1>a＋b B．a3＋b3>a2b＋ab2C．2a3b>3a2b D．aabb<abbaB解析：选项A(作差法)，ab＋1－(a＋b)＝ab－a＋(1－b)＝a(b－1)＋(1－b)＝(a－1)(b－1)，显然当a，b中有一个等于1时，(a－1)(b－1)＝0，即ab＋1＝a＋b，故选项A不正确．选项B(作差法)，a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2)＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a2－b2)(a－b)＝(a－b)2(a＋b).因为a>0，b>0，a≠b，所以a＋b>0，(a－b)2>0，故(a－b)2(a＋b)>0，即a3＋b3>a2b＋ab2，故选项B正确．当a＝2，b＝1时可排除选项CD.3．若a＞0，且a≠7，则(

)A．77aa＜7aa7B．77aa＝7aa7C．77aa＞7aa7D．77aa与7aa7的大小不确定C题型二不等式的性质及应用A

D类型2不等关系的充分必要条件[例2]

(1)下面四个条件中，使a＞b成立的必要不充分条件是(

)A．a－1＞b B．a＋1＞bC．|a|＞|b| D．a3＞b3B解析：“a＞b”不能推出“a－1＞b”，故选项A不是“a＞b”的必要条件，不满足题意；由a＞b，得a＋1＞b＋1＞b，即“a＞b”能推出“a＋1＞b”，但“a＋1＞b”不能推出“a＞b”，故选项B满足题意；当a，b均为负数时，由“a＞b”不能推出“|a|＞|b|”，故选项C不是“a＞b”的必要条件，不满足题意；由不等式的性质可知，“a＞b”能推出“a3＞b3”，且“a3＞b3”能推出“a＞b”，故是充要条件，选项D不满足题意．(2)(2020·哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学联合模拟)下列说法中正确的是(

)A．若“a＞b”是“a＞c”的充分条件，则“b≥c”B．若“a＞b”是“a＞c”的充分条件，则“b≤c”C．若“a＞b”是“a＞c”的充要条件，则“b＞c”D．若“a＜b”是“a＞c”的必要条件，则“b＜c”A解析：令A＝{a|a＞b}，B＝{a|a＞c}，C＝{a|a＜b}．若“a＞b”是“a＞c”的充分条件，则有A⊆B，则b≥c，故选项A正确，选项B错误；若“a＞b”是“a＞c”的充要条件，则有A＝B，则b＝c，故选项C错误；若“a＜b”是“a＞c”的必要条件，则有B⊆C，这是不可能的，故选项D错误．方法总结判断不等式成立的方法(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明，常用的推理判断需要利用不等式的性质．(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数等性质．提醒在判断充分条件、必要条件、充要条件时，首先应弄清楚哪一个是“条件”，哪一个是“结论”，一般地，若p是q的……条件，则p是条件，q是结论；若p的……条件是q，则p是结论，q是条件．

DC[典例剖析][典例]已知－1＜x＜4，2＜y＜3，则x－y的取值范围是_________，3x＋2y的取值范围是____________．

题型三利用不等式的变形求代数式的取值范围(－4，2)

(1，18)解析：法一：第一步利用不等式的可乘性．∵－1＜x＜4，2＜y＜3，∴－3＜－y＜－2，－3＜3x＜12，4＜2y＜6，第二步利用不等式的同向可加性．∴－4＜x－y＜2，∴1＜3x＋2y＜18.法二：第一步等价转化为线性规划，画出可行域．已知－1＜x＜4，2＜y＜3等价于一个线性约束条件画出可行域如图阴影部分所示．第二步根据线性规划求最值，求出范围．可知线性目标函数z1＝x－y过点C(4，2)时取得最大值，最大值为2；过点D(－1，3)时取得最小值，最小值为－4.线性目标函数z2＝3x＋2y过点A(－1，2)时取得最小值，最小值为1；目标函数过点B(4，3)时取得最大值，最大值为18，即－4＜x－y＜2，1＜3x＋2y＜18.方法总结求代数式的取值范围一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，再由已知逐步变出所求形式．

1．(2019·高考全国卷Ⅱ)若a>b，则(

)A．ln(a－b)>0 B．3a<3bC．a3－b3>0 D．|a|>|b|解析：法一：不妨设a＝－1，b＝－2，则a＞b，可验证选项ABD错误，只有选项C正确．C法二：由a＞b，得a