2024届山西省浑源县第五中学高三下第一次联考数学试题

2024届山西省浑源县第五中学高三下第一次联考数学试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在中，，，，点满足，则等于（）A．10 B．9 C．8 D．72．“”是“函数（为常数）为幂函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件3．已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为（）A． B． C． D．4．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．5．等差数列中，，，则数列前6项和为（）A．18 B．24 C．36 D．726．已知变量，满足不等式组，则的最小值为（）A． B． C． D．7．下列函数中，图象关于轴对称的为（）A． B．，C． D．8．函数在的图像大致为A． B． C． D．9．设分别是双曲线的左右焦点若双曲线上存在点，使，且，则双曲线的离心率为（）A． B．2 C． D．10．设a=log73，，c=30.7，则a，b，c的大小关系是（）A． B． C． D．11．设过抛物线上任意一点(异于原点)的直线与抛物线交于两点，直线与抛物线的另一个交点为，则（）A． B． C． D．12．下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边、直角边，已知以直角边为直径的半圆的面积之比为，记，则（）A． B． C．1 D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在的二项展开式中，x的系数为________．（用数值作答）14．如图，在三棱锥A﹣BCD中，点E在BD上，EA＝EB＝EC＝ED，BDCD，△ACD为正三角形，点M，N分别在AE，CD上运动（不含端点），且AM＝CN，则当四面体C﹣EMN的体积取得最大值时，三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为_____.15．已知函数在上仅有2个零点，设，则在区间上的取值范围为_______．16．正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，为中点，则三棱锥的体积为________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心为（2，），半径为1的圆．（1）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设M为曲线C1上的点，N为曲线C2上的点，求|MN|的取值范围．18．（12分）分别为的内角的对边.已知.（1）若，求；（2）已知，当的面积取得最大值时，求的周长.19．（12分）已知函数．（1）若，求的取值范围；（2）若，对，不等式恒成立，求的取值范围．20．（12分）2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼.现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：（1）求的值；（2）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？擅长不擅长合计男性30女性50合计1000.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（，其中）21．（12分）设（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围.22．（10分）已知件次品和件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出件次品或者检测出件正品时检测结束．（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（2）已知每检测一件产品需要费用元，设表示直到检测出件次品或者检测出件正品时所需要的检测费用（单位：元），求的分布列．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

利用已知条件，表示出向量,然后求解向量的数量积．【题目详解】在中，，，，点满足，可得则==【题目点拨】本题考查了向量的数量积运算，关键是利用基向量表示所求向量．2、A【解题分析】

根据幂函数定义，求得的值，结合充分条件与必要条件的概念即可判断.【题目详解】∵当函数为幂函数时，，解得或，∴“”是“函数为幂函数”的充分不必要条件.故选：A.【题目点拨】本题考查了充分必要条件的概念和判断，幂函数定义的应用，属于基础题.3、C【解题分析】试题分析：设的交点为，连接，则为所成的角或其补角；设正四棱锥的棱长为，则，所以，故C为正确答案．考点：异面直线所成的角．4、C【解题分析】

由双曲线与双曲线有相同的渐近线，列出方程求出的值，即可求解双曲线的离心率，得到答案．【题目详解】由双曲线与双曲线有相同的渐近线，可得，解得，此时双曲线，则曲线的离心率为，故选C．【题目点拨】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．5、C【解题分析】

由等差数列的性质可得，根据等差数列的前项和公式可得结果.【题目详解】∵等差数列中，，∴，即，∴，故选C.【题目点拨】本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的前项和公式的应用，属于基础题.6、B【解题分析】

先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值.【题目详解】解：由变量，满足不等式组，画出相应图形如下：可知点,，在处有最小值，最小值为.故选：B.【题目点拨】本题主要考查简单的线性规划，运用了数形结合的方法，属于基础题.7、D【解题分析】

图象关于轴对称的函数为偶函数,用偶函数的定义及性质对选项进行判断可解.【题目详解】图象关于轴对称的函数为偶函数；A中，，，故为奇函数；B中，的定义域为，不关于原点对称，故为非奇非偶函数；C中，由正弦函数性质可知，为奇函数；D中，且，，故为偶函数.故选：D.【题目点拨】本题考查判断函数奇偶性.判断函数奇偶性的两种方法:(1)定义法：对于函数的定义域内任意一个都有，则函数是奇函数；都有，则函数是偶函数(2)图象法：函数是奇(偶)函数函数图象关于原点(轴)对称．8、B【解题分析】

由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由的近似值即可得出结果．【题目详解】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；，排除选项A，故选B．【题目点拨】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．9、A【解题分析】

由及双曲线定义得和（用表示），然后由余弦定理得出的齐次等式后可得离心率．【题目详解】由题意∵，∴由双曲线定义得，从而得，，在中，由余弦定理得，化简得．故选：A．【题目点拨】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是应用双曲线定义用表示出到两焦点的距离，再由余弦定理得出的齐次式．10、D【解题分析】

，，得解．【题目详解】，，，所以，故选D【题目点拨】比较不同数的大小，找中间量作比较是一种常见的方法．11、C【解题分析】

画出图形，将三角形面积比转为线段长度比，进而转为坐标的表达式。写出直线方程，再联立方程组，求得交点坐标，最后代入坐标，求得三角形面积比.【题目详解】作图，设与的夹角为，则中边上的高与中边上的高之比为，，设，则直线，即，与联立，解得，从而得到面积比为.故选：【题目点拨】解决本题主要在于将面积比转化为线段长的比例关系，进而联立方程组求解，是一道不错的综合题.12、D【解题分析】

根据以直角边为直径的半圆的面积之比求得，即的值，由此求得和的值，进而求得所求表达式的值.【题目详解】由于直角边为直径的半圆的面积之比为，所以，即，所以，所以.故选：D【题目点拨】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、-40【解题分析】

由题意，可先由公式得出二项展开式的通项，再令10-3r=1，得r=3即可得出x项的系数【题目详解】的二项展开式的通项公式为，r=0，1，2，3，4，5，令，所以的二项展开式中x项的系数为.故答案为：-40.【题目点拨】本题考查二项式定理的应用，解题关键是灵活掌握二项式展开式通项的公式，属于基础题.14、32π【解题分析】

设ED＝a，根据勾股定理的逆定理可以通过计算可以证明出CE⊥ED.AM＝x，根据三棱锥的体积公式，运用基本不等式，可以求出AM的长度，最后根据球的表面积公式进行求解即可.【题目详解】设ED＝a，则CDa.可得CE2+DE2＝CD2，∴CE⊥ED.当平面ABD⊥平面BCD时，当四面体C﹣EMN的体积才有可能取得最大值，设AM＝x.则四面体C﹣EMN的体积（a﹣x）a×xax（a﹣x），当且仅当x时取等号.解得a＝2.此时三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积＝4πa2＝32π.故答案为：32π【题目点拨】本题考查了基本不等式的应用，考查了球的表面积公式，考查了数学运算能力和空间想象能力.15、【解题分析】

先根据零点个数求解出的值，然后得到的解析式，采用换元法求解在上的值域即可.【题目详解】因为在上有两个零点，所以，所以，所以且，所以，所以，所以，令，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以，，所以.故答案为：.【题目点拨】本题考查三角函数图象与性质的综合，其中涉及到换元法求解三角函数值域的问题，难度较难.对形如的函数的值域求解，关键是采用换元法令，然后根据，将问题转化为关于的函数的值域，同时要注意新元的范围.16、【解题分析】

试题分析：因为正三棱柱的底面边长为，侧棱长为为中点，所以底面的面积为，到平面的距离为就是底面正三角形的高，所以三棱锥的体积为．考点：几何体的体积的计算．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）C1：y2＝1，C2：x2+（y﹣2）2＝1；（2）[0，1]【解题分析】

（Ⅰ）消去参数φ可得C1的直角坐标方程，易得曲线C2的圆心的直角坐标为（0，2），可得C2的直角坐标方程；（Ⅱ）设M（3cosφ，sinφ），由三角函数和二次函数可得|MC2|的取值范围，结合圆的知识可得答案．【题目详解】（1）消去参数φ可得C1的普通方程为y2＝1，∵曲线C2是圆心为（2，），半径为1的圆，曲线C2的圆心的直角坐标为（0，2），∴C2的直角坐标方程为x2+（y﹣2）2＝1；（2）设M（3cosφ，sinφ），则|MC2|，∵﹣1≤sinφ≤1，∴1≤|MC2|，由题意结合图象可得|MN|的最小值为1﹣1＝0，最大值为1，∴|MN|的取值范围为[0，1]．【题目点拨】本题考查椭圆的参数方程，涉及圆的知识和极坐标方程，属中档题．18、（1）（2）【解题分析】

（1）根据正弦定理，将，化角为边，即可求出，再利用正弦定理即可求出；（2）根据，选择，所以当的面积取得最大值时，最大，结合（1）中条件，即可求出最大时，对应的的值，再根据余弦定理求出边，进而得到的周长．【题目详解】（1）由，得，即.因为，所以.由，得.（2）因为，所以，当且仅当时，等号成立.因为的面积.所以当时，的面积取得最大值，此时，则，所以的周长为.【题目点拨】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，涉及到基本不等式的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力．19、（1）；（2）.【解题分析】

（1）分类讨论，，，即可得出结果；（2）先由题意，将问题转化为即可，再求出，的最小值，解不等式即可得出结果.【题目详解】（1）由得，若，则，显然不成立；若，则，，即；若，则，即，显然成立，综上所述，的取值范围是．（2）由题意知，要使得不等式恒成立，只需，当时，，所以；因为，所以，解得，结合，所以的取值范围是．【题目点拨】本题主要考查含绝对值不等式的解法，以及由不等式恒成立求参数的问题，熟记分类讨论的思想、以及绝对值不等式的性质即可，属于常考题型.20、（1）（2）填表见解析；不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系【解题分析】

（1）利用频率分布直方图小长方形的面积和为列方程，解方程求得的值.（2）根据表格数据填写列联表，计算出的值，由此判断不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系.【题目详解】（1）由题意，解得.（2）由频率分布直方图可得不擅长冰上运动的人数为.完善列联表如下：擅长不擅长合计男性203050女性104050合计3070100，对照表格可知，，不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系.【题目点拨】本小题主要考查根据频率分布直方图计算小长方形的高，考查列联表独立性检验，属于基础题.21、（1）（2）【解题分析】

(1)通过讨论的范围,得到关于的不等式组,解出取并集即可.(2)去绝对值将函数写成分段函数形式讨论分段函数的单调性由恒成立求得结果.【题目详解】解：（1）当时，，即或或解之得或，即不等式的解集为.（2）由题意得：当时为减函数，显然恒成立.当时，为增函数，，