高考数学一轮复习 讲义空间直线平面的垂直 学生

课题：空间直线、平面的垂直知识点1．垂直的定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作：．直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面．直线与平面垂直时，它们的唯一公共点叫做垂足。2．直线与平面垂直的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行，也可简记为线面垂直、线线平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b3．平面与平面垂直的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面垂直l⊥α，l⊂β⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β【注1】在已知平面内“找出”两条相交直线与已知直线垂直就可以判定直线与平面垂直。即将“线面垂直”转化为“线线垂直”【注2】直线与平面垂直的性质定理不仅揭示了线面之间的关系，而且揭示了平行与垂直之间的内在联系。【注3】应用面面垂直的判定定理难点在于：在一个平面内找到另一个平面的垂线,即要证面面垂直转化为证线线垂直。口诀为：见到垂面做垂线．【注4】线面、面面垂直的综合应用1．直线与平面垂直（1）判定直线和平面垂直的方法：①定义法．②利用判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．（2）直线和平面垂直的性质：①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．②垂直于同一个平面的两条直线平行．③垂直于同一直线的两平面平行．2．斜线和平面所成的角：斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角．3．平面与平面垂直（1）平面与平面垂直的判定方法：①定义法．②利用判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．（2）平面与平面垂直的性质：如果两平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．【注5】证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面）．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形（或给出线段长度，经计算满足勾股定理）、直角梯形等等．【注6】判定面面垂直的方法：（1）面面垂直的定义．（2）面面垂直的判定定理（a⊥β，⇒α⊥β）．在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，转化为线面垂直或线线垂直．转化方法：在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．【注7】1．垂直关系的转化：2．在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键．典型例题例1如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列正确的是（）A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE例2m是一条直线，α，β是两个不同的平面，以下命题正确的是（）A．若m∥α，α∥β，则m∥β B．若m∥α，∥β，则α∥β C．若m∥α，α⊥β，则m⊥β D．若m∥α，m⊥β，则α⊥β例3空间中，设表示直线，，表示不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则例4设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列四个命题中假命题的是（）A．若则B．若则C．若则D．若，则例5如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有（

）A．2条B．4条C．6条D．8条例6已知，是两个不重合的平面，，是两条不重合的直线，下列命题正确的是（

）A．若，，则B．若，，，则C．若，，则D．若，，，则例7设，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列说法正确的是（

）A．若，，则B．若，，，，则C．若，，则D．若，，，则例8如图，是正方形，是正方形的中心，底面，是的中点．求证：（1）平面；（2）平面．例9如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，点是的中点．求证：（1）平面；（2）．例10如图，在四棱锥中，四边形为正方形，已知平面，且，为中点．（1）证明：平面；（2）证明：平面平面．例11如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）直线A1F∥平面ADE．例12如图，已知四棱柱中，各棱长都为，底面是正方形，顶点在平面上的射影是正方形的中心，求证：平面．例13如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC．证明：AE∥MN．例14如图，在圆柱中，是圆柱的母线，是圆柱的底面的直径，是底面圆周上异于、的点．求证：平面．例15如图，四边形是矩形，平面，平面，，．（1）证明：平面平面；（2）求三棱锥的体积．例16如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，，分别为棱，的中点，为棱上的动点．求证：（1）平面；（2）平面平面．例17如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面ABCD，，点E是PB的中点．求证：（1）平面PAB；（2）平面平面PBC．例18如图所示，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，分别是的中点．求证：（1）平面PCE（2）平面平面例19如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为棱上一点，且，为棱的中点．（1）证明：平面平面；（2）求四棱锥的体积．例20空间四边形ABCD，E，F，G分别是BC，AD，DC的中点，FG＝2，GE＝，EF＝3．求证：AC⊥BD．例21已知四棱锥的底面是菱形，平面．（1）设平面平面，求证：；（2）求证：．举一反三1．下列四个命题中，正确命题的个数是（）个①若平面平面，直线平面，则；②若平面平面，且平面平面，则；③平面平面，且，点，，若直线，则；④直线为异面直线，且平面，平面，若，则．A．B．C．D．2．设，是两个不同的平面，是一条直线，给出下列命题：①若，，则；②若，，则．则（）A．①②都是假命题B．①是真命题，②是假命题C．①是假命题，②是真命题D．①②都是真命题3．已知平面与两条不重合的直线，则“，且”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．若m、n、l表示不同的直线，（、（表示不同的平面，则下列推理正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则5．已知为三个不同的平面，为一条直线，给出下列四个命题①若，则；

②若，则③若，；

④若，，则；其中，是假命题的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．46．已知为不同的直线，为不同的平面，以下四个命题其中正确的序号为（

）①

②③

④A．①② B．③④ C．②③ D．②③④7．（多选）已知不同直线l、m、n与不同平面、，下列推论正确的是（

）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则或8．如图，已知平面PBC，，M是BC的中点，求证：．9．在正三棱柱中，如图所示，，G，E，F分别是，AB，BC的中点，求证：直线直线GB．10．圆柱如图所示，为下底面圆的直径，为上底面圆的直径，底面，，，．（1）证明：面．（2）求圆柱的体积．11．在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD．求证：l∥AE．12．如图，已知正方体A1C．（1）求证：A1C⊥B1D1；（2）M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求证：MN∥A1C．13．如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ADB＝90°，CB＝CD，点E为棱PB的中点．（1）若PB＝PD，求证：PC⊥BD；（2）求证：CE∥平面PAD．14．如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，点E为PC的中点．（1）求证：平面BDE；（2）求证：PC⊥BD．15．如图所示，和所在平面互相垂直，且，点分别为的中点，求证：平面16．如图所示，M是菱形ABCD所在平面外一点，．求证：AC垂直于平面BDM．17．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面底面分别为的中点．．（1）求证：直线平面；（2）求三棱锥的体积．18．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．证明：AD⊥C1E．19．如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=．求证：AD⊥BC．20．如图，四棱锥的底面为矩形，底面，，点是棱的中点．（1）求证：；（2）若，，求三棱锥的体积．21．如图，在三棱锥中，分别为的中点，，且，．求证：平面．课后练习1．已知m,n是两条不同的直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则2．已知表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）A．若则B．若，，则C．若，，则D．若，，则3．如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD，AB⊥AD，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A－BCD，使平面ABD⊥平面BCD，则下列说法中正确的是（

）①平面ACD⊥平面ABD；②AB⊥AC；③平面ABC⊥平面ACD．A．①②B．②③C．①③D．①②③4．在四棱锥中，已知底面，且底面为矩形，则下列结论中错误的是（

）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面5．（多选）如图，在三棱锥PABC中，平面的中点，则下列结论正确的是（

）A．平面B．C．平面D．平面6．（多选）设m、n、l表示不同的直线，表示不同的平面，则下列命题中正确的是（

）A．，则 B．，则C．，则 D．，则7．如图，在直角梯形中，，，，并将直角梯形绕AB边旋转至ABEF．（1）求证：直线平面ADF；（2）求证：直线平面ADF；（3）当平面平面ABEF时，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使平面ADE与平面BCE垂直．并证明你的结论．条件①：；条件②：；条件③：．8．在条件①；②；③平面平面中任选一个，补充到下面的问题中，并给出问题解答．问题：如图，在直三棱柱中，，且________，求证：．9．如图，在中，，，．分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）当点在何处时，的长度最小，并求出最小值．10．如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．（1）求到平面的距离；（2）设D为的中点，，平面平面，求线段BC的长度．11．如图，在四棱锥中，四边形是等腰梯形，，，．点为棱的中点，点为棱上的一点，且，平面平面．（1）证明：；（2）证明：平面．12．如图，已知正方体的棱长为1，与交于点，求证：平面13．如图，在正方体中，，，分别为三条面对角线，为一条体对角线．求证：（1）；（2）平面．14．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，又底面为的中点．（1）求证：；（2）设是的中点，求证：平面．15．如图，在三棱柱中，侧棱底面，为棱的中点