高中文科数学专题能力训练题：平面向量与复数

专题能力训练：平面向量与复数一、能力突破训练1.(2018全国Ⅰ,文2)设z=1-i1+i+2i,则|z|=A.0 B.12 C.1 D.2.如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则OP+OQ=(A.OH B.OG C.FO D.EO3.设a,b是两个非零向量,下列结论正确的为()A.若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥bB.若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得b=λaD.若存在实数λ,使得b=λa,则|a+b|=|a|-|b|4.在复平面内,若复数z的对应点与5i1+2i的对应点关于虚轴对称,则z=(A.2-i B.-2-i C.2+i D.-2+i5.(2018全国Ⅱ,文4)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=()A.4 B.3 C.2 D.06.下面是关于复数z=2-1+i的四个命题:p1:|z|=2,p2:z2=2i,p3:z的共轭复数为1+i,p4:z的虚部为-1,其中的真命题为()A.p2,p3 B.p1,p2 C.p2,p4 D.p3,p47.已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则BD·CD=(A.-32a2 B.-34aC.34a2 D.328.设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,则x=.

9.(2018全国Ⅲ,文13)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=.

10.在△ABC中,若AB·AC=AB·CB=11.已知a=(cosθ,sinθ),b=(3,-1),f(θ)=a·b,则f(θ)的最大值为.

12.过点P(1,3)作圆x2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则PA·PB=.

13.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知向量OA=(2,2),OB=(4,1),在x轴上取一点P,使AP·BP有最小值,则点P的坐标是14.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,|AD|=12|AB|,|BE|=23|BC|.若DE=λ1AB+λ2AC(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为.二、思维提升训练15.若z=4+3i,则z|z|=(A.1 B.-1 C.45+35i 16.如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O,记I1=OA·OB,I2=OB·OC,I3=OCA.I1<I2<I3 B.I1<I3<I2C.I3<I1<I2 D.I2<I1<I317.已知两点M(-3,0),N(3,0),点P为坐标平面内一动点,且|MN|·|MP|+MN·NP=0,则动点P(x,y)到点M(-3,0)的距离d的最小值为(A.2 B.3 C.4 D.618.已知a∈R,i为虚数单位,若a-i2+i为实数,则a的值为19.已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b.若b·c=0,则t=.

20.在任意四边形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,若EF=λAB+μDC,则λ+μ=.

21.已知a,b∈R,i是虚数单位.若(a+i)(1+i)=bi,则a+bi=.

专题能力训练：平面向量与复数（答案）一、能力突破训练1.C解析因为z=(1-i)2(1+i)(1-i)2.C解析设a=OP+OQ,以OP,OQ为邻边作平行四边形,则夹在OP,OQ之间的对角线对应的向量即为向量a=OP+OQ.因为a和FO长度相等,方向相同,所以a=FO3.C解析设向量a与b的夹角为θ.对于A,可得cosθ=-1,因此a⊥b不成立;对于B,满足a⊥b时|a+b|=|a|-|b|不成立;对于C,可得cosθ=-1,因此成立,而D显然不一定成立.4.D解析5i1+2i=5i(1-2i)(1+2i)(1-2i)=5.B解析a·(2a-b)=2a2-a·b=2-(-1)=3.6.C解析z=2(-1-i)(-1+i)(-1-i)=-1-i,故|z|=2,p1错误;z2=(-1-i)2=(1+i)2=2i,p2正确;z的共轭复数为7.D解析如图,设BA=a,BC=b.则BD·CD=(BA+BC)·BA=(a+b)·a=a2+a·b=a2+a·a·cos60°=a2+12a28.-23解析∵a⊥b,∴a·b=x+2(x+1)=解得x=-239.12解析2a+b=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),c=(1,λ由c∥(2a+b),得4λ-2=0,得λ=12.10.22解析由AB·AC=4,AB·CB=4,得AB·AC+AB·CB=8,于是AB·(AC+CB)=8,即AB·AB=8,11.2解析f(θ)=a·b=3cosθ-sinθ=232cosθ-故当θ=2kπ-π6(k∈Z)时,f(θ)max=212.32由题意可作右图,∵OA=1,AP=3,又PA=PB,∴PB=3.∴∠APO=30°.∴∠APB=60°.∴PA·PB=|PA||PB|·cos60°=13.(3,0)解析设点P的坐标为(x,0),则AP=(x-2,-2),BP=(x-4,-1),AP·BP=(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+当x=3时,AP·BP有最小值1.此时点P的坐标为14.12解析由题意DE=DB+BE=12AB+23BC=12AB+23(BA+AC二、思维提升训练15.D解析因为z=4+3i,所以它的模为|z|=|4+3i|=42+32=5,共轭复数为z=4-3i.故z|16.C解析由题图可得OA<12AC<OC,OB<12BD<OD,∠AOB=∠COD>90°,∠所以I2=OB·OC>0,I1=OA·OB<0,I3=OC·OD<0,且所以I3<I1<0<I2,故选C.17.B解析因为M(-3,0),N(3,0),所以MN=(6,0),|MN|=6,MP=(x+3,y),NP=(x-3,y).由|MN|·|MP|+MN·NP=0,得6(x+3)2+y2+6(x-3)=0,化简得y2=-12x,所以点M是抛物线y2=-12x的焦点,所以点P到M的距离的最小值就是原点到M(-3,0)的距离18.-2解析∵a-i2+i=(a-i)(2-i19.2解析∵c=ta+(1-t)b,∴b·c=ta·b+(1-t)|b|2.又|a|=|b|=1,且a与b的夹角为60°,b·c=0,∴0=t|a||b|cos60°+(1-t),0=12t+1-t.∴t=2.20.1解析如图,因为E,F分别是AD,BC的中点,所以EA+