奥数牛顿问题

[阅读材料]世界名题与小升初之：牛顿问题在各类竞赛中，各类小升初考试中相关的世界名题出现的概率极高，这是由小升初与数学竞赛的特点决定，这特点便是：知识性，趣味性，思想性相结合。以下用讲义形式出示小升初考试中的各类牛顿问题，又叫牛吃草问题，可以归类到工程问题中，初中学习时用多元一次方程组。引例：著名科学家牛顿著的《普通算术》一书有这样一道题：12头牛4周吃牧草格尔，同样牧草，21头牛9周吃10格尔。问24格尔牧草，多少头牛吃18周吃完〔格尔-—牧场面积单位〕？以后人们称这类问题为牛顿的“牛吃草〞问题。解题技巧：牛吃草问题是一种较复杂的消元问题，这种题的关键是牧场上牧草的总数量在不断地变化，因此要解答好这类题首先要分析清草的变化情况，即常说的新生量。然后再找出牧场上原有草的数量，只要你请注意了这两点，就能很好地把问题解答出来。上题较难，学完下面的例题再看这题的解析：12头牛4周吃牧草格尔，那么10格尔草地，12×3=36头牛，吃4周。10格尔草地每周长草：〔21×9-36×4〕÷〔9-4〕=924格尔草地每周长草：9÷10×24=21.610格尔草地原来有草：21×9-9×9=108，24格尔草地原来有草：108÷10×24=259.2259.2÷18=14.414.4+21.6=36头牛。答：24格尔牧草，36头牛吃18周吃完【典型例题】基此题：匀速长草例1牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长.这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天.供25头牛可吃几天？分析与解例题的难点，难就难在牧场上牧草的总数量不确定，它随着时间的增加而增加.但是不管它怎么增长，总草量总是由牧场原有草量和每天新长出的草量相加得来的.下面设法找出这两个量来.从上面的图可以看出：10头牛20天吃的总草量比15头牛10天吃的总草量多，多出局部相当于10天新生长出的草量.为了求出一天新长的草量，下面进行转化.10头牛吃20天相当于200头牛吃一天，或一头牛吃200天.15头牛吃10天相当于150头牛吃一天，或一头牛吃150天.这一来每天新生的草量，相当于5头牛吃一天[5=〔10×20-15×10〕÷〔20-10〕].有了一天新生的草量相当于5头牛吃一天，那么，20天新生的草量就相当于100头牛吃一天.这一来原有的草量就相当于100头牛吃一天〔100=10×20-5×20〕.有了原有与新生的草量，问题便能很快求出解来.分步列式如下：10头牛20天吃的草可供多少头牛吃一天？10×20=200〔头〕15头牛10天吃的草可供多少头牛吃一天？15×10=150〔头〕〔20-10〕天新生的草可供多少头牛吃一天？200-150=50〔头〕每天新生的草可供多少头牛吃一天？50÷10=5〔头〕20天〔或10天〕新生的草可供多少头牛吃一天？5×20=100〔头〕或5×10=50〔头〕原有草可供多少头牛吃一天？200-100=100〔头〕或150-50=100〔头〕每天25头牛中的5头去吃新生的草，其余的牛吃原有的草，全部牧草几天吃完？100÷〔25-5〕=5〔天〕综合算式：[10×20-〔10×20-15×10〕÷〔20-10〕×20]÷〔25-5〕=5〔天〕答：25头牛5天吃完.稍变化：草匀速减少例2由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少。经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天。那么，可供11头牛吃几天？解：以1头牛1天吃的草为1份。牧场上的草每天自然减少〔20×5-16×6〕÷〔6-5〕=4〔份〕；原来牧场有草〔20+4〕×5=120〔份〕；可供11头牛吃120÷〔11+4〕=8〔天〕。稍变化：淘水例3一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果10人淘水，3小时淘完；如5人淘水8小时淘完.如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？分析与解答这类问题，都有它共同的特点，即总水量随漏水的延长而增加.所以总水量是个变量.而单位时间内漏进船的水的增长量是不变的.船内原有的水量〔即发现船漏水时船内已有的水量〕也是不变的量.对于这个问题我们换一个角度进行分析。如果设每个人每小时的淘水量为“1个单位〞.那么船内原有水量与3小时内漏水总量之和等于每人每小时淘水量×时间×人数，即1×3×10＝30.船内原有水量与8小时漏水量之和为1×5×8=40。每小时的漏水量等于8小时与3小时总水量之差÷时间差，即〔40-30〕÷〔8-3〕=2〔即每小时漏进水量为2个单位，相当于每小时2人的淘水量〕。船内原有的水量等于10人3小时淘出的总水量-3小时漏进水量.3小时漏进水量相当于3×2=6人1小时淘水量.所以船内原有水量为30-〔2×3〕=24。如果这些水〔24个单位〕要2小时淘完，那么需24÷2＝12〔人〕，但与此同时，每小时的漏进水量又要安排2人淘出，因此共需12+2＝14〔人〕。从以上这两个例题看出，不管从哪一个角度来分析问题，都必须求出原有的量及单位时间内增加的量，这两个量是不变的量.有了这两个量，问题就容易解决了。稍变化：人口与资源例4假设地球上新生成的资源增长速度是一定的，照此计算，地球上的资源可供110亿人生活90年；或供90亿人生活210年。为了使人类能够不断繁衍，地球上最多能养活多少人？答案：75亿人。解：〔90×210-110×90〕÷〔210-90〕=75亿人。稍变化：排队问题例5展览会9点看门，但早就有人排队等着入场。并且从第一个观众来到之后每分钟来到的人数是一定的。如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队了，如果开5个入场口，9点5分就没人排队了。问第一个观众几点来的？分析：又是典型的“牛吃草〞问题，需设工作效率是1，关键是求工作总量的变化率。解：设一个窗口一分钟通过的观众人数是单位1，即1份量，那么3个窗口9分钟通过的人数是3×9＝27份，5个窗口5分钟通过的人数是3×9＝25份，那么1分钟来的人数是〔27－25〕÷〔9－5〕＝0.5份，于是很容易求出9点的时候有观众是27－0.5×9＝22.5份〔或25－0.5×5＝22.5份〕，来这些观众所需时间是22.5÷0.5=45〔分钟〕，所以第一个观众来的时候是8点15分。答：第一个观众来的时候是8点15分。通过以上几个例题，我们可以看到，解决好牛吃草问题，有以下几个关键步骤：1．确定好吃草速度〔即每头牛每天或每周所吃草为一个单位〕2．找到新生量及原有量。3．恰当分配牛的吃草方式。下面我们来研究一下稍复杂的牛吃草问题复杂变化：合做工程题例6甲、乙、丙三个仓库，各存放着数量相同的面粉，甲仓库用一台皮带输送机和12个工人，5小时可将甲仓库里面粉搬完；乙仓库用一台皮带输送机和28个工人，3小时可将仓库内面粉搬完；丙仓库现有2台皮带输送机，如果要用2小时把丙仓库内面粉搬完，同时还要多少个工人？〔每个工人每小时工效相同，每台皮带输送机每小时工效也相同，另外皮带输送机与工人一起往外搬运面粉〕分析与解这是“牛吃草〞问题的一种变式.在“牛吃草〞问题中，新长出的草与牛吃掉的草，两者是相减的关系，而这里皮带输送机的搬运量与工人的搬运量是相加的关系.这里虽然没有“原有的草〞这一角色，但我们仍可以采用“牛吃草〞的解题思路来解这题.设1个工人1小时搬运的面粉数量为1，那么甲仓库存放的面粉数量=1台皮带输送机1小时的输送量×5+1×12×5①乙仓库存放的面粉数量=1台皮带输送机1小时的输送量×3+1×28×3②因为甲、乙两仓库存放的面粉数量相等，比照上面①、②两式，所以有：1台皮带输送机1小时的输送量×〔5-3〕=1×28×3-1×12×5，这样便求出1台皮带输送机1小时的输送量是几.有了这个量便可求出甲、乙、丙三个仓库存放的面粉量，最后就能求出需要多少工人.分步列式如下：设1个工人1小时搬运的面粉量为1.1台皮带输送机1小时的输送量是几？〔1×28×3-1×12×5〕÷〔5-3〕=12甲、乙、丙三个仓库每一个仓库存放的面粉数量是几？1×28×3+12×3=120或1×12×5+12×5=1202台皮带输送机工作2小时后，丙仓库中还剩面粉数量是几？120-12×2×2=722小时把丙仓库搬空，还需要工人多少名？72÷2=36答：还需要36名工人.稍变化：漏水例7小方用一个有洞的杯子从水缸里往三个同样的容积的空桶中舀水。第一个桶距水缸有1米，小方用3次恰好把桶装满；第二个桶距水缸有2米，小方用4次恰好把桶装满。第三个桶距水缸有3米，那么小方要多少次才能把它装满〔假设小方走路的速度不变，水从杯中流出的速度也不变〕。答案：6小方装第二个桶比第一个桶多用了一杯水，同时多走了2×4-1×3=5米路，也就是主小方走1米的时间等于漏杯水的时间，于是1桶水等于3-3×=杯水，所以小方要÷〔1-3×〕=6次才能把第三个桶装满。稍变化：水管问题例8一个蓄水池装有9根水管，其中1根为进水管，其余8根为相同的出水管。开始进水管以均匀的速度不停地向这个蓄水池蓄水。池内注入了一些水后，有人想把出水管也翻开，使池内的水再全部排光。如果把8根出水管全部翻开，需要3小时可将池内的水排光；而假设仅翻开3根出水管，那么需要18小时。问如果想要在8小时内将池中的水全部排光，最少要翻开几根出水管？把出水管每小时的排水量看作1份，那么8根出水管3小时排水8×3=24份，3根出水管18小时排水18×3=54份。依题意24份为水池中原有的蓄水量加上进水管3小时的入水量，而54份为水池中原有的蓄水量加上进水管18小时的入水量，因此进水管每小时的入水量为〔54-24〕÷〔18-3〕=2份，水池中原有的水是24-3×2=18份。为使原有的18份水在8小时内放光，每小时至少应排水18÷8=2.25份，又每小时时宜水管还将注入水2份，故出水管每小时的总排水量至少应为2+2.25=4.25份。每根出水管1小时排水1份，又出水管的根数是整数，故最少要翻开5根出水管。较难：草地在变例912头牛28天可以吃完10公亩牧场上全部牧草，21头牛63天可以吃完30公亩牧场上全部牧草.多少头牛126天可以吃完72公亩牧场上全部牧草〔每公亩牧场上原有草量相等，且每公亩牧场上每天生长草量相等〕？分析解题的关键在于求出一公亩一天新生长的草量可供几头牛吃一天，一公亩原有的草量可供几头牛吃一天。12头牛28天吃完10公亩牧场上的牧草.相当于一公亩原来的牧草加上28天新生长的草可供33.6头牛吃一天〔12×28÷10＝33.6〕。21头牛63天吃完30公亩牧场上的牧草，相当于一公亩原有的草加上63天新生长的草可供44.1头牛吃一天(63×21÷30＝44.l〕。一公亩一天新生长的牧草可供0.3头牛吃一天，即〔44.l-33.6〕÷〔63-28〕=0.3〔头〕。一公亩原有的牧草可供25.2头牛吃一天，即33.6-0.3×28=25.2〔头〕。72公亩原有牧草可供14.4头牛吃126天.即72×25.2÷126=14.4〔头〕。72公亩每天新生长的草量可供21.6头牛吃一天.即72×0.3=21.6〔头〕。所以72公亩牧场上的牧草共可以供36〔=14.4＋21.6〕头牛吃126天.问题得解。解：一公亩一天新生长草量可供多少头牛吃一天？〔63×2i÷30-12×28÷10〕÷〔63-28〕=0.3〔头〕。一公亩原有牧草可供多少头牛吃一天？12×28÷10-0.3×28=25.2〔头〕。72公亩的牧草可供多少头牛吃126天？72×25.2÷126+72×0.3=36〔头〕。答：72公亩的牧草可供36头牛吃126天。较难变化：牛羊转换例10一片牧草，每天生长的速度相同.现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者可供80只羊吃12天.如果1头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？解：10头牛与60只羊一起吃，可吃8天.〔都按牛计算〕16头牛20天吃的草可供多少头牛吃一天？20×16=32080只羊〔即20头牛〕吃12天的草量可供多少头牛吃一天？20×12=240〔20-12〕天新长的草可供多少头牛吃一天？320-240=80每天新长的草可供多少头牛吃一天？80÷8=10原有的草可供多少头牛吃一天？320-10×20=120或240-10×12=12010头牛与60只羊〔即25头牛〕中的10头牛去吃每天新长出的草，余下的〔25-10=〕15头牛去吃原有的草，原有的草可供15头牛吃几天？120÷15=8〔还可以都按羊计算，略〕较难变化：牛在变例11有一牧场，17头牛30天可将草吃完，19头牛那么24天可将草吃完.现有牛假设干头，吃6天后卖了4头，余下的牛再吃2天便将草吃完，问有牛多少头〔草每日匀速生长〕？分析与解假设每头牛每天所吃的草量为1，那么牧场原有的草与30天新长的草的和便是1×17×30=510.牧场原有的草与24天新长的草的和便是1×19×24=456.牧场一天新长的草为〔510-456〕÷〔30-24〕=9.牧场原有的草为510-9×30=240.如果不卖4头牛，那么假设干头牛8天所吃的草，等于牧场原有的草与8天新长草的和再加上4头牛2天所吃的草.即240+9×8+1×2×4=320.而一头牛8天吃草量为1×8=8，所以牛的头数为320÷8=40〔头〕.设每头牛每天所吃的草量为1.牧草一日新长的草量为几？〔1×17×30-1×19×24〕÷〔30-24〕=9牧草原有的草量为几？510-9×30=240假设干头牛8天所吃的草量为几？240+9×8+1×2×4=320牛的头数是多少？320÷8=40〔头〕答：牛的头数为40.较难：牛与草地都变化例12：2004仁华学校素质调查六年级三卷第8题分析如图，一块正方形的草地被分为完全相等的四块和中间的阴影局部，草在各处都是同样速度匀速生长，老农带着一群牛先在①号草地上吃草，两天之后把①号草地的草吃光。〔在这2天内其它草地的草正常生长〕之后他让一半牛在②号草地，一半牛在③号草地吃草，6天之后又将两个草地的草吃光，然后老农把EQ\F(1,3)的牛放在阴影局部的草地中吃草另外EQ\F(2,3)的牛放在④号草地吃草结果发现它们同时把草场上的草吃完。那么如果一开始就让这群牛在整块草地上吃草，那么吃完这些草需要多少时间？分析与解：在牛吃草问题中总是把每头牛吃的草量看作是一定的，要不就没法做了。在这道题中我们不必像别的牛吃草问题中把每头牛吃的草量看作一份，可以把整群牛每天吃的草量看作1份。然后按照一般牛吃草问题，重点考虑某段时间内牛吃草的份数与单位草场上原有草及每天新长出草的关系。由“老农带着一群牛先在①号草地上吃草，两天之后把①号草地的草吃光。〞可得：①号地原有草量+①号地每天新长草量×2=1份×2由“让一半牛在②号草地，一半牛在③号草地吃草，6天之后又将两个草地的草吃光〞可理解为一群牛在2倍于①号的草地上吃6天，而这2倍的①号草地上的草已经长了8天，因此得：①号地原有草量×2+①号地每天新长草量×2×〔2+6〕=1份×6比拟上面的两个式子可以解得：①号地每天新长草量=EQ\F(1,6)份，①号地原有草量=EQ\F(5,3)份，接着考虑阴影面积与第三块地的面积之间的关系。由条件“老农把EQ\F(1,3)的牛放在阴影局部的草地中吃草另外EQ\F(2,3)的牛放在④号草地吃草结果发现它们同时把草场上的草吃完〞可得：④号也就是①号的面积是阴影面积的2倍，因此整个正方形的面积可看作①号的4.5倍。因此，求最后结果可以列式为：EQ\F(5,3)×4.5÷〔1-EQ\F(1,6)×4.5〕=30〔天〕。解释一下上式：EQ\F(5,3)×4.5表示整个草地原有的草量，EQ\F(1,6)×4.5表示整个草地每天新长草量，〔1-EQ\F(1,6)×4.5〕表示这群牛每天吃掉多少的原有草量，最后除得共需30天。上题只要按照牛吃草问题的一般解法，确定以一群牛每天吃草量为1份，根据图形各局部面积关系确定①号图形的面积为一个面积单位，求出原有草量，新长草量，全题解题思路清晰，难度中等。但是，有一关键之处，在第二种情况中的草已经长了8天，而牛只吃6天，如不能注意到这种不同之处，就可能要出错。行程本质：电梯问题与方案例13、自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个急性子的孩子嫌扶梯走的太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒向上走1梯级，女孩每3秒钟走2梯级。结果男孩用50秒到达楼上，女孩用60秒到达楼上。该楼梯共有多少级？例题分析：我们可以把此题看成和差倍差问题。例题求解：男孩50秒走了50×1＝50级；女孩60秒走了60÷3×2＝40级；女孩比男孩少走50－40＝10级，但是都到达，所以在60－50＝10秒内电梯走了10级，所以共有50÷10×10＋50＝100级例14、两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走3级梯级，女孩每秒可走2级梯级，结果从扶梯的一端到达另一端，男孩用了100秒，女孩用了300秒。问：该扶梯共有多少梯级？例题求解：男孩100秒走了100×3＝300级女孩300秒走了300×2＝600级，因为是逆着走，所以开始在300－100＝200秒内电梯走了600－300＝300级所以在1秒电梯走了300÷200＝1.5级男孩本每秒走3级，所以男孩与电梯每秒走3－1.5＝1.5;于是，共有1.5×100＝150级。例15、哥哥沿着向上移动的自动扶梯从顶向下走到底，共走了100级。在相同的时间内，妹妹沿着自动扶梯从底向上走到顶，共走了50级。如果哥哥单位时间走的级数是妹妹的2倍，那么自动扶梯停止时，自动扶梯能看到的局部有多少级？例题分析：哥哥速度为哥哥速度－电梯速度；妹妹速度为妹妹速度＋电梯速度。以为同时走完，所以：哥哥速度＋电梯速度＝妹妹速度－电梯速度哥哥速度等于妹妹速度的2倍，所以：2妹妹速度－电梯速度＝妹妹速度＋电梯速度电梯速度＝妹妹速度所以自动扶梯在妹妹走的时间内向上移动了(100-50)÷2＝25(级)，自动扶梯底可见局部为50＋25=75(级)上岛地点路程〔千米〕时间〔分〕第1次：船站330第2次：水榭438第3次：江上之家545例16：冰雪节小冬去太阳岛看雪雕，有两种“走法〞：一是步行；二是乘马爬梨。乘马爬梨比步行速度快，但是每次都必须等候，且等候时间相同。小冬3次去看雪雕都从防洪纪念塔出发，他采用了花时间最少的“走法〞过江，如右表。如果上岛地点在A地。江上路程8千米，小冬过江最少的用分。比拟法与牛吃草，2,3均乘马爬梨，等候时间为10分钟，每千米马拉8分钟，共10＋7×8＝答案66解题在于实践：1．一水库存水量一定，河水均匀入库。5台抽水机连续20天可抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干。假设要求6天抽干，需要多少台同样的抽水机？6天抽完需要12台同样的抽水机.5台抽20天相当于1台抽多少天？5×20=1006台抽15天相当于1台抽多少天？6×15=90〔20-15〕天流入水库的水相当于1台抽多少天？100-90=101天流入水库的水相当于1台抽多少天？10÷5=2水库原有的水相当于1台抽多少天？100-2×20=60或90-2×15=606天流入水库的水相当于1台抽多少天？2×6=126天抽完需要多少台抽水机？〔60+12〕÷6=122．有三块草地，面积分别是5公顷，15公顷和24公顷。草地上的草一样厚而且