电路理论第7章

7.1互感现象及耦合电感元件先回顾单个线圈的自感（电感）及自感电压；+–ui

N符合右螺旋时：iL+_u模型

:磁链(magneticlinkage)

:磁通（magnetic

flux）非铁磁物质空心线圈

i7.1.1耦合现象两个线圈彼此靠近，某一线圈通过随时间变化的电流时，另一线圈受到磁的影响——磁耦合.u11称为自感电压+–u11+–u21i1

11

21N1N2施感电流

1、一个线圈通电u21称为互感电压Φ11

≥Φ21自感磁链

Ψ11

自感磁链和互感磁链施感电流+–u11+–u21i1

11

21N1N2

11

=N1

11互感磁链

Ψ21

21

=N2

21楞次定律+–u11+–u21i1

11

21N1N2当i1、u11、u21方向与

符合右手螺旋时：+–u12+–u22i2

12

22N1N2同理，当线圈2中通时变电流i2时会产生磁通

22和

12。可以证明：M12=M21=M。2、另一个线圈通电3、两个线圈同时通电每个线圈两端的电压均包含自感电压和互感电压：+–u12+–u22i2

12

22N1N2+–u11+–u21i1

11

21N1N2u1u2当线圈电流方向改变时，互感电压方向也变化。+–u12+–u22i2

12

22N1N2+–u11+–u21i1

11

21N1N2u1u2由上可知：已知线圈的绕向才能确定互感电压的方向，这给工程上带来不便。

线圈两端的电压包含自感电压和互感电压;电压符号与参考方向和线圈绕向有何关联？7.1.2同名端与耦合电感

同名端：+–u12+–u21i1N1N2当电流从各自线圈的某端子流入时，其所产生的磁场相互加强时，则这两个对应端子称为同名端。i21234可知：端子1和3是同名端，（或，端子2和4是同名端）同名端标记：“•”或“*”等。••同名端还可以从电位升高的角度定义。i1**L1L2+_u12+_u21i2M模型：**11'22'3'3**

例注意：线圈的同名端必须两两确定。确定图示电路的同名端

i11'22'同名端的实验测定：i11'22'**RSV+–电压表正向读数当闭合开关S时，i增加，当两组线圈装在黑盒里，只引出四个端子，要确定其同名端，就可以利用上面的结论来加以判断。**当断开S时，如何判定？有了同名端，以后表示两个线圈相互作用，就不再考虑实际绕向，而只画出同名端及参考方向即可。**L1L2+_u12+_u21i2Mi1i1**L1L2+_u12+_u21i2M耦合电感电路模型由同名端及u,i

参考方向，可确定互感线圈的特性方程i1**L1L2+_u1+_u2i2M**L1L2+_u1+_u2i2Mi1时域形式：

i2**j

L1j

L2+_j

M+_在正弦交流电路中，其相量形式的方程为受控源模型互感复阻抗图中，已知电流,计算电压u1和u2。解

根据耦合电感的电压-电流关系，有其中直流电流不产生互感电压和自感电压。

例7-1i1**L1L2+_u1+_u2i2M7.1.3耦合系数耦合系数k(couplingcoefficient)k表示两个线圈磁耦合的紧密程度。可以证明，k1。定义耦合系数全耦合时F11=F21，F22=F12例7-3

计算耦合线圈的耦合系数k。解

由定义公式，图中，已知电流,i1**L1L2+_u1+_u2i2M7.2.1

串/并联电路一、互感线圈的串联1.顺串i**u2+–MR1R2L1L2u1+–u+–iRLu+–7.2含耦合电感电路i**u2+–MR1R2L1L2u1+–u+–Z2+–Z1电感增强2.反串（逆串）iRLu+–互感不大于两个自感的算术平均值。i**u2+–MR1R2L1L2u1+–u+–Z2+–Z1电感减弱i**u2+–MR1R2L1L2u1+–u+–例7-4

图所示电路中，已知R1=3

,R2=5，=7.5

，

=12.5

，=8

，电压源U=50V。试计算：1）耦合系数k；2）各个支路所吸收的复功率和。解（1）耦合系数k为（2）先求得支路的电流和阻抗，再计算支路的复功率。支路的阻抗分别计算得

图a、b所示电路中较大的时间常数是还是?+US-**R2R1L1L2Ma+US-**R2R1L1L2Mb练习题1.同名端在同侧i3=i1+i2时域u,i的关系：二、互感线圈的并联忽略两个电感的电阻相量的关系：**Mi2i1L1L2ui3+–R2R1Z1ZMZ22.同名端在异侧i3=i1+i2时域u,i的关系：**Mi2i1L1L2ui3+–R2R1忽略两个电感的电阻相量的关系：Z1ZMZ23.同侧与异侧并联的等效电感比较>哪个大?7.2.2去耦等效电路—互感消去法1.去耦等效(a)同侧**j

L1j

L2j

MR1R2+-j(L1-M)j(L2-M)j

MR1R2+-等效电路(b)异侧等效电路**j

L1j

L2j

MR1R2+-j(L1+M)j(L2+M)-j

MR1R2+-去耦等效电路**j

L1123j

L2j

Mj(L1+M)123j

(L2+M)j

(-M)**j

L1123j

L2j

Mj(L1–M)123j

(L2–M)j

M去耦后才能用结点法列方程127.2.3含耦合电感电路的分析例1

用支路电流法列写下图电路的方程。M+_+_

L1L2L3R1R2R3列回路1的KVL方程M+_+_

L1L2L3R1R2R3回路电流法：(1)不考虑互感(2)考虑互感例7-7

求图中端口的戴维南等效电路。+_ZeqM+_+_

L1L2R–++–求等效阻抗：Zeq加压求流：列回路电流方程M

L1L2R+_请列写空心变压器电路

初级（或原边）回路次级（或副边）回路**j

L1j

L2j

M+–R1R2Z=R+jX电路模型不含有磁性材料7.3空心变压器(LinearTansformer

)

电路分析Z11=R1+jL1，Z22=(R2+R)+j(L2+X)=R22+jX22**j

L1j

L2j

M+–R1R2Z=R+jX两个回路没有直接的导线连接，要考虑其间的互感影响。1、原边等效+–Z11原边等效电路副边对原边的引入阻抗负号反映了付边到原边电抗性质相反+–Z11原边等效电路**j

L1j

L2j

M+–R1R2Z=R+jX副边对原边的引入阻抗从能量角度来说不论变压器的绕法如何，恒为正,这表示电路电阻吸收功率，它是靠原边供给的。电源发出有功=电阻吸收有功=I12(R1+Rl)I12R1在原边消耗；I12Rl

在付边消耗，由互感传输。2、副边等效同理：+–Z22—原边对副边的引入阻抗副边等效电路—副边开路时，原边电流在副边产生的互感电压**j

L1j

L2j

M+–R1R2Z=R+jX**j

L1j

L2j

M+–R1R2ZL=R+jX图示电路中，R1=R2=0，L1=5H，L2=1.2H，M=2H，ZL=R=3

，电压。（1）电流、；试计算：（2）原边电路的复功率及负载ZL所吸收的有功功率。

例7-8解（1）电流

Z11=R1+jL1，Z22=(R2+R)+j(L2+X)（2）原边电路吸收的复功率为副边ZL吸收的有功功率为:

原边发出的有功功率等于副边电阻元件消耗的有功功率

例

已知US=20V,原边引入阻抗Zl=10–j10

。求:ZX并求负载获得的有功功率。此时负载获得的功率：实际是最佳匹配：解**j10

j10

j2+–10

ZX+–10+j10

Zl=10–j10

7.4理想变压器

(IdealTransformer)理想变压器条件：耦合系数k等于1；电阻R1=R2=0;电感L1、L2和互感M趋于无穷大。**+–+–n:1理想变压器的电路模型变比:理想变压器的元件方程(a)阻抗变换性质

**+–+–n:1Z+–n2Z理想变压器的性质：对单个R、L、C元件，其原边等效阻抗为n2R、n2L和C/n2。

Why??(b)功率性质**+–n:1u1i1i2+–u2由此可以看出，理想变压器既不储能，也不耗能，在电路中只起信号和能量的传递作用。故不能把它看成是一个动态元件已知电源内阻RS=1k，负载电阻RL=10。为使RL上获得最大功率，求理想变压器的变比n。**n:1RL+–uSRSn2RL+–uSRS当n2RL=RS时匹配，即10n2=1000

n2=100，n=10

。例1解**+–+–1:1050

+–1方法1：列方程解得例2方法2：阻抗变换+–+–1方法3：戴维南等效**+–+–1:10+–1求R0：**1:101R0R0=1021=100戴维南等效电路：+–+–10050——互感式电工仪表

钳形电流表

图7-16互感器式钳形电流表电路

“穿心式”电流互感器和带整流装置的磁电系电流表组成。7.5应用作业7-1，7-2，7-4，7-6，7-8，7-9，7-10；

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