2022-2023学年广东省韶关市武江区北江实验学校七年级（下）期中数学试卷（含解析）

第第页2022-2023学年广东省韶关市武江区北江实验学校七年级（下）期中数学试卷（含解析）2022-2023学年广东省韶关市武江区北江实验学校七年级（下）期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共20小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列各数为无理数的是()

A.B.C.D.

2.下列点的坐标在第四象限的是()

A.B.C.D.

3.若是关于、的方程的一个解，则常数为()

A.B.C.D.

4.若，下列不等式不成立的是()

A.B.

C.D.

5.下列调查方式合适的是()

A.为了解全国中学生的视力状况，采用普查的方式

B.为了解某款新型笔记本电脑的使用寿命，采用普查的方式

C.调查全省七年级学生对消防安全知识的知晓率，采用抽样调查的方式

D.对“天问一号”火星探测器零部件的检查，采用抽样调查的方式

6.如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是()

A.三角形的稳定性

B.两点之间线段最短

C.两点确定一条直线

D.垂线段最短

7.如图，点、点在上，，，添加一个条件，不能证明≌的是()

A.

B.

C.

D.

8.孙子算经中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，问木长多少尺．设木长为尺，绳子长为尺，则下列符合题意的方程组是()

A.B.C.D.

9.如图，在中，，且外角，则外角的度数是()

A.B.C.D.

10.以关于、的方程组的解为横纵坐标的点在第一象限，那么的取值范围在数轴上应表示为()

A.B.

C.D.

11.下列几组图形中，通过平移后能够重合的是()

A.B.C.D.

12.的平方根为()

A.B.C.D.

13.在实数、、、、、中，无理数有个．()

A.B.C.D.

14.下列图形中，由，能得到的是()

A.B.

C.D.

15.下列各数中，最小的数是()

A.B.C.D.

16.如图，，，则()

A.

B.

C.

D.

17.下列属于二元一次方程组的是()

A.B.C.D.

18.在平面直角坐标系中，将点先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到点，则点的坐标是()

A.B.C.D.

19.为加强中小学生安全教育，某校组织了“防溺水”知识竞赛，对表现优异的班级进行奖励，学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍，购买副乒乓球拍和副羽毛球拍共需元；购买副乒乓球拍和副羽毛球拍共需元，设购买一副乒乓球拍元，一副羽毛球拍元，则根据题意列方程组得()

A.B.

C.D.

20.如图，的角平分线、相交于，，，且于，下列结论：；平分；；．

其中正确的结论是()

A.B.C.D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共11小题，共38.0分）

21.在，，，四个数中，最小的实数是______．

22.点先向左平移个单位，再向下平移个单位得到点，则点的坐标为______．

23.一个多边形的内角和是外角和的倍，则这个多边形的边数为______．

24.如图，已知，，，则的度数为______．

25.若三角形的两边长是和，且满足，则这个三角形的第三边的取值范围是______．

26.如图，已知，点、分别在轴正半轴和轴正半轴上，，则______．

27.把命题“对顶角相等”改写成：如果，那么．

28.已知点在第四象限，且到轴的距离为，到轴的距离为，则点的坐标为．

29.实数、在数轴上对应点、的位置如图，化简：结果为______．

30.若是二元一次方程，则______．

31.观察下列一组数：、、、、，它们是按一定规律排列的，那么第个数是______，第个数是______．

三、解答题（本大题共17小题，共142.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

32.本小题分

计算：．

33.本小题分

解不等式组：，并在数轴上表示此不等式组的解集．

34.本小题分

工人师傅常用角尺平分一个任意角，具体做法如下：

如图，已知是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，则过角尺顶点的射线便是角平分线请完成下列问题：

这种做法的依据是______填序号．

请证明平分．

35.本小题分

智能手机等高科技产品正越来越严重地伤害青少年的眼睛，保护视力，刻不容缓长沙市某校为了解学生的视力状况，培养学生保护视力的意识，对该校部分学生做了一次主题为“保护视力爱眼护眼”的调查活动，根据近视程度的不同将学生分为、、、、五类，其中表示视力良好、表示轻度近视度以下、表示中度近视度度、表示高度近视度度、表示超高度近视度以上学校根据调查情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图：

请你结合图中信息，解答下列问题：

参与本次调查活动的学生有______人；

补全条形统计图；

求“视力良好”对应扇形的圆心角度数；

该校共有名学生，请你估计该校“高度近视”和“超高度近视”的学生总人数．

36.本小题分

如图，中，是的中线，是的角平分线，是的高．

若的面积为，，求的长；

若，，求的度数．

37.本小题分

在一次高速铁路建设中，某渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方已知辆大型渣土运输车与辆小型渣土运输车一次共运输土方吨，辆大型渣土运输车与辆小型土运输车一次共运输土方吨．

一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？

该渣土运输公司决定派出大、小两种型号渣土运输车共辆参与运输土方，若每次运输土方总量不小于吨，且小型渣土运输车至少派出辆，则有哪几种派车方案？

38.本小题分

如图，，，，经过点．

求证：≌；

和有何数量和位置关系？请说明理由；

若，求四边形的面积．

39.本小题分

我们约定：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“美美与共方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“美美与共方程”．

在一元一次方程；；中，不等式组的“美美与共方程”是______；填序号

若关于的方程是不等式组的“美美与共方程”，求的取值范围；

若关于的方程是关于的不等式组的“美美与共方程”，且此时该不等式组有个整数解，若，，，求的取值范围．

40.本小题分

如图，四边形在平面直角坐标系中，，，，，，在轴正半轴上有一点，过点作，交延长线于点．

求点的坐标；

当时，求证：；

当点在点右侧时，连接，在的延长线上存在一点，使得，求、、之间的数量关系，并说明理由．

41.本小题分

计算

；

．

42.本小题分

解方程组：．

43.本小题分

如图，有、、、四个点，请按下列语句画出相应图形：

面射线；

画直线；

过点画直线，垂足为点，交直线于点，连接．

44.本小题分

在如图所示的正方形网格中，每个小方格的边长为，三角形的三个顶点都在小方格的顶点上．

请画出三角形向上平移格，再向右平移格所得的三角形．

请以点为坐标原点建立平面直角坐标系在图中画出，然后写出点、点的坐标：______，______；______，______

请求三角形的面积．

45.本小题分

已知：如图，，，．

求证：平分．

请完善证明过程，并在括号内填上相应依据：

证明：，，______

____________，______

，______

，______

已知，

____________，______

平分______

46.本小题分

在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为；乙看错了方程组中的，而得解为．

求出原方程组的正确解．

甲把看成数是多少？乙把看成的数是多少？

47.本小题分

某商场第次用万元购进，两种商品，销售完后获得利润万元，它们的进价和售价如表总利润单件利润销售量：

价格

商品进价元件售价元件

该商场第次购进，两种商品各多少件？

商场第次以原进价购进，两种商品，购进商品的件数不变，而购进商品的件数是第次的倍，商品按原售价销售，而商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第次经营活动获得利润等于万元，则种商品是按几折销售的？

48.本小题分

如图，，点、分别在直线、上，点在直线、之间．

求证：；

如图，，点在上，，求证：；

如图，平分，平分，若，求的度数．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，

；；均为有理数，是无理数．

故选：．

明确无理数是无限不循环小数；有理数分为整数和分数．

本题考查实数的分类，明确无理数是无限不循环小数；有理数分为整数和分数．题目难度较小，多为考卷中第一题．

2.【答案】

【解析】解：第四象限内的点的横坐标为正数，纵坐标为负数，

，，均不符合题意，符合题意，

故选：．

第四象限内的点的横坐标为正数，纵坐标为负数，据此即可求得答案．

本题考查各象限内点的坐标特征，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．

3.【答案】

【解析】

【分析】

此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程成立的未知数的值．

将，代入方程中计算，即可求出的值．

【解答】

解：将，代入方程得：，

解得：．

故选B．

4.【答案】

【解析】解：、，

，

故A不符合题意；

B、，

，

，

故B不符合题意；

C、，

，

故C符合题意；

D、，

，

故D不符合题意；

故选：．

根据不等式的性质进行计算，逐一判断即可解答．

本题考查了不等式的性质，实数大小比较．熟练掌握不等式的性质是解题的关键．

5.【答案】

【解析】解：、为了解全国中学生的视力状况，适合采用抽样调查的方式，本选项说法不合适，不符合题意；

B、为了解某款新型笔记本电脑的使用寿命，适合采用抽样调查的方式，本选项说法不合适，不符合题意；

C、调查全省七年级学生对消防安全知识的知晓率，采用抽样调查的方式，本选项说法合适，符合题意；

D、对“天问一号”火星探测器零部件的检查，适合采用全面调查的方式，本选项说法不合适，不符合题意；

故选：．

普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．

本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．

6.【答案】

【解析】解：根据三角形的稳定性可固定窗户．

故选：．

根据三角形的稳定性即可解决问题．

本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键．

7.【答案】

【解析】解：，

，

即，

当时，利用可得≌，故A不符合题意；

当时，利用可得≌，故B不符合题意；

当时，利用可得≌，故C不符合题意；

当时，无法证明≌，故D符合题意；

故选：．

根据求出，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可．

本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有等．

8.【答案】

【解析】

【分析】

根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而本题得以解决．

本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组．

【解答】

解：由题意可得，

，

故选：．

9.【答案】

【解析】解：，，，

，

．

故选：．

先根据三角形外角的性质求出的度数，再由平角的定义即可得出结论．

本题考查的是三角形外角的性质即直角三角形的性质，熟知角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．

10.【答案】

【解析】解：，

得：，即，

把代入得：，

由，，得到，

解得，

表示在数轴上，如图所示：

，

故选：．

把看作已知数表示出方程组的解，根据，求出的范围，表示在数轴上即可．

此题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

11.【答案】

【解析】解：、两个图形大小不同，平移后不能重合，不符合题意；

B、对应点的连线相交，平移后不能重合，不符合题意；

C、平移后能重合，符合题意；

D、对应点的连线相交，平移后不能重合，不符合题意；

故选：．

找到平移前后形状与大小没有改变，并且对应点的连线平行且相等的图形即可．

本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，本题需抓住平移前后对应点的连线平行且相等这个知识点进行解答．

12.【答案】

【解析】解：，

又，

的平方根是．

故选：．

首先根据立方根的定义化简，然后根据平方根的定义即可求出结果．

本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；的平方根是；负数没有平方根．

13.【答案】

【解析】解：，

、、，是无理数．

故选：．

根据无理数的定义解答即可．

本题考查的是无理数，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．

14.【答案】

【解析】解：、由，不能得到，故不符合题意；

B、，，不能得到，故不符合题意；

C、由，不能得到，故不符合题意；

D、，，故符合题意；

故选：．

根据平行线的判定定理判断求解即可．

此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．

15.【答案】

【解析】解：，

，

，

最小的数是．

故选：．

根据正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小进行比较即可．

本题考查了有理数大小比较，比较有理数大小的方法：、数轴法：在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大；、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数；、绝对值法：两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．

16.【答案】

【解析】解：如图所示：

，，

，

，

故选：．

根据平行线的性质和邻补角解答即可．

本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．

17.【答案】

【解析】解：．不是整式方程，故不是二元一次方程组，故此选项不符合题意；

B.有三个未知数，故不是二元一次方程组，故此选项不符合题意；

C.是二元一次方程组，故此选项符合题意；

D.是二元二次方程，故不是二元一次方程组，故此选项不符合题意；

故选：．

根据二元一次方程组的定义求解即可．由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．

本题主要考查了二元一次方程的定义．一定要紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”．

18.【答案】

【解析】解：将点向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到点，

则点的坐标是，即．

故选：．

利用点平移的坐标规律，把点的横坐标加，纵坐标减即可得到点的坐标．

此题主要考查坐标与图形变化平移，掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．

19.【答案】

【解析】解：设购买一副乒乓球拍元，一副羽毛球拍元，

则根据题意列方程组，

故选：．

根据“副乒乓球拍的钱数副羽毛球拍的钱数元；副乒乓球拍的钱数副羽毛球拍的钱数元”可得方程组．

本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意找到相等关系，并依据相等关系列出方程组．

20.【答案】

【解析】解：，

，

又是的角平分线，

，故正确；

无法证明平分，故错误；

，

，

平分，

，

．

，且，

，即，

，故正确；

，，

，

，

，故正确．

故选C．

根据平行线的性质、角平分线的定义、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．

本题主要考查的是三角形内角和定理，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键．

21.【答案】

【解析】解：，

，

即，

最小的实数是，

故答案为：．

先计算，然后根据实数的大小比较法则比较各个实数即可得出最小的实数．

本题考查了实数的大小比较．熟知：正数大于，负数小于，正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小．

22.【答案】

【解析】解：点先向左平移个单位，再向下平移个单位得到点，则点的坐标为，

即．

故答案为：．

根据平移的方法结合平移中点的坐标变换规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，可以直接算出平移后点的坐标．

此题主要考查了坐标与图形变化平移，关键是掌握平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．

23.【答案】

【解析】解：设多边形的边数为，

根据题意得，

解得，

所以这个多边形是六边形．

故答案为：．

本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．

利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．

24.【答案】

【解析】解：，，

，

，

．

故答案为：．

先根据平行线的性质求出的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．

本题考查的是平行线的性质和三角形外角的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．

25.【答案】

【解析】解：解方程组，

得：，

这个三角形的第三边的取值范围是，

．

故答案为：．

解方程组求出、的值，由三角形的三边关系定理即可得到答案．

本题考查三角形的三边关系，二元一次方程组的解，关键是掌握三角形的三边关系定理，二元一次方程组的解法．

26.【答案】

【解析】解：

过作轴于，轴于，

，

，

轴轴，

，

，

则四边形是正方形，

，

，

，

，，

，

在和中

≌，

，

，

故答案为：．

过作轴于，轴于，得出四边形是正方形，推出，证≌，推出，求出，代入求出即可．

本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，坐标与图形性质，正方形的性质的应用，关键是推出和推出．

27.【答案】两角是对顶角

它们相等

【解析】解：原命题的条件是：“两个角是对顶角”，结论是：“它们相等”，

命题“对顶角相等”写成“如果那么”的形式为：“如果两个角是对顶角，那么它们相等”．

故答案为：两角是对顶角，它们相等．

先找到命题的题设和结论，再写成“如果那么”的形式．

本题考查了命题的条件和结论的叙述，注意确定一个命题的条件与结论的方法是首先把这个命题写成：“如果那么”的形式．

28.【答案】

【解析】解：因为点在第四象限，所以其横、纵坐标分别为正数、负数，

又因为点到轴的距离为，到轴的距离为，

所以点的横坐标为，纵坐标为，

所以点的坐标为，

故答案为：．

根据点所在的象限确定其横、纵坐标的符号．

解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号，第一、二、三、四象限内各点的符号分别为、、、．

29.【答案】

【解析】解：由题意得，，且，

，，

，

故答案为：．

先通过数轴表示确定，的大小、符号和绝对值的大小，再进行化简、计算．

此题考查了利用数轴进行实数平方根、立方根、绝对值等方面的化简能力，关键是能准确理解并运用以上知识．

30.【答案】

【解析】解：是二元一次方程，

且，

解得，

故答案为：．

从二元一次方程满足的条件：含有个未知数和最高次项的次数是这两个方面考虑．

此题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键．二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是，像这样的方程叫做二元一次方程．

31.【答案】

【解析】解：根据题意得：，，，，，

这一组数的第个数是．

第个数是，

故答案为：，．

观察已知一组数发现：分子为从开始的连续奇数，分母为连续正整数的平方加上，写出第个数即可．

此题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．

32.【答案】解：

．

【解析】先计算二次根式、乘方、立方根和绝对值，再计算加减．

此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算．

33.【答案】解：，

解不等式，得：，

解不等式，得：，

则不等式组的解集为，

在数轴上表示：．

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

34.【答案】

【解析】解：这种做法的依据是．

故答案为：；

证明：由题意可得：，．

在和中，

，

≌，

，

即平分．

根据全等三角形的判定即可作答；

由作图过程可得，，再加上公共边可利用定理判定≌，再根据全等三角形对应角相等即可证明平分．

本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即、、、，直角三角形可用定理，但、，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．

35.【答案】

【解析】解：由题可知：参与本次调查活动的学生有人，

故答案为：；

类学生的人数为：人，

补全条形统计图如下：

，

答：“视力良好”对应扇形的圆心角度数为．

人．

答：该校“高度近视”和“超高度近视”的学生总人数约为人．

根据条形统计图和扇形统计图由类别的人数和所占比即可求出总人数；

用总人数乘以类别的所占比即可得出类别的人数，补全条形统计图即可；

直接用乘以等级为“良好”所占的比例；

用我校共有学生数乘以“高度近视”和“超高度近视”占比即可得到答案．

本题考查条形统计图，掌握用样本估计总体的方法是解题关键．

36.【答案】解：，

，

，

为的中线，

；

是的高，

，

，

，

，，

，

是的角平分线，

，

．

【解析】由三角形面积公式求出长，由三角形中线的定义即可得到；

由直角三角形的性质求出的度数，由三角形外角的性质求出的度数，由角平分线定义得到的度数，由三角形内角和定理即可求出的度数．

本题考查三角形角平分线、中线，高线，直角三角形的性质，三角形的面积，三角形外角的性质，关键是由三角形外角的性质，角平分线定义，直角三角形的性质求出．

37.【答案】解：设一辆大型渣土运输车一次运输吨，一辆小型渣土运输车一次运输吨，

由题意得：，

解得：，

答：一辆大型渣土运输车一次运输吨，一辆小型渣土运输车一次运输吨；

设该渣土运输公司决定派出大、小两种型号的渣土运输车分别为辆、辆，

由题意可得：，

解得：，

故有三种派车方案，

第一种方案：大型运输车辆，小型运输车辆；

第二种方案：大型运输车辆，小型运输车辆；

第三种方案：大型运输车辆，小型运输车辆．

答：有三种派车方案，第一种方案：大型运输车辆，小型运输车辆；第二种方案：大型运输车辆，小型运输车辆；第三种方案：大型运输车辆，小型运输车辆．

【解析】设一辆大型渣土运输车一次运输吨，一辆小型渣土运输车一次运输吨，根据题意列出关于、的二元一次方程组，从而可以求得一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨；

设该渣土运输公司决定派出大、小两种型号的渣土运输车分别为辆、辆，根据题意可以列出不等式组，求出从的取值范围，从而可以求得有几种方案．

本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

38.【答案】证明：，

，

，

在和中，

，

≌；

解：，，理由如下：

≌，

，，

，

，

，

，

；

解：≌，

，

．

【解析】求出，根据推出≌即可；

由≌，得，，证明，即可解决问题；

由≌，推出四边形的面积三角形的面积，即可得出答案．

本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，并利用割补法求四边形的面积是解此题的关键．

39.【答案】

【解析】解：，

解得，

，

解得，

，

解得，

解不等式组，得，

由题：是不等式组的“美美与共方程”．

故答案为：；

解关于的方程，得，

解不等式组，得，

由题意得：，

解得：．

故的取值范围是；

解方程，得，

解不等式组，得，

由题意得：，

且，

解不等式得：，

解不等式得：，

；

，

解得，

，

解得：．

故的取值范围是．

先分别求出个一元一次方程的解以及不等式组的解集，再根据“美美与共方程”的定义即可判断；

解方程得，解不等式组得，根据“美美与共方程”的定义得出，即可求出的取值范围；

由“美美与共方程”的定义以及该不等式组有个整数解得出；再解方程组，得出，即可求出．

本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组，解一元一次方程，解三元一次方程组，以及新定义，理解新定义并掌握解不等式组以及解方程组的一般步骤是解题的关键．

40.【答案】解：如图，

过点作轴于点，

，

，

，

，

，

，，

≌

，，

，

；

证明：如图，

在上截取，连接，

，

，

由知：，，

，，

，

，

，

，

，

，

≌，

；

如图，

，理由如下：

在上截取，连接，

由上可知：，，

，

，

，

，

又，

，

，

≌，

，，

，

，

，

，

，

，

≌，

，

．

【解析】过点作轴于点，证明≌，进一步得出结果；

在上截取，连接，证明≌，进一步得出结论；

在上截取，连接，可证明≌，从而得出，，可证得，结合得出，进而得出，≌，从而，进一步得出结果．

本题考查了等腰直角三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．

41.【答案】解：原式

；

原式

．

【解析】先计算乘法、乘方和根据绝对值的性质化简，再计算加减即可；

根据立方根、算术平方根和绝对值的性质化简即可．

本题考查二次根式的混合运算、立方根、算术平方根、绝对值的性质，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．

42.【答案】解：方程组整理得：，

，得

，

解得，

把代入，得

，

解得，

则方程组的解为．

【解析】方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．

此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

43.【答案】解：如图，射线为所作；

如图，直线为所作；

如图，为所作．

【解析】根据几何语言画出对应的几何图形．

本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了直线、射线、线段．

44.【答案】

【解析】解：根据上加右加的平移规律，画图如下：

则即为所求．

根据题意，建立平面直角坐标系如下，则点，

由向上平移格，再向右平移格得点，

即，

故答案为：，，，．

．

根据点的位置，利用平移规律确定平移变换的