【衔接教材】初高中数学衔接教材（有详解）

初高中数学衔接教材

｛新课标人教A版｝

如何学好高中数学

-高中数学与初中数学特点的变化

1数学语言在抽象程度上突变。不少学生反映，集合、映射等概念难以理解，

觉得离生活很远，似乎很“玄确实，初、高中的数学语言有着显著的区别。

初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。而高一数学一下子就触

及抽象的集合语言、以及函数语言等。

2思维方法向理性层次跃迁。高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中

阶段，很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步；

因式分解先看什么，再看什么。即使是思维非常灵活的平面几何问题，也对线

段相等、角相等，分别确定了各自的思维套路。因此，初中学习中习惯于这种机

械的、便于操作的定势方式。高中数学在思维形式上产生了很大的变化，数学

语言的抽象化对思维能力提出了高要求。当然，能力的发展是渐进的，不是一

朝一夕的。这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导致成绩下

降。高一新生一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡，最后还需初

步形成辩证型思维。

3知识内容的整体数量剧增。高中数学在知识内容的“量”上急剧增加了。

有数学1、2、3、4、5,还有选修课，加之时间紧、难度大，这样，不可避免地

造成学生不适应高中数学学习，而影响成绩的提高。这就要求：

第一，要做好课后的复习工作，记牢大量的知识。

第二，要理解掌握好新旧知识的内在联系，使新知识顺利地同化于原有知

识结构之中。

第三，因知识教学多以零星积累的方式进行的，当知识信息量过大时，其

记忆效果不会很好，因此要学会对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整

体集装如表格化，使知识结构一目了然；类化，由一例到一类，由一类到多

类，由多类到统一；使几类问题同构于同一知识方法。

第四，要多做总结、归类，建立主体的知识结构网络。

二科学地进行学习

高中学生仅仅想学是不够的，还必须“会学”，要讲究科学的学习方法，提

高学习效率，才能变被动学习为主动学习，才能提高学习成绩。

1培养良好的学习习惯。反复使用的方法将变成人们的习惯。什么是良好的

学习习惯？良好的学习习惯包括制定计划、课前自学、专心上课、及时复习、

独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。

(1)制定计划使学习目的明确，时间安排合理，不慌不忙，稳扎稳打，它是

推动主动学习和克服困难的内在动力。但计划一定要切实可行，既有长远打算,

又有短期安排，执行过程中严格要求自己，磨炼学习意志。

(2)课前自学是上好新课、取得较好学习效果的基础。课前自学不仅能培养

自学能力，而且能提高学习新课的兴趣，掌握学习的主动权。自学不能走过场，

要讲究质量，力争在课前把教材弄懂，上课着重听老师讲思路，把握重点，突

破难点，尽可能把问题解决在课堂上。

(3)上课是理解和掌握基础知识、基本技能和基本方法的关键环节。“学然后

知不足”，课前自学过的同学上课更能专心听课，他们知道什么地方该详，什么

地方可以一带而过，该记的地方才记下来，而不是全抄全录，顾此失彼。

(4)及时复习是高效率学习的重要一环。通过反复阅读教材，多方面查阅有

关资料，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，将所学的新知识与有关旧知

识联系起来，进行分析比效，一边复习一边将复习成果整理在笔记本上，使对

所学的新知识由“懂”到“会”。

(5)独立作业是通过自己的独立思考，灵活地分析问题、解决问题，进一步

加深对所学新知识的理解和对新技能的掌握过程。这一过程也是对意志毅力的

考验，通过运用使对所学知识由“会”到“熟

(6)解决疑难是指对独立完成作业过程中暴露出来对知识理解的错误，或由

于思维受阻遗漏解答，通过点拨使思路畅通，补遗解答的过程。解决疑难一定

要有锲而不舍的精神。做错的作业再做一遍。对错误的地方要反复思考。实在

解决不了的要请教老师和同学，并要经常把易错的知识拿来复习强化，作适当

的重复性练习，把求老师问同学获得的东西消化变成自己的知识，使所学到的

知识由“熟”到“活

(7)系统小结是通过积极思考，达到全面系统深刻地掌握知识和发展认识能

力的重要环节。小结要在系统复习的基础上以教材为依据，参照笔记与资料，

通过分析、综合、类比、概括，揭示知识间的内在联系，以达到对所学知识融

会贯通的目的。经常进行多层次小结，能对所学知识由“活”到“悟

2循序渐进，防止急躁。由于同学们年龄较小，阅历有限，为数不少的同学

容易急躁。有的同学贪多求快，回囹吞枣；有的同学想靠几天“冲刺”一蹴而

就；有的取得一点成绩便洋洋自得，遇到挫折又一蹶不振。同学们要知道，学

习是一个长期地巩固旧知、发现新知的积累过程，决非一朝一夕可以完成的。

为什么高中要学三年而不是三天！许多优秀的同学能取得好成绩，其中一个重

要原因是他们的基本功扎实，他们的阅读、书写、运算技能达到了自动化或半

自动化的熟练程度。

3注意研究学科特点，寻找最佳学习方法。数学学科担负着培养运算能力、

逻辑思维能力、空间想象能力以及运用所学知识分析问题、解决问题的能力的

重任。它的特点是具有高度的抽象性、逻辑性和广泛的适用性，对能力要求较

高。学习数学一定要讲究“活”，只看书不做题不行，只埋头做题不总结积累也

不行。对课本知识既要能钻进去，又要能跳出来，结合自身特点，寻找最佳学

习方法。华罗庚先生倡导的“由薄到厚”和“由厚到薄”的学习过程就是这个

道理。方法因人而异，但学习的四个环节（预习、上课、作业、复习）和一个

步骤（归纳总结）是少不了的。

一数与式的运算

知识要点：

1.绝对值的代数意义，绝对值的几何意义，两个数的差的绝对值的几何意义。

2.乘法公式：平方差公式：（a+/?）（a-。）=£一/;平方差公式：（47±Z?）2=a2+2ab+b2.

立方和公式（a+A）（〃2-"+/）=/+/；立方差公式：（a-b）（q2+而+/?2）=片一犷；

三数和平方公式（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）;

两数和立方公式（a+0）3=/+3/。+3a/+3；

两数差立方公式（a-⑥3=/一3。26+3"2一

3.二次根式：二次根式"的意义。分母（子）有理化：都乘以有理化因式

4.分式的意义，繁分式。

自学评价：

1.如果同+帆=5,且a=-l,则6=;若|l-c|=2,则c=.

2.化简：|x—51-12x—131(x<5)

3.计算：(x+l)(x-l)(x2-x+l)(x2+x+1).

4.已知。+〃+c=4,ab+bc+ac=4,a2+b2+c2-

5.若J(5-x)(x-3)2=(%-3)\/5-4,则x的取值范围是;

6.比较大小：2一/木一#(填“>”，或"V”).

精选题型：

1.解下列不等式:(1)|%-2|<1(2)

|X-I|+|X_3|>4.

2.计算：(1)(。+2)(〃一2)(/+4/+16)(2)(x2+2Ay+y2)(x2-xy+y2)2

3.已知3x+l=0,求d+4的值.

4化简：(1)也-4&;(2)IX2+-^-2(0<X<1).

5.设%=竺号,y=E，求V+V的值.

2-V3-2+V3

x2+3x4-96x-1

6.化简：(1)——(2)

l-xX3-279-x26+2x

x+—r

X——

X

记住它，多想它：（a+b）（a-b）=a2-修(a±b)2=a2±2ab+b2.

（。+匕）（。2—+=。3+。3（。一。）（。2+。。+人2）=。3一

拓展练习:

1.解不等式|x+3|+|x-2|<7

6.化简或计算：

⑴(屈一4小6_足,3

2.设X=-T2—=—,求代数式

V3-2'V3+2

22

:士匕的值.

x+y

(2)2•十(2一府+上

3.当3a2+ab-2b2=O(a^O,b^O),求

@一2_《1£的值.⑶xE+x6%++y

baabq-y2xyfx-yy/y

(4)跖+上&(，_+」__鸣

4.［殳X=―,求光4+尤2+2%—1的值.

2&+扬兄+b\fab-ayfab

5.计算a+y+zXr+y+z)(i-y+z)(x+y-z)7.(1)已知〃+)+c=0,

求a(-+-)+/?(-+—)+c(—+-)的值.

bccaab

工针111

11.7十算：---+---+---+-・・+

1x32x43x59x11

⑵若T

求J九+1-Jx-1+J—+1+yjx-l

s/X+1+>JX—1Jx+1-X—1

12.试证：对任意的正整数n,有

8.^yj-a-b-ly/ab=4^b-\l^a,则()[+]+…+]v-

1x2x32x3x4〃(〃+1)(〃+2)4

(A)a<b(B)a>b

(C)a<b<0(D)b<a<0

9.计算qg等于

()

(A)4(B)G

(C)(D)-yfci

10.解方程2*2+二)-3(x+g-1=0.

xx

二因式分解

知识要点：

⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因

式。

⑵方法：①提公因式法②运用公式法③分组分解法④十字相乘法⑤一般二次三

2

项式加+法+。型的因式分解：aya2x+(a,c2+a2c1)x+c,c2=(qx+cjax+c2)⑥其他常

用的因式分解的方法：配方法，拆、添项法

自学评价：

1.平方差公式完全平方和公式完全平方差公式—

a"+b3=a3-Z?3=

2.分解因式：(1)x-3x+2=(2)%+4x-12

(3)x2-(a+h)xy+aby2(4)xy-l+x-y

3.分解因式：x3+9+3x2+3x(2)2x2+-y2-4x+5j-6

4.分解因式：x2+2x-l

5.分解因式：x2-5x+3

6.分解因式：“2瓜-3

精选题型：

1.分解因式(1)b2+c2+2ab+2ac+2bc；(2)3x2+5xy-2y2+x+9y-4.

2AA6C三边a,b,c满足a?+c?=ab+Oc+ca,试判定AA8C的形状.

3.分解因式(l+X+炉+/)2一%3

4.分解因式：x+X—{a—a).5.分角翠因式a(6a+llb+4)+/3Z?—1)—2

6.分解因式V-3^+4

7.分解因式2丁+3/一5f+3x+28.分解因式-5«1+3乂/”2-5利-2)-36

9.分解因式V+x+l

记住它，多想它：a2-b1=(a+h)(a-b)a2±2ah+h2=(a±b)2.

o'+〃3=(a+h)(a2-ah+b2)/_力=(a-b)(a2+Q〃+〃)

拓展练习：

1.分解因式-屋)+〃("-b2)

5.分角单因式1一4町a一2^^+8/

2.分解因式元2—4/?优+8帆〃-4〃2

6,已知a+b=Z,ab=2,求代数式

3

a2h+2a2b2+ab2的值.

3.分解因式/+64

7.现给出三个多项式，—x2+x-l,

2

-x2+3x+l,-X2-X,请你选择其中两

22

4.分解因式％3-11炉+35_21个进行加法运算，并把结果因式分解.

8.已知a+Z?+c=O,求证:

+a2c+b2c-ahc+h3=0.11.分角单因式d+9x2+23x+i5

12.分角单因式J一/一5/一6天一4

9.分解因式

（x+y-2Ay）（x+y-2）+（Ay-l）2

10.分解因式

丁+（2。+1）/+（矿+2。—l）x+a~-1

三一元二次方程根与系数的关系

知识要点:

1.一元二次方程的根的判断式2.一元二次方程的根与系数的关系

自学评价：

1.一元二次方程or?+Zzx+c=0（a力0）,用配方法将其变形为：

卜=白一4ac,（1）当A—。时，方程有两个不相等的实数根：

（2）当40时，方程有两个相等的实数根：

（3）当卜。时，方程没有实数根.

2.定理：若方程办之+^x+c=。（a*0）的两个根为，那么：x,+x2=

此定理称为“韦达定理”，其成立的前提是ANO.

3.特别地：对于二次项系数为1的一元二次方程x2+px+q=0,若％,x2

是其两根，由韦达定理可知Xi+x2=—p,Xi,x2=q,即p=­（Xi+x2）,

2

q=Xi,x2,所以，方程x?+px+q=O可化为x—（x,+x2）x+x,,x2=0,因此有：

2

以两个数X1,X2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是X—（Xi+x2）x+xi・X2

=0.

精选题型：

1.已知关于X的一元二次方程3£_2X+Z=0,根据下列条件，分别求出攵的范围：

（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根

（3）方程有实数根；（4）方程无实数根.

2.已知实数x、y满足—+/一孙+2x-y+l=0,试求x、＞的值.

3若和々是方程f+2x—2007=0的两个根，试求下列各式的值：

(1)X,'+X-,";(2)—I—;(3)(x,—5)(X2—5);(4)I%—x,|.

玉x2

4.若为，X2是关于x的一元二次方程4〃4-4〃*+〃+1=0的两个实数根.(1)

是否存在实数〃，使(2M—X2)(Xy-2X2)=—2成立？若存在，求出〃的值；若

2

不存在，说明理由；(2)求使土+小■—2的值为整数的实数4的整数值；(3)若

々王

k=-2,4=五，试求4的值.

%

5.已知关于x的方程f一(加一2)x-£=0.(1)求证：无论勿取什么实数时，这

4

个方程总有两个相异实数根；(2)若这个方程的两个实数根必，X2满足|x2|=|x|

+2,求加的值及相应的x,x2.

6.若关于x的方程x2+x+a=0的一个大于1、另一根小于1,求实数a的取值

范围.

记住它，多想它：如果ax2+bx+c=0（a手0）的两根分别是x,X2,那么x,+

X=X1,X=-.这一关系也被称为韦达定理.以两个数Xi,X2为根的一元

2aa2

二次方程（二次项系数为1）是《一（Xi+x2）x+xi•X2=0.

拓展练习：C.m<—,且勿彳0Dom>——,且

44

1.若Xp%是方程2%2一6%+3=0的两个m丰0

根，则工+工的值为（）4.设为,々是方程V+px+quO的两实根，

&&

s+1,&+1是关于x的方程J?+qx+〃=0的

A.2B.-2C.1D.-

22

两实，艮，则p二,q-

2

2.若r是一元二次方程or+/JX+C=O的

根，则判别式△=〃—4ac和完全平方式

A/=（2G+Z?）2的关系是（）

A.A=MB.\>M

C.△<〃D.大小关系不能确定

3.若关于x的方程〃〃+&牙|_i）x+

5.已知实数a,0,c满足”=6-3储=命-9,则

m=0有两个不相等的实数根，则实数

a-,b-,c-.

R的取值范围是（）

A.m<—Bo勿>——

实数根？没有实数根？

6.已知关于X的方程f+3x-；?l=()的两

个实数根的平方和等于11,求证：关

于x的方程(4-3)炉+hnr-m?+6加一4=0

有实数根.

7.若西,々是关于x的方程9.求一个一元二次方程，使它的两根

/一(无+/+的两个实数根，且

2%+1)1=0分别是方程x—7x—1=0各根的相反

和々都大于1.

数.

(1)求实数Z的取值范围；

(2)若土=匕求女的值.

X、2

10.已次口Ji+8a+i6+|h—l|=0,当"取

8.试判定当加取何值时，关于x的一

何值时，方程kx+ax+6=0有两

元二次方程/z/x?—(2加+1)x+1=0有

个不相等的实数根？

两个不相等的实数根？有两个相等的

11.已知方程*2—3*—1=0的两根为

m和x2,求(乂-3)(X2—3)的值.

四平面直角坐标系、一次函数、反比例函数

知识要点：

平面直角坐标系函数图象

自学评价：

1.平面直角坐标系内的对称点：点(m,n)①关于x轴对称点的坐标为

②关于V轴对称点的坐标为③关于原点对称点的坐标为④关于

点(a,b)对称点的坐标为⑤关于直线x=a对称点的坐标为⑥

关于直线y=匕对称点的坐标为⑦关于直线y=x对称点的坐标为

⑧关于直线y=-x对称点的坐标为

2.函数图象

(1)一次函数y=Ax+Z?(k、b是常数，k中0)特别的，当6=0时，称)，是x

的正比例函数。

(2)正比例函数的图象与性质：函数y=kx(k是常数，k手0)的图象是

的一条直线，当时，图象过原点及第一、第三象限，v随x的增大

而;当时，图象过原点及第二、第四象限，y随x的增大

而.

(3)一次函数的图象与性质：函数丁=麻+人(k、b是常数，k右0)的图象

是过点(0,b)且与直线y-kx平行的一l条直线.设y-kx+b(k0),则当

时，y随x的增大而;当时，y随x的增大而.

(4)反比例函数的图象与性质：函数>=((kH0)是双曲线，当

X

时，图象在第一、第三象限，在每个象限中，y随x的增大而;当

时，图象在第二、第四象限.，在每个象限中，y随x的增大而.双

曲线是轴对称图形，对称轴是直线与;又是中心对称图形，

对称中心是.

精选题型：

1.已知A(2,yJ、B(x2,-3)f根据下列条件，求出A、8点坐标.

(1)A、8关于x轴对称；(2)A、8关于v轴对称；(3)A、8关于原点对称.

2.已知一次函数y=kx+2的图象过第一、二、三象限且与X、卜轴分别交于A、

B两点,0为原点，若△力防的面积为2,求此一次函数的表达式。

3.如图，反比例函数>=月的图象与一次函数

Xy=

B[n)—1)两点.

(1)求反比例函数与一次函数的解析式；

(2)根据图象回答：当X取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值.

记住它，多想它：平面直角坐标系内的对称点

拓展练习：

1.函数y=kx+m与y='(/〃H0)在同

x

一坐标系内的图象可以是()

的坐标.

2.如图，平行四边形力及M中，力在

坐标原点，。在第一象限角平分线上,

又知AB=6,5____,c

AD=2厄,求EBpx

点的坐标.

3.如图，已知直线y=与双曲线

4.如图，一■次函数y=--y-x+1的图象

),=人(%>0)交于A,B两点、,且点A的

X与x轴、v轴分别交于点A、B,以线

横坐标为4.

段AB□为边在第一象限内作等边△

(1)求上的值；

ABC.

(2)过原点。的另一条直线/交双曲

(1)求aABC的面积.

线y=X(A>0)于P,Q两点、(P点在第

X(2)如果在第二象限内有一点P(a,

一象限)，若由点PBQA为顶点组成的

四边形面积't为

式子表示四边形ABPO的面积，□并求(1)求反比例函数的解析式？

出当4ABP的面积与△ABC的面积相等(2)已知A在第一象限，是两个函数

时a的值.的交点，求A点坐标？

(3)在x轴上是否存在点P,使AAOP

为等腰三角形？如存在请写出P点的

坐标，如不存在请说明理由.

5.已知反比例函数y=A和一次函数

2x

y=2x—1,其中一次函数的图象经过

(a,b),(a+k,b+k+2)两点。

五二次函数

知识要点：

二次函数yuaV+bx+c的图像和性质分段函数

图象

开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线；当xV-2时，y随

2a'

着X的增大而_______；当X>―时，y随着x的增大而_______;当X=2时，

2a2a

函数取最小值y=.

2.当a<0时，函数y=ax2+bx+c图象开口向下；顶点坐标

为，对称轴为直线；当xV-2时，y随着x的增大

2a

而____；当X>-2时，y随着x的增大而_______;当x=-2时，函数取最

2a2a

大值y=.

3.二次函数的三种表示方式：一般式顶点式交点

式________________

注：确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数

的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则.二

次函数的关系式可设如下三种形式：①给出三点坐标可利用一般式来求；②给

出两点，且其中一点为顶点时可利用顶点式来求.③给出三点，其中两点为与x

轴的两个交点（项,0）.（%,0）时可利用交点式来求.

4.一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这

种函数，叫作分段函数.

精选题型：

1.求二次函数y=—3>2—6x+1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值

（或最小值），并指出当x取何值时，V随x的增大而增大（或减小）？并画出

该函数的图象.

2.已知函数y=f,_24x4a,其中2,求该函数的最大值与最小值，并求出

函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值.

3.根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式.

(1)某二次函数的最大值为2,图像的顶点在直线v=x+1上，并且图象经过

点(3,—1)；

(2)已知二次函数的图象过点(一3,0),(1,0),且顶点到x轴的距离等于2；

(3)已知二次函数的图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8).

4.在国内投递外埠平信，每封信不超过20g付邮资80分，超过20g不超过40g

付邮资160分，超过40g不超过60g付邮资240分，依此类推，每封xg(0<x

W100)的信应付多少邮资(单位：分)？写出函数表达式，作出函数图象.

记住它，多想它：1.一般式：y=ax2+bx+c(a#=0);2.顶点式：y=a(x+h)2

+k(a=#0),其中顶点坐标是(一h,k).3.交点式：y=a(x—xO(x—x2)(a

中0),其中Xi,X2是二次函数图象与x轴交点的横坐标.

拓展练习：5.如果抛物线y-x2—6x+c—2的顶点

1下列各式中y是关于x的二次函数的到x轴的距离是3,那么c的值等于

是()A.xy+x2=1B.%2+y-4=0()

C.y~-ax=-2D.x2-y2+1=0A.8B.14C.8或14D.-8或

2.把y=3x?先向上平移2个单位，再-14

向右平移3个单位，所得抛物线的解6.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图

析式是()所示，则下列结论中正确的是：()

A.y=3(x+3)2-2B.y=3(x+2)

，2

C.y-3(x—3)2—2D.y=3(x—3)

2+2

3.函数y=2x+4z-5中，当一3Wx

<2时，则y值的取值范围是

()

(A)—3WyW1(B)—7Wy

W1

(C)-7WyW11(D)-7WyV

11

7.如图，△PQA”4P2A也都是等腰直

角三角形，点Pi,P2在函数y=4(x>0)

4.若二次函数,y=mx2+x+m(m-2)的图x

象经过原点，则机的值必为()的图像上，斜边OAi,A1A2都在x轴上，

A.0或2B.0C.2D.无法确则点A?的坐标是.

定8.已知(一2,yj,(一」，丫2),(3,y3)是二

2的面积为y.

次函数y=x+x+m上的点，则y1，y2,丫3从

小到大用“<”排列是.(1)求函数y的解析式；

(2)画出函数v的图像；

9.如图，直线y=2x+2与x轴，y轴分

(3)求函数y的取值范围.

别相交于A,B两点，将AAOB绕点0

顺时针旋转90°得到△AQBi

(1)在图中画出△AQBi

(2)求经过A,k,

10.如图所示，在边长为2的正方形

ABCD的边上有一个动

点P,从点A出发沿折线

ABCD移动一周后，回到

A点.设点A移动的路程为x,APAC

11.二次函数丁='%2一°x+6的图象与

42

x轴从左到右两个交点依次为A、B,

与v轴交于点c,

(1)求A、B、C三点的坐标；

(2)如果P(x,y)是抛物线上AC之间

的动点，0为坐标原点，试求APOA

的面积S与x之间的函数关系式，

并写出自变量x的取值范围；

(3)是否存在这样的点P,使得PO=PA,

若存在，求出点P的坐标；若不存

在，说明理由.

六二次函数的最值问题

知识要点：

次函数在自变量x取任意实数时的最值情况(当a>0时，函数在x=-2处取

2a

得最小值艇二生，无最大值；当。<0时，函数在》=—2处取得最大值也二忙，

4a2a4a

无最小值.

自学评价：

1.二次函数最大值或最小值的求法.第一步确定a的符号，a>0有最小值,

aVO有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小

值.

2.求二次函数在某一■范围内的最值.如：y=ax2+hx+cm<x<n(其中

m<n)的最值.第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：x=;第二步:

讨论：

(1)若Q>0时求最小值或Q<0时求最大值，需分三种情况讨论：①对称轴

小于相即光0<根，即对称轴在〃的左侧；②对称轴根《元0«〃，即对称轴在

加4次工〃的内部，③对称轴大于〃即天>〃，即对称轴在机的右侧o

(2)若Q>0时求最大值或4<0时求最小值，需分两种情况讨论：①对称轴

xo<,即对称轴在机的中点的左侧；②对称轴即对称轴在

mWxK〃的中点的右侧；

精选题型：

1.求下列函数的最大值或最小值.

(1)y=2x2-3x-5;(2)y=-x2-3x+4.

2.当U〈2时，求函数丁=-元2_%+1的最大值和最小值.

3.当x20时，求函数y=-1(2-幻的取值范围.

4当KE+1时，求函数*最小值(其中，为常数)・

5.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量

m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数加=162-3x,304xW54.

（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件销售价x之间的函数关

系式；

（2）若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合

适？最大销售利润为多少？

记住它，多想它：求二次函数在某一范围内的最值.如：y=ax2+bx+c在mWxWn

（其中〃7<〃）的最值.第一■步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：X=XQ；

第二步：讨论

拓展练习：

1.抛力勿线y=f-Q〃-4)x+2加-3,当，〃二

时，图象的顶点在y轴上；当初二

时，图象的顶点在x轴上；当加二

时，图象过原点.

4.已次口函数,=1+2公+1在-1WXW2上

2.用一长度为/米的铁丝围成一个矩的最大值为4,求a的值.

形，则其所围成的最大面积为

3.设a〉0,当TWxWl时，函数

,=一彳2-0%+。+1的最小值是-4,最大值

是0,求的值.

5.求函数y=3-J5x-3f一2的最大值

和最小值.(1)当a=T时，求函数的最大值和

最小值；

(2)当a为实数时，求函数的最大

值.

6.已知关于x的函数

y=x2+(2r+l)x+r2-1,当［取何值时，y

的最小值为0?

8.函基攵y=x?+2x+3在加WxWO上的最

大值为3,最小值为2,求加的取值范

围.

7.已次口关于x的函数y=f+2如+2在

-5<x<5±.

9.求关于x的二次函数y=%2一2优+1在

-1WXW1上的最大值G为常数）.

七不等式

知识要点：

一元二次不等式及其解法简单分式不等式的解法含有字母系数的一元一次

不等式

自学评价：

1.一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，

步骤如下：（1）将二次项系数先化为正数；（2）观测相应的二次函数图象.①

如果图象与无轴有两个交点（菁,0）,（%2,0）,（X]<%2）此时对应的一元二次方程有两个

不相等的实数根（也可由根的判别式△>（）来判断）则ar2+/>x+c>0（a>0）«

ax2+bx+c<0（a>0）Q

②如果图象与x轴只有一个交点（-2,o）,此时对应的一元二次方程有两个相等

2a

的实数才艮入=x,=-2（也可由才艮的判另I式△=（）来判断）贝i|ar2+/zx+c>0（a>0）=____

2a

ax2+/?x+c<0（a>0）0③如果图象与％轴没有交点，此时对应的一元二次方

程没有实数根（也可由根的判别式A<0来判断）.则加+加:+c>O（a>0）o

ax2+Z?x+cv0（a>0）0

2.解一元二次不等式的步骤是：（1）化二次项系数为正；（2）若二次三项

式能分解成两个一次因式的积，则求出两根％,4.那么“>0”型的解为

x"或x>z(俗称两根之外)；“<0”型的解为西。</(俗称两根之间)

3.简单分式不等式的解法：解简单的分式不等式的方法：对简单分式不等

式进行等价转化，转化为整式不等式，应当注意分母不为零.

4.含有字母系数的一元一次不等式最终可以化为公>b的形式，再讨论。

精选题型：

1.解下列不等式：(1)X2+%—6>0(2)(%—1)(%+2)>(x—2)(2x+1)

2解下列不等式：(1)%2-2%-8<0(2)%2-4%+4<0(3)x2-x+2<0

3已知对于任意实数x,依-2x+左恒为正数，求实数4的取值范围.

4解下列不等式：⑴主口<0(2)」一43

x+1x+2

5求关于x的不等式m2x+2>2nvc+m的解.

记住它，多想它：1.三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心.

三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等，2.三角形中角

平分线分对边和角的两边对应成比例.

拓展练习：

1.解下列不等式：

⑴2x2+x<02.解下列不等式:

(1)四20

X—1

(2)X2-3%-18<0

(2)把口<2

2x-l

(3)~x+x^.3x4-1

(3)->-1

X

(4)x(x+9)>3(x-3)

⑷祭>°解是一切实数，求加的取值范围.

3.解下列不等式：

(1)x2-2x>2x2+2(2)-x2--x+->0

235

6.若不等式主，2>1+三一的解是x>3,

kK

求女的值.

4.解关于x的不等式(刃-2)x>l-m.

7.a取何值时,代数式(a+l)2+2(a-2)-2

的值不小于0?

5.已知关于x的不等式,加-x+〃z<0的

8.已知函数y^x2-2ax+\(a为常数)

在

一2WxW1上的最小值为n,试将〃用10.不等式ax?+法+c<0(«J0)的解是

3表示出来♦x<2,或x>3求不等式bx2+ox+c>0的

解.

9.解关于x的不等式x2+2x+1-a2W0

(a为常数).

专题一、数与式的运算

自学评价

1、±4;—1或32、x—8;3、x6—1;4、8;5、一3WxW5；6、>

精选题型

1、⑴1VxV3;(2)、x<0或x>4

2、⑴a6-64(2)、x6+2x3y3+y3

3、184、V5-1

5、2702

...x+13—x

6、(1)、——、⑵、-------

x2(x+3)

拓展练习

1>—4VxV32、-1333、-3或一24、3-V5

6

5、-x4-y4-z4+2x2y2+2x2z2+2y2z2

6.(1)-3(2)吗3)4+仪4回&

3y

7、⑴一3⑵小

8、D9、C

10、%=2或工11.—12、----------1----=4一1----------------1--------

255〃(〃+1)(〃+2)+(〃+1)(〃+2)

专题二、因式分解

自学评价

[a2-b2-(a+b)(a-b)a2+lab+b2-(a+b)2a2-lab+b1=(a-/?)2

o'+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b7,=(a-b)(a1+ab+b2)

2、(1)(x—2)(x—1)(2)(x+6)(x—2)(3)(x-ay)(x—by)(4)(x

-1)(y+1)

3、(1)(x+3)(X2+3)(2)(2x—y+4)(x+2y—1)

4(x+1—V2)(x+z+V2)<5+V13..5-V13.

5、(x--12—)(彳-------2-----)

精选题