北京市2022年中考数学一模圆的综合试题

2022一模圆的综合试题

1.海淀

如图，oo是△ABC的外接圆，AB是OO的直径。点。为斗。的中点.QO的切线DE交OC的延长线

于点E.

(1)求证：DEI/AC；

4

(2)连接5。交AC于点P,若AC=8.cosA=-.

5

求£)£和8尸的长.

D

2.东城

如图，在AABC中，AB^AC,以AB为直径作OO,交BC于点。，交AC于点E,过点B作。。的切

线交OD的延长线于点F.

（2）若A3=4,DF=\,求4E的长.

3.西城

如图,AB是。。的直径,弦CDLAB于点E,点尸在BC上,AF与CD交于点G,点H在DC的延长线上,且

HG=HF,延长HF交AB的延长线于点M.

(1)求证:H尸是。。的切线；力4

(2)若sinM=&5,BM=1,求A尸的长.;三

Hcy

A1

4.朝阳

如图，A8为e。的直径，C为e。上一点，和过点C的切线互相垂直,垂足为O.

(1)求证：AC平分NZM?：

4

(2)若cosNC4D=—,AB=5,求CD的长.

5

5.大兴

如图，A是上一点，8c是。。的直径，BA的延长线与。。的切线CO相交于点。，E为CD的中点,

AE的延长线与BC的延长线交于点P.

(1)求证：AP是。。的切线;

(2)若OC=CP,AB=2由,求CQ的长.

6.丰台

如图，A8是。。的直径，C是。。上一点，连接4c.过点B作。。的切线，交AC的延长线于点。，在

A。上取一点E,使AE=AB,连接BE,交。。于点F,连接AF.

(1)求证：NBAF=NEBD；

(2)过点E作EG_LBO于点G.如果AB=5,BE=2近,求EG,8。的长.

7.门头沟

如图，AB是0。的直径，点。、E在上，ZA=2/BDE，过点E作。。的切线EC,交AB的延

长线于C.

(1)求证：NC=ZABD；

(2)如果。。的半径为5.BE=2.求EE的长.

8.平谷

如图，A8是。。的直径，C是。。上一点，过C作。。的切线交48的延长线于点。，连接AC、BC,过0

OF//AC,交8c于G,交。C于F.

(1)求证：NDCB=NDOF；

(2)若tanNA=L,BC=4,求OF、。尸的长.

2

9.顺义

如图，四边形ABC。内接于A8为的直径，点。为AC的中点，对角线AC,8。交于点£Q0

的切线A尸交8。的延长线于点凡切点为A.

(1)求证：AE=A尸；(2)若AF=6,BF=10,求BE的长.

BDF

C

10.通州

如图1.A5是eO的直径，点C是e。上不同于A8的点，过点。作e。的切线与BA的延长线交于点。,

连结AC,BC.

(1)求证：ZDCA=ZB；.

(2)如图2.过点C作CELAB于点E.交e。于点F，F。的延长线交CB于点G.若e。的直径为

4,ZD=30°,求线段FG的长.

答案解析

1.海淀

（本题满分6分）

（1）解：连接OO,与AC交于H,如图.

・・・。后是。。的切线，

ODLDE.

：.ZODE=90°.

・・・。为AC的中点，

:.AD=CD.

・•・ZAOD=ZCOD.

9：AO=CO,

：.OH±AC.

：.NOHC=90o=/ODE.

J.DE//AC.

（2）解：

・・・AB是。。的直径，

・・・ZACB=90°.

4

VAC=8,cosA=—,

5

：.在Rt/XABC中，AB=-^—=\O.

cosA

：.OA=OB=OD=5.

OHLAC,

：.AH=CH=-AC=4.

2

：.OH=ylAO2-AH2=3.

9：DE//AC,

：./\OCHs/\OED.

•.•-C-H--OH-_3

DEOD5a

:.DE=—,

3

•:NBCH=NDHC=90。,NAFD=NCFB,

：.ABCFsADHF.

,BCCF

••------=-------.

DHHF

"：BC=yjAB2-AC2=6,DH=OD-OH=2,

:.CF=3HF.

■:CF+HF=CH9,

：.CF=3.

：.BF=-JBC2+CF2=3x/5.

2.东城

【小问1详解】

证明：••・A3=4C

:.ZC^ZABC

,/OB=OD

：.ZODB=ZOBD

NC=N()DB

:.AC//OD

：.ZA=ABOF

【小问2详解】

解：如图：连接BE

QA3是。0的直径，AB=4

NAEB=90°,OB=OD=-AB^2

2

•.•BE是。O的切线

;.NOBF=90°

：.ZAEB=ZOBF

又•；ZA=NBOF

.-.△AfiES^OFB

AEAB

OB—OF

又•.•OF=QD+OR=2+1=3

AE48

---=—,解得AE=—

233

3.西城

(1)证明：连接OR,如图1.

QOA=OF,

AFAO=ZAFO.1分

QHG=HF,

.-.ZHGF=ZHFG,

QZHGF=ZAGE,

:.ZAGE=ZHFG.........................2分

QCD±AB

.\ZAEG=9^0

ZAGE+ZGAE^9Q°

：.ZHFG+ZAFO=90°

.-.ZHFO=90°

OF±HF

.•.板是=6。的切线...............3分

(2)解：连接用，如图2.

QOF±FM,

ZOFM=90°.

国2

jOF4

在RtZ^OFM中，sinM=--------.

OM5

设OE=4x,则

QOB=OF=Ax,BM=1,OM=OB+BM,

.,.5x=4x+l,解得x=l.

.-.OB=OF=4,OM=5.........................4分

：.FM=4OM--OF'=3

QAM=AB+BM^9

.BMFM1

"FM~AM~3

QZM=ZM,

:Z\FAM.........5分

FB1

—=一，即AF=3EB.

AF3

QA3是e。的直径，

:.ZAFB=90°.

在用ZkA用中，AB=yjAF2+FB2=V10F5=8.

=yV10.........................6分

4.朝阳

(1)证明：如图1,连接℃

QCO是e。的切线，

.•.zocr>=90°.

ZDCA+ZACO^90°,

QAD1CD,

:.ADCA+ZDAC^90°

图1

:.ZACO^ZDAC2分

QOA=OC,

ZACO=ZOAC,

..ZDAC^ZOAC,

，AC平分ND48.3分

(2)解：如图2,连接BC.

QA3为e°的直径，

・・..Z

ACB=90°.

4

cosZCAB-cos/CAD--

由(1)可知5.

QA3=5,

.-.AC=45分

AD=ACcosZCAD=—

在川△ACD中，5

6分

5.大兴

(1)证明：连接A。，AC.

•・・8C是。。的直径，

ZBAC=ZCAD=90°1分

•・・£是C。的中点，

：.CE=DE=AE.

：.^ECA=ZEAC.

；04=0C,

ZO4C=ZOC4.

•••CC是。。的切线，

/.CDIOC...................................................................2分

，ZECA+ZOCA=90°.

：.ZEAC+ZOAC=90°.

：.OA±AP.

：A是。O上一点，

.•.AP是。。的切线......................................3分

(2)解：由(1)知OALAP.

在RtZiOAP中，

VZQ4P=90°,OC=CP=OA,BPOP=2OA,

...sin/P=丝」.

OP2

：.ZP=30°.....................................................................4分

ZAQP=60°.

•：OC=OA,

.♦.△AOC为等边三角形，

/.ZACO=60°.

在RtZ\84C中，

ZBAC=90°,AB=2M，ZACO=60°,

AB2百

AC=

tanZ.ACOtan600

又..•在RtZ\ACQ中,

/CW=90。，

ZACD=90°-ZACO=30°,

r.CD=———=—--=超......................6分

cosZACDcos3003

7.门头沟

【小问1详解】

证明：如图1,连接。£,

D

TAB是。的直径

JZADB=90°

：.NA+NA8O=90。

・・，CE是。的切线

JOELCE

：.NOEC=90。

AZC+ZCOE=90°

VZA=2ZBDEfZCOE=2ZBDE

：.ZC=ZABD

【小问2详解】

解：如图2,连接3E,

图2

解：设N5OE=(x,AZADF=90°-a,ZA=2a,ZDBA=90°-2a,

在△ADF中，ZDM=180°-2a-(90°-a)=90°-a,

・・・NADF=/DFA,

：.AD=AF=A0+08-BF=8,

：.AD=AF=S

VZADF=ZAFD,NADF=NFBE,NAFD=NBFE,

:・/BFE=/FBE,

・・BE=EF,

由（1）知，ZA=2ZBDE=ZCOEf

•：NBED=NA,

：.ZBEF=ZCOEt

■:NFBE=/OBE,

:•△BEFS^BOE,

.EF_BF

^~OE~~BE

.EF_2

a，~~~EF

；・EF=M,

故E尸的长为丽.

8.平谷

【小问1详解】

解：如图所示，连接OC,

・・,CD是圆。的切线，A8是圆。的直径,

：.ZOCD=ZACB=90°,

:.ZDCB+ZOCB=ZOCA+ZOCB,

:.ZDCB=ZOCA,

OC=OA,

：./OAC=/OCA=/DCB,

9：0F//AC,

：.ZDOF=ZOACf

：.ZDOF=ZDCB；

DC

【小问2详解】

解：设。尸与BC交于点G,

,：OF//AC,

:.XOBGs缸ABC,ZBGO=ZACB=90°

BGOBOG1

/.——=—=——=一，ZCGF=90°

BCABAC2

：.BG=-BC=2,

2

CG=2,

八1

VZBCD^ZOAC,tanNA=一，

2

tanZFCG=tanZA=-=-=—,

CG2AC

：.GF=-CG=\,AC=2BC=S,

2

••.0G=；AC=4，CF^GF+CG?=5

：.OF=OG+GF=5,

同理可证△OfQs/vicn,

,DFOF

/.---=----,

DCAC

.DF_5

,,DF+亚一飞'

-5石

••Dr--------•

3

9.顺义

(1)证明：•；4B为。。的直径，AF切。。于A,

\ABJ_AF,ZADB=900...............