专题15 等腰三角形中综合问题的探究（解析版）

专题15等腰三角形中综合问题的探究类型一等腰三角形、角平分线与平行线的知二推三模型1．（2022秋•汉寿县期中）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周长等于边AB与AC的和；④BF＝CF；⑤∠BFC＝90°+12∠A．①②⑤ B．①②③④ C．①②④ D．①②③⑤【思路引领】①根据平行线性质和角平分线定义可以得DE∥BC，从而得到△BDF和△CEF都是等腰三角形；②同①有DF＝DB，FE＝EC，所以DE＝DF+EF＝BD+CE；③由②得：△ADE的周长为：AD+DE+AE＝AB+BD+CE+AE＝AB+AC；④因为∠ABC不一定等于∠ACB，所以∠FBC不一定等于∠FCB，所以BF与CF不一定相等；⑤由角平分线定义和三角形内角和定理可以得解．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB，∵△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，∴∠FBC＝∠DBF，∠FCE＝∠FCB，∴∠DBF＝∠DFB，∠EFC＝∠ECF，∴DF＝DB，FE＝EC，即△BDF和△CEF都是等腰三角形；故①正确；∴DE＝DF+EF＝BD+CE，故②正确；∴△ADE的周长为：AD+DE+AE＝AB+BD+CE+AE＝AB+AC，故③正确；∵∠ABC不一定等于∠ACB，∴∠FBC不一定等于∠FCB，∴BF与CF不一定相等，故④错误；由题意知，∠FBC=1∴∠BFC=180°-(∠FBC+∠FCB)=180°-12(∠ABC+∠ACB)=180°-故选：D．【总结提升】本题考查了等腰三角形的判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质及三角形的内角和定理；题目利用了两直线平行，内错角相等及等角对等边来判定等腰三角形；等量代换的利用是解答本题的关键．2．（2023秋•南宫市期末）已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于点E，EF∥AB交AC于点F．求证：△FEC是等腰三角形．【思路引领】利用平行线以及角平分线的定义证明∠2＝∠3，再根据等角的余角相等证明∠4＝∠5即可解决问题；【解答】证明：如图，∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∵EF∥AB，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∵CE⊥AD于点E，∴∠AEC＝90°，∴∠3+∠4＝90°，∴∠2+∠5＝90°，∴∠4＝∠5，∴FE＝FC，∴△FEC是等腰三角形．【总结提升】本题考查平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3．（2020秋•播州区期末）已知△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE∥BC．（1）如图1，如果点E是边AC的中点，AC＝8，求DE的长；（2）如图2，若DE平分∠ADC，∠ABC＝30°，在BC边上取点F使BF＝DF，若BC＝9，求DF的长．【思路引领】（1）根据角平分线定义得到∠BCD＝∠ACD，由于DE∥BC，根据平行线性质得∠EDC＝∠BCD，则∠EDC＝∠ACD，然后根据等腰三角形的判定得ED＝EC，由点E是边AC的中点，AC＝8，得EC＝4，所以DE＝4；（2）作DG⊥BC于点G，易求GB、GF的长，再根据在直角三角形中30°的锐角所对的直角边是斜边的一半即可求出DF的长．【解答】解：（1）∵DC平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACD，∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠BCD，∴∠EDC＝∠ACD，∴ED＝EC，∵点E是边AC的中点，AC＝8，∴EC=12AC＝∴DE＝4；（2）∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠CDE＝∠BCD，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∴∠B＝∠BCD，∴DB＝DC．如图2，作DG⊥BC于点G，∵DB＝DC，DG⊥BC，∴GB=12BC=12∵∠ABC＝30°，BF＝DF，∴∠BDF＝∠B＝30°，∴∠DFG＝∠B+∠BDF＝60°，∴∠FDG＝30°，∴BF＝DF＝2FG，∴GF＝1.5，∴DF＝2FG＝3．【总结提升】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质以及在直角三角形中30°的锐角所对的直角边是斜边的一半的性质，熟记各种几何图形的性质是解题的关键．类型二等腰三角形与轴对称或垂直平分线的综合4．（2023秋•惠东县期末）如图，CN是等边△ABC的外角∠ACM内部的一条射线，点A关于CN的对称点为D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CN于点E，P．（1）求证：CD＝CB；（2）若∠ACN＝α，求∠BDC的大小（用含α的式子表示）；（3）请判断线段PB，PC与PE三者之间的数量关系，并证明你的结论．【思路引领】（1）根据对称性和等边三角形的性质可得结论；（2）根据对称得：CN是AD的垂直平分线，则CA＝CD，根据等腰三角形的性质和等边三角形可得结论；（3）作辅助线，在PB上截取PF使PF＝PC，如图，连接CF．先证明△CPF是等边三角形，再证明△BFC≌△DPC，则BF＝PD＝2PE．根据线段的和可得结论．【解答】（1）证明：∵点A与点D关于CN对称，∴CN是AD的垂直平分线，∴CA＝CD，∵等边△ABC，∴CA＝CB，∴CD＝CB；（2）解：∵CN是AD的垂直平分线，CA＝CD．∴∠ACE＝∠DCE，∵∠ACN＝α，∴∠ACD＝2∠ACN＝2α．∵CB＝CD，∠ACB＝60°．∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝60°+2α．∴∠BDC＝∠DBC=12（180°﹣∠BCD）＝60°﹣（3）结论：PB＝PC+2PE．证明：在PB上截取PF使PF＝PC，如图，连接CF．设∠ACN＝α，∵CA＝CD，∠ACD＝2α，∴∠CDA＝∠CAD＝90°﹣α．∵∠BDC＝60°﹣α，∴∠PDE＝∠CDA﹣∠BDC＝30°，∴PD＝2PE．∵∠CPF＝∠DPE＝90°﹣∠PDE＝60°．∴△CPF是等边三角形．∴∠CPF＝∠CFP＝60°．∴∠BFC＝∠DPC＝120°．∴在△BFC和△DPC中，∠CFB=∠CPD∠CBF=∠CDP∴△BFC≌△DPC（AAS）．∴BF＝PD＝2PE．∴PB＝PF+BF＝PC+2PE．【总结提升】此题是三角形综合题，主要考查了对称的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的性质，三角形全等的性质和判定，第三问作出辅助线构建等边三角形是解本题的关键．5．（2023春•凤城市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为D，交AC于点E．（1）若∠ABE＝50°，求∠EBC的度数；（2）若△ABC的周长为43cm，BC的长为11cm，求△BCE的周长【思路引领】（1）由DE是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得出AE＝BE，则可求得∠ABE的度数，又由AB＝AC，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ABC的度数，继而求得答案；（2）求出AC和BC的值，再根据线段垂直平分线的性质得出AE＝BE，求出△BCE的周长＝AC+BC，代入求出即可．【解答】解：（1）∵DE垂直平分AB∴∠A＝∠ABE＝50°，又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，而∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC=12×（180°﹣50∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝65°﹣50°＝15°；（2）∵△ABC的周长为43cm，BC＝11cm∴AB＝AC＝16cm，又∵DE垂直平分AB∴EA＝EB，∴△BCE的周长为：BC+BE+CE＝BC+AE+CE＝BC+AC＝16+11＝27cm．【总结提升】此题考查了线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质，能求出AE＝BE是解此题的关键，此题比较简单，注意数形结合思想的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．类型三等腰三角形与翻折或旋转变换的综合6．如图，等腰△ABC中，CA＝CB＝4，∠ACB＝120°，点D在线段AB上运动（不与A、B重合），将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ．（1）证明：CP＝CQ；（2）求∠PCQ的度数；（3）当点D是AB中点时，请直接写出△PDQ是何种三角形．【思路引领】（1）由折叠直接得到结论；（2）由折叠的性质求出∠ACP+∠BCQ＝120°，再用周角的意义求出∠PCQ＝120°；（3）先判断出△APD是等边三角形，△BDQ是等边三角形，再求出∠PDQ＝60°，即可．【解答】解：（1）∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，∴CP＝CD＝CQ；（2）∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，∴∠ACP＝∠ACD，∠BCQ＝∠BCD，∴∠ACP+∠BCQ＝∠ACD+∠BCD＝∠ACB＝120°，∴∠PCQ＝360°﹣（∠ACP+BCQ+∠ACB）＝360°﹣（120°+120°）＝120°；（3）△PDQ是等边三角形．理由：∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，∴AD＝AP，∠DAC＝∠PAC，∵∠DAC＝30°，∴∠APD＝60°，∴△APD是等边三角形，∴PD＝AD，∠ADP＝60°，同理：△BDQ是等边三角形，∴DQ＝BD，∠BDQ＝60°，∴∠PDQ＝60°，∵当点D在AB的中点，∴AD＝BD，∴PD＝DQ，∴△DPQ是等边三角形【总结提升】此题是几何变换综合题，主要考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定，解本题的关键是判断出∠PCQ＝120°是个定值．7．（2023•昌平区二模）在等边△ABC中，点D是AB中点，点E是线段BC上一点，连接DE，∠DEB＝α（30°≤α＜60°），将射线DA绕点D顺时针旋转α，得到射线DQ，点F是射线DQ上一点，且DF＝DE，连接FE，FC．（1）补全图形；（2）求∠EDF度数；（3）用等式表示FE，FC的数量关系，并证明．【思路引领】（1）根据题意可直接画出图形，（2）利用旋转的性质和三角形内角和定理解答，（3）添加辅助线得到△CEG，进而△CEG为等边三角形，可得线段相等，再证明△BDE≌△ADG即可得出FE＝FC．【解答】解：（1）（2）∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°．∵射线DA绕点D顺时针旋转α，得到射线DQ，∴∠ADF＝α．∴∠BDF＝180°﹣α．∵∠DEB＝α，∴∠BDE＝180°﹣∠B﹣∠DEB＝180°﹣60°﹣α＝120°﹣α．∴∠EDF＝∠BDF﹣∠BDE＝180°﹣α﹣（120°﹣α）＝60°．（3）FE＝FC，证明如下：在CA上截取CG，使CG＝CE，连接EG，连接DG，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，AC＝BC．∴△EGC是等边三角形．∴∠GEC＝60°，GE＝EC．∵∠EDF＝60°，DE＝DF，∴△DEF是等边三角形．∴∠DEF＝60°，DE＝EF．∴∠DEF+∠FEG＝∠GEC+∠FEG．∠DEG＝∠FEC．∴△DEG≌△FEC（SAS）．∴DG＝FC．∵AC﹣GC＝BC﹣EC，∴AG＝BE．∵点D是AB的中点，∴AD＝DB．∵∠A＝∠B，∴△BDE≌△ADG（SAS），∴DE＝DG，∴FE＝FC．【总结提升】此题是一个综合性很强的题目，主要考查等边三角形的性质、三角形相似、旋转的特征，本题有一定难度．8．（2022春•绥棱县校级期末）将两个等边三角形（每个内角都等于60°）如图1叠放在一起，现将△CDE绕点C顺时针旋转，旋转角为a（旋转角0°＜a＜360°），请探究下列问题：（1）如图2，当旋转角满足0°＜a≤60°时，请写出∠BCD与∠ACE的关系，并说明理由；（2）如图3，当旋转角满足60°＜a≤120°时，请写出∠BCE与∠ACD的关系，并说明理由；（3）当DE∥BC时请直接写出旋转角的度数．【思路引领】（1）根据旋转的性质或等边三角形的定义可得结论：∠BCD＝∠ACE；（2）根据角的和与差可得结论：∠BCE﹣∠ACD＝120°；（3）在旋转角0°＜a＜360°时，正确画图可得结论．【解答】解：（1）如图2，∠BCD＝∠ACE，理由如下：∵△ABC和△CDE是等边三角形，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠BCD＝∠ACE；（2）如图3，∠BCE﹣∠ACD＝120°，理由如下：由旋转得：∠BCD＝∠ACE，∴∠BCE﹣∠ACD＝∠ACB+∠ACD+∠DCE﹣∠ACD＝∠ACB+∠DCE＝120°；（3）如图4，当DE∥BC时，α＝60°；如图5，当DE∥BC时，α＝180°+60°＝240°；综上，当DE∥BC时旋转角的度数为60°或240°．【总结提升】本题考查的是旋转变换的性质，等边三角形的性质，平行线的性质，掌握旋转变换的性质是解题的关键．类型四平面直角坐标系背景下的等腰三角形9．（2022秋•鼓楼区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，△AOP为等边三角形，A点坐标为（0，1），点B为y轴上位于A点上方的一个动点，以BP为边向BP的右侧作等边△PBC，连接CA，并延长CA交x轴于点E．（1）求证：OB＝AC；（2）当点B在运动时，AE的长度是否发生变化？请说明理由；（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得△AEQ为等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【思路引领】（1）根据等边三角形性质得出OP＝AP，BP＝PC，∠APO＝∠CPB＝60°，求出∠OPB＝∠APC，证出△PBO≌△PCA，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）∠EAO＝60゜，求出∠AEO＝30゜，得出AE＝2AO，求出即可；（3）①当AQ＝AE＝2时，△AEQ为等腰三角形，点Q在y轴的正半轴上，求得OQ＝AE+AO＝3，②当AQ＝AE＝2时，△AEQ为等腰三角形，点Q在y轴的负半轴上，求得OQ＝AQ﹣AO＝1，③当EQ＝AE＝2时，△AEQ为等腰三角形，x轴是AQ的垂直平分线，求得OQ＝AO＝1，即可得到结论．【解答】（1）证明：∵△BPC和△AOP是等边三角形，∴OP＝AP，BP＝PC，∠APO＝∠CPB＝60°，∴∠APO+∠APB＝∠BPC+∠APB，即∠OPB＝∠APC，在△PBO和△PCA中，OP=PA∠OPB=∠APC∴△PBO≌△PCA（SAS），∴OB＝AC．（2）解：当B点运动时，AE的长度不发生变化，理由是：∵∠EAO＝∠BAC＝60゜，∠AOE＝90°，∴∠AEO＝30゜，∴AE＝2AO＝2，即当B点运动时，AE的长度不发生变化．（3）解：存在，∵AE＝2AO＝2，∴①当AQ＝AE＝2时，△AEQ为等腰三角形，点Q在y轴的正半轴上，∴OQ＝AE+AO＝3，∴Q（0，3），②当AQ＝AE＝2时，△AEQ为等腰三角形，点Q在y轴的负半轴上，∴OQ＝AQ﹣AO＝1，∴Q（0，﹣1），③当EQ＝AE＝2时，△AEQ为等腰三角形，x轴是AQ的垂直平分线，∴OQ＝AO＝1，∴Q（0，﹣1）．综上所述：在y轴上存在点Q，使得△AEQ为等腰三角形，Q（0，3），（0，﹣1）．【总结提升】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定，坐标与图形的性质，熟练正确坐标与图形的性质是解题的关键．10．（2022秋•河北区期末）如图，△AOB是等边三角形，以直线OA为x轴建立平面直角坐标系，若B（a，b），且a，b满足a+5+(b-53)2=0，点D为y轴上一动点，以为AD边作等边三角形ADC，CB（1）如图1，求A点的坐标；（2）如图2，点D在y轴正半轴上，点C在第二象限，CE的延长线交x轴于点M，当D点在y轴正半轴上运动时，M点的坐标是否发生变化？若不变，求M点的坐标；若变化，说明理由．【思路引领】（1）如图1中，作BF⊥AO于F．理由非负数的性质求出点B坐标即可解决问题；（2）点M的坐标不发生变化．只要证明△OAD≌△BAC，推出∠AOD＝∠CBA＝90°，在Rt△ABM中，解直角三角形即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，作BF⊥AO于F．∵a+5+（b﹣53）2＝0∴a＝﹣5，b＝53，∴B（﹣5，53），∵BA＝BO，BF⊥OA，∴FA＝FO＝5，∴OA＝10，∴A（﹣10，0）．（2）点M的坐标不发生变化，M（10，0），理由：如图2中，∵△ABO，△ADC都是等边三角形，∴∠OAB＝∠DAC，OA＝OB，AD＝AC，∴∠OAD＝∠BAC，∴△OAD≌△BAC（SAS），∴∠AOD＝∠CBA＝90°，在Rt△ABM中，∠ABM＝90°，AB＝OA＝10，∠BAM＝60°，∴AM＝2AB＝20，∴OM＝AM﹣OA＝10，∴M（10，0）．【总结提升】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．11．（2021春•花都区期末）“长度”和“角度”是几何学研究的核心问题．相交线与平行线的学习，让我们对“角度转化”有了深刻的体会．某数学兴趣小组受此启发，试图沟通“角度”与“长度”间的关系．在研究过程中他们发现了一条关于三角形的重要结论﹣﹣“等角对等边”，即：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．如图，在△EBD中，若∠B＝∠D，则ED＝EB．以此为基础，该兴趣小组邀请你加入研究，继续解决如下新问题：在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），已知（a+3）2+b-3=0，点C为x轴上方的一（1）如图1，已知点D（﹣2，2），BC上有一点E（1，2）．则①DE与x轴的位置关系为平行；②求BE的长度；（2）如图2，AH、BH分别平分∠CAB、∠CBA，过H点作AB的平行线，分别交AC、BC于点F、G．若F（m，n），G（m+4，n），求四边形ABGF的周长；（3）当点C为x轴上方的一动点（不在y轴上）时，连接CA、CB．若∠CAB邻补角的角平分线和∠CBA的角平分线交于点P，过点P作AB的平行线，分别交直线AC、直线BC于点M、N