椭圆及其标准方程

内容：§2.1.1椭圆及其标准方程（第一课时）作者：永安一中邱宗荣时间：2011年10月27日椭圆及其标准方程设置情境问题诱导

2005年10月12日上午9时，“神舟六号”载人飞船顺利升空，实现多人多天飞行，标志着我国航天事业又上了一个新台阶，请问：“神舟六号”载人飞船的运行轨道是什么？

神舟六号在进入太空后，先以远地点347公里、近地点200公里的椭圆轨道运行，后经过变轨调整为距地343公里的圆形轨道.天体的运行生活中的椭圆如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？生活中的椭圆椭圆的画法生活中的椭圆请同学们列举实际生活中的椭圆形例子。

除体育场跑道、卫星运行轨迹外，还有洒水车和油罐车的横截面、拱桥的圆拱、国家大剧院轮廓等。

椭圆在实际生活中是很常见的，学习椭圆的相关知识也十分必要，那么如何统一地研究生活中出现的各种各样的椭圆呢？这就是我们今天要探究的——椭圆及其标准方程。返回主菜单问题与探究1、什么是圆？2、取一条定长的细绳，把它的两端点固定在图板的同一点书处，套上铅笔，拉紧绳子，移动铅笔问：笔尖画出什么图形？3、将细绳两端拉开一定的距离，分别固定在图板的两点处，当绳长大于两点间的距离时，套上铅笔，拉紧绳子，移动铅笔，问：笔尖画出什么图形？4．改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？5．绳长能小于两图钉之间的距离吗？

结果分析平面内；——这是大前提动点M到F1

、F2的距离之和是常数2a；常数2a要大于两定点F1

、F2的距离.|MF1|+|MF2|=2a>|F1F2|满足几个条件的动点的轨迹叫椭圆？椭圆的定义

平面内到两个定点F1、F2的距离之和是常数2a

（大于|F1F2|=2c）的点的轨迹叫椭圆。注：定义中对“常数”加上了一个条件，即常数要大于|F1F2|，这样规定是为了避免出现轨迹为一条线段或无轨迹两种特殊情况，这一点非常重要。

返回主菜单两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。MF1F2|MF1|+|MF2|=2a>2c归纳：

|MF1|+|MF2|＞|F1F2|椭圆|MF1|+|MF2|=|F1F2|线段|MF1|+|MF2|＜|F1F2|不存在椭圆的标准方程的推导

由椭圆的定义可知它的基本特征，但对于这种曲线还具有哪些性质，我们几乎一无所知，因此需要建立椭圆的方程，以便于做进一步的认识。坐标法（直接法）建系、设点列式坐标化化简检验求曲线方程的一般方法是什么？用坐标法求曲线方程的一般步骤是什么？椭圆的标准方程的推导下面根据椭圆的定义来求椭圆的标准方程。1.建立坐标系以F1、F2的中点O为原点，直线F1F2为x轴，建立直角坐标系。xyOF1F2椭圆的标准方程的推导2.设点、列式设M(x,y)是椭圆上任一点，设椭圆的焦距2c(c>0)，那么F1、F2的坐标分别为(-c,0),(c,0)，又设M与F1、F2的距离的和为2a。由椭圆的定义，椭圆就是集合将其坐标化为yxF1F2OM(x,y)

小资料

含根式方程的化简方程中只有一个根式时，需将它单独留在方程的一边，把其他各项移到另一边；方程中有两个根式时，需将它们分别放在方程的两边，并使其中一边只有一项。

含根号的等式化简目的就是要去除根号，变无理式为有理式。

化简根式方程

化简根式方程引入字母b(b>0)

，令方程叫做焦点在x轴的椭圆的标准方程.从而椭圆的标准方程(1)yxF1F2OM(x,y)它表示：1.椭圆的焦点在x轴2.焦点是F1(-c,0)、F2(c,0)椭圆的标准方程(2)它表示：1.椭圆的焦点在y轴2.焦点是F1(0,-c)、F2(0,c)yxMF2F1O

图形方程焦点F(±c，0)F(0，±c)a,b,c之间的关系c2=a2-b2|MF1|+|MF2|=2a(2a>2c>0)定义12yoFFMx1oFyx2FM注:共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.不同点：焦点在x轴的椭圆项分母较大.

焦点在y轴的椭圆项分母较大.

典例精析：例1

判断下列椭圆的焦点位置，并求出焦点坐标和焦距:（1）（2）解析

通过比较分母大小确定焦点位置，结合a,b,c的关系式求出焦点坐标和焦距.答案

（1）焦点在x轴，焦点（-6，0）、（6，0）焦距为12；（2）焦点在y轴，焦点（0，-4）、（0，4）焦距为8。类型一：椭圆的简单几何性质1.下列方程哪些表示椭圆？若是,则判定其焦点在哪条坐标轴？

牛刀小试则a＝

，b＝

，，则a＝

，b＝

，5332焦点坐标为___________,

焦距等于___.（-4，0）（4，0）8焦点坐标为_____________,焦距等于______.

牛刀小试例题2.已知方程表示焦点在x轴

上的椭圆，则m的取值范围是

.(0,4)变1：已知方程

表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是

.(1,2)变2：方程，分别求方程满足下列条件的m的取值范围：①表示一个圆；②表示一个椭圆；③表示焦点在x轴上的椭圆。类型二：求椭圆的标准方程例3写出适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)a=4,b=1,焦点在x轴上

典例精析例2平面内有两个定点(-4,0)、(4，0),动点P到两定点距离的和是10，求点P的轨迹方程。分析变式②常数大于两定点间的距离，故轨迹为椭圆；①和是常数③焦点在x轴，过两定点的连线是x轴，它的线段的垂直平分线为y轴，从而保证方程是标准方程；④根据已知求出a,c，进而推出b,从而求得方程简解2a=10,2c=8∴a=5,c=4∴b=3本题中10改为8，结果如何？典例精析例

3解析∵椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为由椭圆定义知解：设椭圆的标准方程则有

，解得

所以，所求椭圆的标准方程为.课堂小结(1)（1）椭圆的标准方程有几个？答：2个。焦点分别在x轴、y轴上。（2）给出椭圆的标准方程，如何判断焦点位置？答：