新教材2024版高中数学第一章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.2用空间向量研究距离夹角问题第1课时空间中的距离问题课件新人教A版选择性必修第一册

第一章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题第1课时空间中的距离问题学习目标素养要求1.理解点线距、点面距、线线距、线面距、面面距的概念和向量表示直观想象、数学抽象2.体会空间向量解决几何问题的方法，能够用向量法求空间中的距离问题直观想象、数学运算|自学导引|

空间中距离与向量的关系【预习自测】1．思考辨析(对的画“√”，错的画“×”)(1)点A是直线l外一点，若AB是直线l的垂线段，则AB的长度就是点A到直线l的距离．

(

)(2)直线l∥平面α，则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离．

(

)(3)若平面α∥β，则两平面α，β间的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离，也可转化为平面α内某点到平面β的距离． (

)【答案】(1)√

(2)√

(3)√【答案】D3．设A(2，3，1)，B(4，1，2)，C(6，3，7)，D(－5，－4，8)，则点D到平面ABC的距离为________.点到直线的距离与两条平行直线之间的距离有什么关系？【答案】提示：在两条平行直线中的一条上取一定点，该点到另一条直线的距离即为两条平行直线的距离．微思考|课堂互动|题型1点到直线的距离、两条平行直线之间的距离

在长方体OABC-O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，求点O1到直线AC的距离．解：方法一，连接AO1，建立如图1所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，O1(0，0，2)，C(0，3，0)，1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E，F分别为A1B1，A1A的中点．求直线EF与C1D之间的距离．解：以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，∴A1(0，0，2)，B1(2，0，2)，A(0，0，0)，C1(2，2，2)，D(0，2，0).题型2点到平面的距离

如图，正方形ABCD的边长为4，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，E，F分别为AB，AD的中点，求点A到平面GEF的距离．用向量法求点面距的方法与步骤如图．2．如图，在棱长为1的立方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱A1D1的中点，H为平面AA1D1D内的点．(1)若C1H⊥平面BDE，确定点H的位置；(2)求点C1到平面BDE的距离．解：以DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图．由棱长为1可得D(0，0，0)，D1(0，0，1)，A(1，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，C1(0，1，1).题型3直线和平面、平面和平面的距离角度1直线和平面的距离已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，M，N分别为A1B1，AD，CC1的中点，判断直线AC与平面EMN的关系．如果平行，求出AC与平面EMN之间的距离；如果不平行，说明理由．角度2平面和平面的距离

如图，已知棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1，则平面AB1C与平面A1C1D之间的距离为________.直线与平面距离的求法(1)建立空间直角坐标系，求相应点的坐标．(2)求出直线的方向向量，平面的法向量．(3)先证明直线与平面平行、然后把所求距离转化为点到平面的距离．(4)求出点到平面的距离即为所求距离．3．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，求平面AMN与平面EFBD间的距离．锦囊妙计等价转化思想在求空间的距离问题中的应用等价转化思想是解决立体几何的重要思想方法，也是高考中重点考查的数学方法，空间中点、线、面的位置关系相互转化，平面几何与立体几何之间的相互转化等都是解答立体几何问题时常用的方法．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，PA＝AB＝2．(1)求证：EF∥平面PCD；(2)求点E到平面PCD的距离．命题意图：本题考查了线面平行的判定、三棱锥的等体积法、点到平面的距离等基础知识，考查了空间想象能力、数学运算能力、转化的数学思想．知识依托：(1)线线平行判定定理和线面平行判定定理．(2)棱锥的体积公式．解：(1)证明：如图，取PC中点G，连接DG，FG，如图．∵四边形ABCD为正方形，∴DE∥BC．∵G，F分别为PC，PB的中点，∴FG∥BC．∴DE∥FG．求点到平面的距离的常用方法(1)直接法：过点P作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离．(2)转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求．|素养达成|1．空间距离的定义(1)图形与图形的距离：一个图形内的任一点与另一图形内的任一点的距离中的最小值叫做图形与图形的距离．(2)点到平面的距离：一点到它在一个平面内正射影的距离，叫做点到这个平面的距离．(3)直线与其平行平面的距离：一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离，叫做直线与平面的距离．(4)两个平行平面的距离：和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线．夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的公垂线段．两平行平面的公垂线段的长度，叫做两平行平面的距离．(3)特殊性：求距离还常采用等积变换法或归结为解直角三角形．利用向量法实际取点时，要选取方便，容易计算的．1．(题型2)已知△ABC的顶点A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边