新教材2024版高中数学第一章空间向量与立体几何1.2空间向量基本定理课后提能训练新人教A版选择性必修第一册

1.2空间向量基本定理A级——基础过关练1.已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，向量b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，则与a，b不能构成空间基底的向量是 ()A.eq\o(OA,\s\up6(→)) B.eq\o(OB,\s\up6(→)) C.eq\o(OC,\s\up6(→)) D.eq\o(OA,\s\up6(→))或eq\o(OB,\s\up6(→))【答案】C【解析】因为eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b且a，b不共线，所以a，b，eq\o(OC,\s\up6(→))共面，所以eq\o(OC,\s\up6(→))与a，b不能构成一组空间基底.故选C.2.(2023年长沙检测)已知{a，b，c}是空间向量的一个基底，则下列向量中能与a＋b，a－b构成基底的是 ()A.a B.b C.c D.a＋2b【答案】C【解析】根据向量加法和减法的几何意义可知：a，b，a＋b，a－b共面，由于{a，b，c}是空间向量的一个基底，所以能与a＋b，a－b构成基底的是c.故选C.3.(2023年淄博检测)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，若eq\o(AF,\s\up6(→))＝xeq\o(AD,\s\up6(→))＋yeq\o(AB,\s\up6(→))＋zeq\o(AA1,\s\up6(→))，则x＋y＋z＝ ()A.1 B.eq\f(3,2) C.2 D.eq\f(5,2)【答案】C【解析】eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(DD1,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))，故x＝1，y＝eq\f(1,2)，z＝eq\f(1,2)，则x＋y＋z＝2.故选C.4.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，用a，b，c表示向量eq\o(MN,\s\up6(→))为 ()A.eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b－c B.a＋eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)cC.eq\f(1,3)a－eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)c D.eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)c【答案】D【解析】eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(BN,\s\up6(→))－eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1N,\s\up6(→))－eq\o(BM,\s\up6(→))，因为BM＝2A1M，C1N＝2B1N，eq\o(BB1,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(B1C1,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(BA1,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(2,3)(eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))－eq\f(2,3)(eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)c.5.已知{e1，e2，e3}为空间向量的一个基底，若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，且d＝αa＋βb＋γc，则α，β，γ的值为 ()A.α＝eq\f(5,2)，β＝－1，γ＝－eq\f(1,2)B.α＝－1，β＝eq\f(5,2)，γ＝－eq\f(1,2)C.α＝－eq\f(1,2)，β＝eq\f(5,2)，γ＝－1D.α＝－1，β＝－eq\f(1,2)，γ＝eq\f(5,2)【答案】A【解析】由题意得a，b，c为三个不共面的向量，∴由空间向量基本定理可知必然存在唯一的有序实数组(α，β，γ)，使得d＝αa＋βb＋γc，∴d＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋γ(e1－e2＋e3)＝(α＋β＋γ)e1＋(α＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3.又∵d＝e1＋2e2＋3e3，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α＋β＋γ＝1，,α＋β－γ＝2，,α－β＋γ＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝\f(5,2)，,β＝－1，,γ＝－\f(1,2)．))故选A.6.(多选)若{a，b，c}是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是 ()A.a，2b，3cB.a＋b，b＋c，c＋aC.a＋2b，2b＋3c，3a－9cD.a＋b＋c，b，c【答案】ABD【解析】因为－3(a＋2b)＋3(2b＋3c)＋(3a－9c)＝0，所以3a－9c＝3(a＋2b)－3(2b＋3c)，即三向量3a－9c，a＋2b，2b＋3c共面.故选ABD.7.(多选)已知在四面体OABC中，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC的中点，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，则 ()A.eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(2,3)cB.eq\o(MN,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cC.eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a－cD.eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b－eq\f(1,2)c【答案】BC【解析】eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)c＋eq\f(1,2)b－a；eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))－eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c－eq\f(2,3)a；eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(CO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝－c＋eq\f(2,3)a；eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a－b.故选BC.8.对于不共面的三个向量a，b，c，若a＝xa＋yb＋(z－3)c，则x＝________，y＝________，z＝________.【答案】103【解析】因为a＝xa＋yb＋(z－3)c，由对应系数相等可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝0，,z－3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝0，,z＝3.))9.已知在四面体ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a－2c，eq\o(CD,\s\up6(→))＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则eq\o(EF,\s\up6(→))＝________.【答案】3a＋3b－5c【解析】取BC的中点G，连接EG，FG(图略)，则eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(GF,\s\up6(→))－eq\o(GE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(5a＋6b－8c)＋eq\f(1,2)(a－2c)＝3a＋3b－5c.10.如图，已知四棱锥PABCD的底面是平行四边形，M是PC的中点，问向量eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MD,\s\up6(→))是否可以组成一个基底，并说明理由.解：eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MD,\s\up6(→))不可以组成一个基底.理由如下：如图，连接AC，BD相交于点O，连接OM.因为ABCD是平行四边形，所以O是AC，BD的中点.在△BDM中，eq\o(MO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(MD,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))，在△PAC中，M是PC的中点，O是AC的中点，则eq\o(MO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up6(→))，即eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\o(MD,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))，即eq\o(PA,\s\up6(→))与eq\o(MD,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))共面.所以eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MD,\s\up6(→))不可以组成一个基底.B级——能力提升练11.(多选)(2023年青岛月考)已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\o(MA,\s\up6(→))，\o(MB,\s\up6(→))，\o(MC,\s\up6(→))))成为空间的一个基底的是 ()A.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OC,\s\up6(→))B.eq\o(MA,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))C.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))D.6eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))【答案】AC【解析】对于选项ACD，由eq\o(OM,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)，可得M，A，B，C四点共面，即eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面，所以选项A中，eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))不共面，可以构成基底，选项C中，eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))不共面，可以构成基底；选项D中，因为6eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))，所以eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))，可得M，A，B，C四点共面，即eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面，无法构成基底，故选项D错误；对于选项B，根据平面向量基本定理，因为eq\o(MA,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))，得eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面，无法构成基底，故选项B错误.故选AC.12.已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8，6，4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是 ()A.(12，14，10) B.(14，12，10)C.(10，12，14) D.(12，10，14)【答案】A【解析】设点A在基底{a，b，c}下对应的向量为p，则p＝8a＋6b＋4c＝8i＋8j＋6j＋6k＋4k＋4i＝12i＋14j＋10k，故点A在基底{i，j，k}下的坐标为(12，14，10).故选A.13.若{a，b，c}是空间向量的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z满足的条件是________.【答案】x＝y＝z＝0【解析】若x≠0，则a＝－eq\f(y,x)b－eq\f(z,x)c，即a与b，c共面.由{a，b，c}是空间向量的一个基底，知a，b，c不共面，故x＝0，同理y＝z＝0.14.已知正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若向量eq\o(AE,\s\up6(→))在以{eq\o(AA1,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))}为单位正交基底下的坐标为(1，x，y)，则x＝________，y＝________.【答案】eq\f(1,2)eq\f(1,2)【解析】eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(A1B1,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→)))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，故x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,2).15.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，E，F分别是AD1，BD的中点.(1)用向量a，b，c表示eq\o(D1B,\s\up6(→))，eq\o(E