湖南省长沙市2024年中考数学模拟考试试卷含答案

中考数学模拟考试试卷一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．图中比数轴上点表示的数大2的数是A． B．0 C．1 D．22．如图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（）A． B． C． D．3．党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五．将数据十亿四千万用科学记数法表示为A． B． C． D．4．已知某三角形的三边长分别为10，3，，则的值可以是A．1 B．5 C．7 D．95．已知一瓶牛奶的营养成分中碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共，根据成分表，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，设蛋白质、脂肪的含量分别为，，可列出方程为A． B．C． D．6．某地学校正评选学生最喜欢的风景胜地，校方进行问卷调查（每人选一个地点），并绘制成如图所示统计图．已知选择楠溪江的有240人，那么选择雁荡山的有A．90人 B．180人 C．270人 D．360人7．小红同学在一次作业中完成了以下作图步骤：①在和上分别截取，，使；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，连接，，如图所示．根据以上作图，一定可以推得的结论是A．且 B．且C．且 D．且8．某校计划组织研学活动，现有四个地点可供选择：岳麓山、梅溪湖、橘子洲、植物园．若从中随机选择两个地点，则选中“橘子洲”的概率为A． B． C． D．9．如图1所示为某景区游览路线及方向，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等．设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟，小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟；小州游路线①②⑧，他离入口的路程与时间的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟．则路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为A．4200米 B．4800米 C．5200米 D．5400米10．“割圆术”孕育了微积分思想，领先世界近千年．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为A． B．3 C． D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．分解因式：．12．如图，在菱形中，，则的长为．13．不等式组的解是。14．某学校欲招聘一名教师．对甲、乙、丙三名应聘者进行了基础知识、工作经验、语言表达等三方面的测试，他们的各项成绩如下表所示：项目应聘者综合知识工作经验语言表达甲758080乙857080丙707078如果将每位应聘者的综合知识、工作经验、语言表达的成绩按的比例计算其总成绩，并录用总成绩最高的应聘者，则被录用的是。15．若，且满足，则的值为．16．图1是方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为，现将它剪拼成一个“房子”造型（如图，过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形作为题字区域（点，，，在圆上，点，在上），形成一幅装饰画，则圆的半径为．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算：.18．先化简，再求值：，其中．19．如图，在的方格纸中，每个小方格的边长为1．已知格点，请按要求画格点三角形（顶点均在格点上）．（1）在图1中画一个等腰三角形，使底边长为，点在上，点在上，再画出该三角形绕矩形的中心旋转后的图形；（2）在图2中画一个，使，点在上，点在上，再画出该三角形向右平移1个单位后的图形．20．小明的父亲打算从该公司租一辆汽车外出旅游一天，已知某公司现有，，三种型号电动汽车出租，每辆车每天费用分别为300元、380元、500元．旅游的往返行程为，为了选择合适的型号，通过网络调查，获得三种型号汽车充满电后的里程数据如图所示．

（1）小明已经对，型号汽车数据统计如表，请继续求出型号汽车的平均里程m、中位数n和众数p；型号平均里程中位数众数Amnp216215220227.5227.5225（2）为了尽可能避免行程中充电耽误时间，又能经济实惠地用车，请你从相关统计量和符合行程要求的百分比等进行分析，给出合理的用车型号建议．21．如图，已知矩形ABCD，点在CB延长线上，点在BC延长线上，过点作交ED的延长线于点，连结AF交EH于点.（1）求证：.（2）当时，求EF的长.22．一次足球训练中，小明从球门正前方8m的处射门，球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m.已知球门高OB为2.44m，现以为原点建立如图所示直角坐标系.（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）。（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点正上方2.25m处?23．如图1，为半圆的直径，为延长线上一点，切半圆于点，，交延长线于点，交半圆于点，已知，．如图2，连结，为线段上一点，过点作的平行线分别交，于点，，过点作于点．设，

（1）求的长和关于的函数表达式；（2）当，且长度分别等于，，的三条线段组成的三角形与相似时，求的值；24．我们定义：点P在一次函数y＝ax+b上，点Q在反比例函数上，若存在P、Q两点关于y轴对称，我们称二次函数y＝ax2+bx+c为一次函数y＝a+b和反比例函数的“幸福函数”，点P称为“幸福点”．例如：点P（﹣1，﹣2）在y＝x﹣1上，点Q（1，﹣2）在上，P、Q两点关于y轴对称，此时二次函数y＝x2﹣x﹣2为一次函数y＝x﹣1和反比例函数的“幸福函数”，点P（﹣1，﹣2）是“幸福点”．（1）判断一次函数y＝x+2和反比例函数是否存在“幸福函数”，若存在，请求出“幸福点”坐标；若不是，请说明理由；（2）若一次函数y＝x﹣k+1与反比例函数只有一个“幸福点”，求其“向光函数”的解析式；（3）已知一次函数y＝ax+b与反比例函数有两个“幸福点”A、B（A在B左侧），其“幸福函数”y＝ax2+bx+c与x轴交于C、D两点（C在D左侧），若有以下条件：①a+b+c＝0②“幸福函数”经过点（﹣3，4）③a＞b＞0，记四边形ACBD的面积为S，求的取值范围．25．在图1中有Rt，，，是边上不与，重合的一个定点．于点，交于点．是由线段绕点顺时针旋转得到的，，的延长线相交于点．（1）求证：；（2）试求的正切值；（3）如图2，若是的中点，求证：．

答案1．【答案】C2．【答案】D3．【答案】C4．【答案】D5．【答案】A6．【答案】D7．【答案】A8．【答案】C9．【答案】B10．【答案】B11．【答案】12．【答案】1013．【答案】14．【答案】乙15．【答案】116．【答案】517．【答案】解：原式.18．【答案】解：原式．当时，原式．19．【答案】（1）解：（2）解：20．【答案】（1）解：由统计图可知：A型号汽车的平均里程为（km），即m=200km；将这20个数据按从小到大顺序排列，最中间的两个数据均为200km，

中位数n=200km；

这组数据中205km出现了6次，出现次数最多，

众数p为205km.（2）解：选择B型号汽车，理由如下：

A型号汽车的平均里程、中位数、众数都低于210km，故大部分A型号汽车不能达到行程要求，故不建议选择；

结合统计图可知，B型号汽车和C型号汽车的平均里程、中位数、众数都高于210km，且基本符合行程要求，但C型号汽车的费用较高，故不建议选择；

建议选择B型号汽车.

21．【答案】（1）证明：，

∴∠E=∠GFE，四边形ABCD是矩形，，，

∴BF=CE，

∴BF-BC=CE-BC，

即BE=CF；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD，∠DCB=90°，BC=AD=4，

∵FH⊥BF，

∴∠HFB=∠DCB=90°，

∴CD∥FH，

∴△DCE∽△HFE，

∴，∴.

设BE=CF=x，则CE=x+4，EF=2x+4，，

解得x=1，

∴EF=6.22．【答案】（1）解：由题意，得抛物线的顶点坐标为（2，3），

设抛物线为y=a（x-2）2+3，把点A（8，0）代入，

得36a+3=0，

解得，抛物线的函数表达式为，当x=0时，

∴球不能射进球门；（2）解：如图，设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为，把点（0，2.25）代入得，解得（舍去），，当时他应该带球向正后方移动1米射门.23．【答案】（1）解：如图连接OD，

CD切半圆O于点D，

OD⊥CE，

OA=，AC=1，

OD=OA=，OC=OA+AC=，BC=2OA+AC=4，

CD===2，

BE⊥CD，

OD∥BE，

，

即=，解得CE=；

BC=4，CE=，

由勾股定理可得BE=，

，

AB是半圆的直径，

AF⊥BE，

BE⊥CD，

AF∥CE，

FAB=ECB，

MN∥CB，

，四边形APMC是平行四边形，

CM=PA====，

，

=，

整理得y=-.

（2）解：MN=y，四边形APMC是平行四边形，即MP=AC=1，

PN=y-1=-x+4-1=-x+3，

由（1）可知三边之比为3：4：5，

，

可分三种情况讨论，

当PH：PN=3：4时，PN=PH，即，解得x=，

a=x，a=，即a=；

当PH：PN=4：5时，PN=PH，即，解得x=，

a=x，a=，即a=；

当PH：PN=3：5时，PN=PH，即，解得x=，

a=x，a=，即a=，

综上所述，a的值为或或.24．【答案】（1）解：一次函数y＝x+2和反比例函数存在“幸福函数”，理由如下：

设“幸福点”P的坐标为（m，n），

P、Q两点关于y轴对称，

点Q的坐标为（-m，n），

将点P、点Q的坐标分别代入y＝x+2和，

得n=m+2，，

整理得，

解得m1=1，m2=-3，

一次函数y＝x+2和反比例函数存在“幸福函数”，“幸福点”P的坐标为（1，3）或（-3，1）.（2）解：一次函数y＝x﹣k+1与反比例函数只有一个“幸福点”，

一次函数y＝x﹣k+1与反比例函数只有一个交点，

联立，

整理得，

一次函数y＝x﹣k+1与反比例函数只有一个交点，

，

解得：k1=-1，k2=7，

“幸福函数”的解析式为y=x2+2x+1或y=x2-6x+9.（3）解：一次函数y＝ax+b与反比例函数有两个“幸福点”A、B（A在B左侧），

A、B关于y轴对称的点A'、B'一定在y＝-ax+b上，

联立，

整理得，

其“幸福函数”y＝ax2+bx+c，

与“幸福函数”y＝ax2+bx+c关于y轴对称，

xA-xB=xA'-xB'，

“幸福函数”与x轴交于C、D两点（C在D左侧），且a+b+c=0，“幸福函数”经过点（-3，4），，

D（1，0），，

，

，

又，

，

解得，

又与“幸福函数”关于y轴对称，

，

，，

，，

，，

又D（1，0），

，，

S四边形，

，

，

，

，

，

的取值范围是：.25．【答案】（1）证明：DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的，

=90°，FD=CD，

=45°，

AB=AC，AO⊥BC，

BAO=BAC，

=90°，

=45°，

BAO=DFC，

EDA+ADM=90°，AMD+ADM=90°，

EDA=AMD，

△ADE∽△FMC.（2）解：设BC与DF的交点为I，如图，

由（1）易知DBI=CFI=45°，BID=FIC（对顶角相等），

△BID∽△FIC，

=，即=，

BIF=DIC，

△BIF∽△DIC，

IBF=IDC，

IDC=90°，

IBF=90°，

ABC=45°，

ABF=ABC+IBF