专题5.2 三角函数的概念（重点题型解题技巧）（解析版）2023-2024学年高一数学上学期重难点题型秒杀秘籍与满分必刷（人教A版2019必修第一册）

第第页专题5.2三角函数的概念（重点题型解题技巧）【题型1由终边上的点求三角函数值】【题型2由三角函数值求终边上的点或参数】【题型3同角三角函数已知条件求值问题】【题型4正余弦和差积问题】【题型5正余弦齐次式的计算】题型1由终边上的点求三角函数值此类题型操作步骤如下：第一步：画出符合要求的直角坐标系及射线定点第二步：利用勾股定理求出三边的数值第三步：利用三角函数的定义分别求解，正负判断标准①看上下，上为正、下为负②看左右，右为正、左为负③看对角线，一三为正、二四为负1．已知角α的终边过点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由任意角的三角函数的定义求解.【详解】由题意可知点到原点的距离，由任意角的三角函数的定义，，所以.故选：D2．已知角的终边经过点，则（

）A． B．7 C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用正切函数的定义列式计算作答.【详解】由角的终边经过点，得，解得，所以．故选：A3．已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据三角函数的定义求得正确答案.【详解】依题意，，所以．故选：D4．已知角的终边上有一点，若，则（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根据三角函数的定义即可求解.【详解】由题知，因为，所以点在第三象限，所以，，故选：BD.5．已知角θ的终边经过点，且θ与α的终边关于x轴对称，则【答案】－【分析】根据三角函数的定义计算即可.【详解】角θ的终边经过点；θ与α的终边关于x轴对称，由题意得α的终边经过点，.故答案为：6．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，将角的终边按逆时针方向旋转后经过点，则．【答案】1【分析】利用三角函数的定义计算即可.【详解】易知角的终边按逆时针方向旋转后得到，由题意可知的终边位于第二象限，且，故，所以，即.故答案为：17．若角的终边经过点，则的值是．【答案】【分析】分、两种情况讨论，结合三角函数的定义可求得的值.【详解】因为角的终边经过点，当时，由三角函数的定义可得，，此时，；当时，由三角函数的定义可得，，此时，.综上所述，.故答案为：.8．已知角的终边过点，则【答案】/0.75【分析】根据特殊角三角函数值可得，进而由三角函数的定义即可求解.【详解】由于，利用三角函数定义知，,故答案为：9．如图已知角的终边经过点，求的正弦、余弦和正切值．

【答案】，，．【分析】根据三角函数的定义即可求解.【详解】由题意可得，，则，所以，，．10．已知角的终边落在直线上，且，求，，的值．【答案】，，.【分析】根据给定条件，求出角α的终边上一个点的坐标，再利用三角函数定义求解即得.【详解】角的终边落在直线上，且，取角的终边上的点，则，所以，；.11．已知角的终边在直线上，求的值．【答案】或.【分析】根据三角函数的定义计算即可.【详解】由题意可设角的终边上任意一点，则由三角函数的定义有，当时，，当时，.故或.12．已知角的终边经过点，且，求和的值．【答案】或【分析】利用三角函数的定义可得出关于的等式，求出的值，再结合三角函数的定义可求得的值.【详解】解：因为角的终边经过点，且，解得.当时，；当时，.综上所述，或.13．已知角的终边过点，且，求及的值．【答案】，【分析】根据三角函数定义求解.【详解】由角的终边过点，可知，又，得．所以，.14．已知角β的终边经过点，则，．【答案】/【分析】根据三角函数的定义，计算即可得出答案.【详解】由已知可得，，根据三角函数的定义可得，，.故答案为：；.15．已知角α的终边经过点，则，．【答案】/【分析】根据三角函数的定义，计算即可得出答案.【详解】由已知可得，，根据三角函数的定义可得，，.故答案为：；.16．已知角的终边经过点，则，．【答案】【分析】根据三角函数定义即可得到答案.【详解】由已知得，所以.故答案为：；.题型2由三角函数值求终边上的点或参数此类题型操作步骤如下：第一步：利用三角函数的定义及正负判断标准①看上下，上为正、下为负②看左右，右为正、左为负③看对角线，一三为正、二四为负确定大体位置第二步：画出符合要求的直角坐标系及射线定点第三步：代入参数利用勾股定理求值1．已知是角的终边上一点，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角函数的定义求出的值，再根据三角函数的定义进行求值即可.【详解】由三角函数的定义知:，所以.故选：A.2．若角的终边上有一点，且，则（

）A．4 B． C．-1 D．【答案】C【分析】根据公式，即可得到本题答案.【详解】由已知，得，解得.因为，所以，则.故选：C3．已知角终边经过点，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据余弦函数的定义列式计算即可.【详解】因为角终边经过点，所以，所以，解得.故选：C4．角的终边上一点的坐标为，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】借助三角函数定义求出，然后利用定义可求答案.【详解】，解得：，所以.故选：A.5．已知角的顶点为原点，起始边为轴非负半轴，若点是角终边上一点，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三角函数的定义可得出关于的等式，即可解出的值.【详解】因为点是角终边上一点，且，由三角函数的定义可得，则，解得.故选：B.6．已知角的终边过点，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析出，利用三角函数的定义可得出关于的等式，解之即可.【详解】因为角的终边过点，且，则，且，解得.故选：C.7．若，且角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据三角函数的定义，列出方程，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，，根据三角函数的定义可得，所以，，且，所以，.故选：D．8．给出下列四个选项中，其中正确的选项有（

）A．若角的终边过点且，则B．若是第三象限角，则为第二象限或第四象限角C．若在单调递减，则D．设角为锐角（单位为弧度），则【答案】BD【分析】根据三角函数的定义、象限角、函数的单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，若角的终边过点，则，所以，所以A选项错误.B选项，若是第三象限角，即，则，所以为第二象限或第四象限角，B选项正确.C选项，依题意，，则且，函数的开口向上，对称轴为，则函数在上单调递减，要使在单调递减，根据复合函数单调性同增异减可知，且，解得，所以C选项错误.D选项，如下图所示，锐角的终边为射线，在单位圆上，，过作轴，垂足为，则的弧长为，由图可知，所以D选项正确.

故选：BD【点睛】由角的终边上的点求三角函数值，要注意三角函数的符号.象限角和轴线角不一样，解题过程中要特别注意.求解对数型复合函数的单调性问题，除了同增异减的利用外，还需要注意对数函数的定义域.9．已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存两点，且，则（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根据任意角的三角函数的定义列方程可求出的值，从而可求出角的其它三角函数值.【详解】因为角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存两点，且，所以，所以，由，可知，所以角为第二象限的角，所以，所以，所以A错误，B正确，所以，，所以CD正确，故选：BCD10．已知角的终边上一点，且，则.【答案】【分析】利用正弦函数的定义列出关于m的方程，解之即可求得m的值.【详解】由角的终边上一点，且，可得，解之得或（舍）故答案为：11．若角的终边经过点，且，则．【答案】【分析】根据三角函数的定义求解即可.【详解】因为角的终边经过点，所以，解得（舍去），所以.故答案为：.12．角的顶点在直角坐标系的原点，始边与x轴的正半轴重合，点是角终边上一点，若，则．【答案】【分析】根据角的终边上的点的坐标，结合三角函数的定义，列式计算，即得答案.【详解】由题意得点到原点O的距离为，故由得，解得，故答案为：13．设点是角终边上一点，且，求v的值．【答案】【分析】根据题意，利用三角函数的定义，列出方程，即可求解.【详解】解：由点是角终边上一点，且，根据三角函数的定义，可得，且解得.14．已知角的终边上一点且，求，．【答案】，【分析】先根据三角函数的定义求出，再根据三角函数的定义即可得解.【详解】由角的终边上一点且，得，解得，则，当时，，当时，，所以，．15．已知点角的终边上，且，求m，，．【答案】，，．【分析】根据三角函数定义求得，进而得出，．【详解】根据三角函数定义，解得，所以，．题型3同角三角函数已知条件求值问题同角三角函数的基本关系(1)平方关系：．(2)商数关系：；注意：正负判断标准①看上下，上为正、下为负②看左右，右为正、左为负③看对角线，一三为正、二四为负1．已知，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据同角三角函数的平方关系和商数关系即可得到答案.【详解】由题意得，则，故选：A.2．已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】应用平方关系求余弦值，注意角的范围确定值的符号.【详解】由题设.故选：A3．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将变形为，结合同角的三角函数关系化简为，即可求得答案.【详解】由题意知，则，故选：D4．已知，则（

）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】利用弦化切求解即可.【详解】由，得，所以.故选：B5．若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据同角三角函数的关系求解可得，即可.【详解】因为，故，即，即，因为，故，.故.故选：C6．已知第二象限角的终边过点，则（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】根据三角函数的定义求出，再根据同角三角函数的基本关系将弦化切，代入计算可得.【详解】因为角的终边过点，所以，所以.故选：A7．已知，则.【答案】【分析】利用弦化切求解即可.【详解】由，得，所以.故答案为：8．已知，则.【答案】/【分析】由，再将弦化切，最后代入计算可得.【详解】因为，所以.故答案为：9．若，那么．【答案】1【分析】弦化切即可.【详解】故答案为：110．（1）已知，求的值；（2）已知，求的值．【答案】（1）（2）0或．【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得；（2）由平方关系求出，从而求出，即可得到【详解】（1）由，所以；（2）由，，可得，即，则或，当时，，则；当时，，则；所以或．11．已知，求下列各式的值：(1)；(2).【答案】(1)(2)1【分析】（1）根据，分式同除可得.（2）根据先将转化为，再将分式同除可得.【详解】（1）（2）12．已知，计算：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）分子分母同时除以弦化切，然后代入可得；（2）利用平方关系式将目标式化为齐次式，然后弦化切可得.【详解】（1）因为，所以.（2）因为，所以13．已知，求和的值．【答案】答案见解析【分析】利用平方关系和商数关系即可得到答案.【详解】的终边在四个象限或轴上.（1）当的终边在第一或第二象限时，得.得.（2）当的终边在第三或第四象限时，得.得.（3）当的终边在轴上时，.14．解下列各题：(1)已知，且为第一象限角，求和的值．(2)已知，且为第三象限角，求和的值．(3)已知，且为第二象限角，求和的值．【答案】(1)，(2)，(3)，【分析】（1）（2）利用同角三角函数的平方关系与商数关系可求得所求值；（3）利用同角三角函数的平方关系与商数关系可得出关于、的方程组，结合角的终边位置可求得结果.【详解】（1）解：因为，且为第一象限角，则，且，.（2）解：因为，且为第三象限角，则，且，.（3）解：因为，且为第二象限角，则，，由同角三角函数的基本关系可得，解得，.15．已知，求：(1)；(2)．【答案】(1)3(2)【分析】利用齐次化将弦化为切求值.【详解】（1）因为，所以，所以.故.（2）.故.题型4正余弦和差积问题三角函数三剑客技巧总结三角函数称为《三剑客》，《三剑客》中《知一求二》理由如下：如果已知求必须会判断的正负判断如下： ①关于的符号判断当角的终边在区域2、3、4、5则有当角的终边在区域1、6、7、8则有当角的终边在直线上时，则有②关于的符号判断当角的终边在区域8、1、2、3则有当角的终边在区域4、5、6、7则有当角的终边在直线上时，则有③关于的符号判断当角的终边在区域1、2、5、6则有当角的终边在区域3、4、7、8则有当角的终边在轴上时，则有结论：④若则 Ⅰ当角在终边在区域1、2内时， Ⅱ当角在终边在区域3、8内时，Ⅲ当角在终边在区域4、7内时， Ⅳ当角在终边在区域5、6内时，⑤若则Ⅰ当角在终边在区域3、4内时， Ⅱ当角在终边在区域2、5内时，Ⅲ当角在终边在区域1、6内时， Ⅳ当角在终边在区域7、8内时，1．已知是三角形的内角，且，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用同角三角函数的平方关系及商数关系计算即可.【详解】因为是三角形的内角，所以，即，又，所以.故选：B2．已知，且则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由两边平方得到，进而得到，联立求出，得到答案.【详解】由，两边平方得，因为，所以，又，又因为，所以，，得，联立与，求得，故故选：C3．若，，则（

）A． B．2 C． D．3【答案】B【分析】根据给定条件，利用同角公式求出即可求解作答.【详解】由，，得，而，即，解得，因此，所以.故选：B4．已知是三角形的一个内角，用，那么这个三角形的形状为（

）A．锐角三角形 B．钝角三角形C．等边三角形 D．等腰三角形【答案】B【分析】两边平方后得到，由得到，进而得到三角形的形状为钝角三角形.【详解】两边平方得，即，因为是三角形的一个内角，所以，，故，所以，故这个三角形的形状为钝角三角形.故选：B5．已知，且，则的值为（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】利用同角三角函数之间的关系式可得，根据即可求得结果.【详解】将两边同时平方可得，，可得；又，所以；易知，可得；又,所以.故选：C6．已知，且，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】AB选项，两边平方得到，再结合得到，，得到AB正确；先求出的平方，结合角的范围求出的值.【详解】AB选项，两边平方得，，即，所以，B正确，因为，所以，故，所以，A正确；CD选项，，因为，，所以，故，C错误，D正确.故选：ABD7．若，，则．【答案】/【分析】对等式两边同时平方可得，可求得，进而求出，即可求出.【详解】由题意知，，等式两边同时平方，得，即，所以，又，所以，所以，由，解得，所以.故答案为：.8．已知是第四象限角，且满足，则．【答案】【分析】根据得到，利用三角函数的基本关系式，求得，进而求得，联立方程组，求得的值，即可求解.【详解】由是第四象限角，可得，则，因为，可得，可得，又由，因为，可得，联立方程组，可得，所以.故答案为：.9．若，则.【答案】【分析】由求出，再由立方差公式求解的值.【详解】，两边平方得，∴，则．故答案为：．10．已知，求．【答案】【分析】根据同角平方关系将式子平方可得，即可由完全平方公式求解.【详解】由平方可得，则又11．已知，求．【答案】【分析】根据同角关系平方即可求解.【详解】由平方可得，所以，12．已知，求的值．【答案】【分析】对已知等式两边平方化简，再结合可求得结果【详解】因为，两边平方，得，即．将代入上式，得．13．已知，是关于的一元二次方程的两根．(1)求的值；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用韦达定理以及同角三角函数的平方关系求解即可；（2）根据已知条件判断出，所以利用即可求解.【详解】（1）由已知得①，②，将①两边同时平方得，则，所以；（2）∵，，，∴，，∴，.14．已知，，求下列各式的值：(1)；(2)．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用同角关系式可得，然后结合条件即得；（2）根据同角关系式可得，进而即得.【详解】（1）∵，∴，又∵，∴，又，∴，，∵，∴；（2）∵，∴．15．已知，.(1)求的值(2)求【答案】(1)(2)【分析】（1）由可直接求得结果；（2）结合角的范围可确定的正负，结合（1）的结果可构造方程组求得，根据同角三角函数商数关系可求得结果.【详解】（1），.（2），，又，；由得：（舍）或，.题型5正余弦齐次式的计算与齐次式互换技巧总结形式如下：①形如的分式，可将分子分母同时除以得：②形如的分式，可将分子分母同时除以得：③形如的式子，可将其看成分母为1的分式即：可将分子分母同时除以即： ④形如求即可⑤形如转化为形式③形如1、已知已知，求（1）；（2）的值.解：（1）原式=；（2）原式形如2、已知计算的值.解：原式形如3、已知，求的值．解：由题意可得：.1．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将变形为，结合同角的三角函数关系化简为，即可求得答案.【详解】由题意知，则，故选：D2．已知，则（

）A．4 B． C． D．【答案】C【分析】根据条件，利用齐次式即可求出结果.【详解】因为，所以，故选：C.3．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】进行弦化切，代入求解.【详解】因为，所以.所以.故选：C.4．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用弦化切可求得所求代数式的值.【详解】因为，则.故选：B.5．若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分母为，利用平方关系式把代换，分子分母同时除以，并进行计算即可.【详解】由，又故正确.故选：.6．已知，则.【答案】【分析】利用弦化切求解即可.【详解】由，得，所以.故答案为：7．已知，则的值等于；【答案】4【分析