专题5.2 三角函数的概念(重点题型解题技巧)(解析版)2023-2024学年高一数学上学期重难点题型秒杀秘籍与满分必刷(人教A版2019必修第一册)_第1页
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第第页专题5.2三角函数的概念(重点题型解题技巧)【题型1由终边上的点求三角函数值】【题型2由三角函数值求终边上的点或参数】【题型3同角三角函数已知条件求值问题】【题型4正余弦和差积问题】【题型5正余弦齐次式的计算】题型1由终边上的点求三角函数值此类题型操作步骤如下:第一步:画出符合要求的直角坐标系及射线定点第二步:利用勾股定理求出三边的数值第三步:利用三角函数的定义分别求解,正负判断标准①看上下,上为正、下为负②看左右,右为正、左为负③看对角线,一三为正、二四为负1.已知角α的终边过点,则(

)A. B. C. D.【答案】D【分析】由任意角的三角函数的定义求解.【详解】由题意可知点到原点的距离,由任意角的三角函数的定义,,所以.故选:D2.已知角的终边经过点,则(

)A. B.7 C. D.【答案】A【分析】根据给定条件,利用正切函数的定义列式计算作答.【详解】由角的终边经过点,得,解得,所以.故选:A3.已知角的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边过点,则(

)A. B. C. D.【答案】D【分析】根据三角函数的定义求得正确答案.【详解】依题意,,所以.故选:D4.已知角的终边上有一点,若,则(

)A. B.C. D.【答案】BD【分析】根据三角函数的定义即可求解.【详解】由题知,因为,所以点在第三象限,所以,,故选:BD.5.已知角θ的终边经过点,且θ与α的终边关于x轴对称,则【答案】-【分析】根据三角函数的定义计算即可.【详解】角θ的终边经过点;θ与α的终边关于x轴对称,由题意得α的终边经过点,.故答案为:6.已知角的顶点在坐标原点,始边与轴的正半轴重合,将角的终边按逆时针方向旋转后经过点,则.【答案】1【分析】利用三角函数的定义计算即可.【详解】易知角的终边按逆时针方向旋转后得到,由题意可知的终边位于第二象限,且,故,所以,即.故答案为:17.若角的终边经过点,则的值是.【答案】【分析】分、两种情况讨论,结合三角函数的定义可求得的值.【详解】因为角的终边经过点,当时,由三角函数的定义可得,,此时,;当时,由三角函数的定义可得,,此时,.综上所述,.故答案为:.8.已知角的终边过点,则【答案】/0.75【分析】根据特殊角三角函数值可得,进而由三角函数的定义即可求解.【详解】由于,利用三角函数定义知,,故答案为:9.如图已知角的终边经过点,求的正弦、余弦和正切值.

【答案】,,.【分析】根据三角函数的定义即可求解.【详解】由题意可得,,则,所以,,.10.已知角的终边落在直线上,且,求,,的值.【答案】,,.【分析】根据给定条件,求出角α的终边上一个点的坐标,再利用三角函数定义求解即得.【详解】角的终边落在直线上,且,取角的终边上的点,则,所以,;.11.已知角的终边在直线上,求的值.【答案】或.【分析】根据三角函数的定义计算即可.【详解】由题意可设角的终边上任意一点,则由三角函数的定义有,当时,,当时,.故或.12.已知角的终边经过点,且,求和的值.【答案】或【分析】利用三角函数的定义可得出关于的等式,求出的值,再结合三角函数的定义可求得的值.【详解】解:因为角的终边经过点,且,解得.当时,;当时,.综上所述,或.13.已知角的终边过点,且,求及的值.【答案】,【分析】根据三角函数定义求解.【详解】由角的终边过点,可知,又,得.所以,.14.已知角β的终边经过点,则,.【答案】/【分析】根据三角函数的定义,计算即可得出答案.【详解】由已知可得,,根据三角函数的定义可得,,.故答案为:;.15.已知角α的终边经过点,则,.【答案】/【分析】根据三角函数的定义,计算即可得出答案.【详解】由已知可得,,根据三角函数的定义可得,,.故答案为:;.16.已知角的终边经过点,则,.【答案】【分析】根据三角函数定义即可得到答案.【详解】由已知得,所以.故答案为:;.题型2由三角函数值求终边上的点或参数此类题型操作步骤如下:第一步:利用三角函数的定义及正负判断标准①看上下,上为正、下为负②看左右,右为正、左为负③看对角线,一三为正、二四为负确定大体位置第二步:画出符合要求的直角坐标系及射线定点第三步:代入参数利用勾股定理求值1.已知是角的终边上一点,,则(

)A. B. C. D.【答案】A【分析】根据三角函数的定义求出的值,再根据三角函数的定义进行求值即可.【详解】由三角函数的定义知:,所以.故选:A.2.若角的终边上有一点,且,则(

)A.4 B. C.-1 D.【答案】C【分析】根据公式,即可得到本题答案.【详解】由已知,得,解得.因为,所以,则.故选:C3.已知角终边经过点,且,则的值为(

)A. B. C. D.【答案】C【分析】根据余弦函数的定义列式计算即可.【详解】因为角终边经过点,所以,所以,解得.故选:C4.角的终边上一点的坐标为,且,则(

)A. B. C. D.【答案】A【分析】借助三角函数定义求出,然后利用定义可求答案.【详解】,解得:,所以.故选:A.5.已知角的顶点为原点,起始边为轴非负半轴,若点是角终边上一点,且,则(

)A. B. C. D.【答案】B【分析】利用三角函数的定义可得出关于的等式,即可解出的值.【详解】因为点是角终边上一点,且,由三角函数的定义可得,则,解得.故选:B.6.已知角的终边过点,且,则的值为(

)A. B. C. D.【答案】C【分析】分析出,利用三角函数的定义可得出关于的等式,解之即可.【详解】因为角的终边过点,且,则,且,解得.故选:C.7.若,且角的终边经过点,则(

)A. B. C. D.【答案】D【分析】根据三角函数的定义,列出方程,求解即可得出答案.【详解】由已知可得,,根据三角函数的定义可得,所以,,且,所以,.故选:D.8.给出下列四个选项中,其中正确的选项有(

)A.若角的终边过点且,则B.若是第三象限角,则为第二象限或第四象限角C.若在单调递减,则D.设角为锐角(单位为弧度),则【答案】BD【分析】根据三角函数的定义、象限角、函数的单调性等知识对选项进行分析,从而确定正确答案.【详解】A选项,若角的终边过点,则,所以,所以A选项错误.B选项,若是第三象限角,即,则,所以为第二象限或第四象限角,B选项正确.C选项,依题意,,则且,函数的开口向上,对称轴为,则函数在上单调递减,要使在单调递减,根据复合函数单调性同增异减可知,且,解得,所以C选项错误.D选项,如下图所示,锐角的终边为射线,在单位圆上,,过作轴,垂足为,则的弧长为,由图可知,所以D选项正确.

故选:BD【点睛】由角的终边上的点求三角函数值,要注意三角函数的符号.象限角和轴线角不一样,解题过程中要特别注意.求解对数型复合函数的单调性问题,除了同增异减的利用外,还需要注意对数函数的定义域.9.已知角的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上存两点,且,则(

)A. B.C. D.【答案】BCD【分析】根据任意角的三角函数的定义列方程可求出的值,从而可求出角的其它三角函数值.【详解】因为角的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上存两点,且,所以,所以,由,可知,所以角为第二象限的角,所以,所以,所以A错误,B正确,所以,,所以CD正确,故选:BCD10.已知角的终边上一点,且,则.【答案】【分析】利用正弦函数的定义列出关于m的方程,解之即可求得m的值.【详解】由角的终边上一点,且,可得,解之得或(舍)故答案为:11.若角的终边经过点,且,则.【答案】【分析】根据三角函数的定义求解即可.【详解】因为角的终边经过点,所以,解得(舍去),所以.故答案为:.12.角的顶点在直角坐标系的原点,始边与x轴的正半轴重合,点是角终边上一点,若,则.【答案】【分析】根据角的终边上的点的坐标,结合三角函数的定义,列式计算,即得答案.【详解】由题意得点到原点O的距离为,故由得,解得,故答案为:13.设点是角终边上一点,且,求v的值.【答案】【分析】根据题意,利用三角函数的定义,列出方程,即可求解.【详解】解:由点是角终边上一点,且,根据三角函数的定义,可得,且解得.14.已知角的终边上一点且,求,.【答案】,【分析】先根据三角函数的定义求出,再根据三角函数的定义即可得解.【详解】由角的终边上一点且,得,解得,则,当时,,当时,,所以,.15.已知点角的终边上,且,求m,,.【答案】,,.【分析】根据三角函数定义求得,进而得出,.【详解】根据三角函数定义,解得,所以,.题型3同角三角函数已知条件求值问题同角三角函数的基本关系(1)平方关系:.(2)商数关系:;注意:正负判断标准①看上下,上为正、下为负②看左右,右为正、左为负③看对角线,一三为正、二四为负1.已知,且,则的值为(

)A. B. C. D.【答案】A【分析】根据同角三角函数的平方关系和商数关系即可得到答案.【详解】由题意得,则,故选:A.2.已知,且,则(

)A. B. C. D.【答案】A【分析】应用平方关系求余弦值,注意角的范围确定值的符号.【详解】由题设.故选:A3.已知,则(

)A. B. C. D.【答案】D【分析】将变形为,结合同角的三角函数关系化简为,即可求得答案.【详解】由题意知,则,故选:D4.已知,则(

)A.3 B. C. D.【答案】B【分析】利用弦化切求解即可.【详解】由,得,所以.故选:B5.若,则(

)A. B. C. D.【答案】C【分析】根据同角三角函数的关系求解可得,即可.【详解】因为,故,即,即,因为,故,.故.故选:C6.已知第二象限角的终边过点,则(

)A. B. C. D.1【答案】A【分析】根据三角函数的定义求出,再根据同角三角函数的基本关系将弦化切,代入计算可得.【详解】因为角的终边过点,所以,所以.故选:A7.已知,则.【答案】【分析】利用弦化切求解即可.【详解】由,得,所以.故答案为:8.已知,则.【答案】/【分析】由,再将弦化切,最后代入计算可得.【详解】因为,所以.故答案为:9.若,那么.【答案】1【分析】弦化切即可.【详解】故答案为:110.(1)已知,求的值;(2)已知,求的值.【答案】(1)(2)0或.【分析】(1)利用同角三角函数的基本关系将弦化切,再代入计算可得;(2)由平方关系求出,从而求出,即可得到【详解】(1)由,所以;(2)由,,可得,即,则或,当时,,则;当时,,则;所以或.11.已知,求下列各式的值:(1);(2).【答案】(1)(2)1【分析】(1)根据,分式同除可得.(2)根据先将转化为,再将分式同除可得.【详解】(1)(2)12.已知,计算:(1);(2)【答案】(1)(2)【分析】(1)分子分母同时除以弦化切,然后代入可得;(2)利用平方关系式将目标式化为齐次式,然后弦化切可得.【详解】(1)因为,所以.(2)因为,所以13.已知,求和的值.【答案】答案见解析【分析】利用平方关系和商数关系即可得到答案.【详解】的终边在四个象限或轴上.(1)当的终边在第一或第二象限时,得.得.(2)当的终边在第三或第四象限时,得.得.(3)当的终边在轴上时,.14.解下列各题:(1)已知,且为第一象限角,求和的值.(2)已知,且为第三象限角,求和的值.(3)已知,且为第二象限角,求和的值.【答案】(1),(2),(3),【分析】(1)(2)利用同角三角函数的平方关系与商数关系可求得所求值;(3)利用同角三角函数的平方关系与商数关系可得出关于、的方程组,结合角的终边位置可求得结果.【详解】(1)解:因为,且为第一象限角,则,且,.(2)解:因为,且为第三象限角,则,且,.(3)解:因为,且为第二象限角,则,,由同角三角函数的基本关系可得,解得,.15.已知,求:(1);(2).【答案】(1)3(2)【分析】利用齐次化将弦化为切求值.【详解】(1)因为,所以,所以.故.(2).故.题型4正余弦和差积问题三角函数三剑客技巧总结三角函数称为《三剑客》,《三剑客》中《知一求二》理由如下:如果已知求必须会判断的正负判断如下: ①关于的符号判断当角的终边在区域2、3、4、5则有当角的终边在区域1、6、7、8则有当角的终边在直线上时,则有②关于的符号判断当角的终边在区域8、1、2、3则有当角的终边在区域4、5、6、7则有当角的终边在直线上时,则有③关于的符号判断当角的终边在区域1、2、5、6则有当角的终边在区域3、4、7、8则有当角的终边在轴上时,则有结论:④若则 Ⅰ当角在终边在区域1、2内时, Ⅱ当角在终边在区域3、8内时,Ⅲ当角在终边在区域4、7内时, Ⅳ当角在终边在区域5、6内时,⑤若则Ⅰ当角在终边在区域3、4内时, Ⅱ当角在终边在区域2、5内时,Ⅲ当角在终边在区域1、6内时, Ⅳ当角在终边在区域7、8内时,1.已知是三角形的内角,且,则的值是(

)A. B. C. D.【答案】B【分析】利用同角三角函数的平方关系及商数关系计算即可.【详解】因为是三角形的内角,所以,即,又,所以.故选:B2.已知,且则的值为(

)A. B. C. D.【答案】C【分析】由两边平方得到,进而得到,联立求出,得到答案.【详解】由,两边平方得,因为,所以,又,又因为,所以,,得,联立与,求得,故故选:C3.若,,则(

)A. B.2 C. D.3【答案】B【分析】根据给定条件,利用同角公式求出即可求解作答.【详解】由,,得,而,即,解得,因此,所以.故选:B4.已知是三角形的一个内角,用,那么这个三角形的形状为(

)A.锐角三角形 B.钝角三角形C.等边三角形 D.等腰三角形【答案】B【分析】两边平方后得到,由得到,进而得到三角形的形状为钝角三角形.【详解】两边平方得,即,因为是三角形的一个内角,所以,,故,所以,故这个三角形的形状为钝角三角形.故选:B5.已知,且,则的值为(

)A. B. C. D.或【答案】C【分析】利用同角三角函数之间的关系式可得,根据即可求得结果.【详解】将两边同时平方可得,,可得;又,所以;易知,可得;又,所以.故选:C6.已知,且,则(

)A. B.C. D.【答案】ABD【分析】AB选项,两边平方得到,再结合得到,,得到AB正确;先求出的平方,结合角的范围求出的值.【详解】AB选项,两边平方得,,即,所以,B正确,因为,所以,故,所以,A正确;CD选项,,因为,,所以,故,C错误,D正确.故选:ABD7.若,,则.【答案】/【分析】对等式两边同时平方可得,可求得,进而求出,即可求出.【详解】由题意知,,等式两边同时平方,得,即,所以,又,所以,所以,由,解得,所以.故答案为:.8.已知是第四象限角,且满足,则.【答案】【分析】根据得到,利用三角函数的基本关系式,求得,进而求得,联立方程组,求得的值,即可求解.【详解】由是第四象限角,可得,则,因为,可得,可得,又由,因为,可得,联立方程组,可得,所以.故答案为:.9.若,则.【答案】【分析】由求出,再由立方差公式求解的值.【详解】,两边平方得,∴,则.故答案为:.10.已知,求.【答案】【分析】根据同角平方关系将式子平方可得,即可由完全平方公式求解.【详解】由平方可得,则又11.已知,求.【答案】【分析】根据同角关系平方即可求解.【详解】由平方可得,所以,12.已知,求的值.【答案】【分析】对已知等式两边平方化简,再结合可求得结果【详解】因为,两边平方,得,即.将代入上式,得.13.已知,是关于的一元二次方程的两根.(1)求的值;(2)若,求的值.【答案】(1)(2)【分析】(1)利用韦达定理以及同角三角函数的平方关系求解即可;(2)根据已知条件判断出,所以利用即可求解.【详解】(1)由已知得①,②,将①两边同时平方得,则,所以;(2)∵,,,∴,,∴,.14.已知,,求下列各式的值:(1);(2).【答案】(1);(2).【分析】(1)利用同角关系式可得,然后结合条件即得;(2)根据同角关系式可得,进而即得.【详解】(1)∵,∴,又∵,∴,又,∴,,∵,∴;(2)∵,∴.15.已知,.(1)求的值(2)求【答案】(1)(2)【分析】(1)由可直接求得结果;(2)结合角的范围可确定的正负,结合(1)的结果可构造方程组求得,根据同角三角函数商数关系可求得结果.【详解】(1),.(2),,又,;由得:(舍)或,.题型5正余弦齐次式的计算与齐次式互换技巧总结形式如下:①形如的分式,可将分子分母同时除以得:②形如的分式,可将分子分母同时除以得:③形如的式子,可将其看成分母为1的分式即:可将分子分母同时除以即: ④形如求即可⑤形如转化为形式③形如1、已知已知,求(1);(2)的值.解:(1)原式=;(2)原式形如2、已知计算的值.解:原式形如3、已知,求的值.解:由题意可得:.1.已知,则(

)A. B. C. D.【答案】D【分析】将变形为,结合同角的三角函数关系化简为,即可求得答案.【详解】由题意知,则,故选:D2.已知,则(

)A.4 B. C. D.【答案】C【分析】根据条件,利用齐次式即可求出结果.【详解】因为,所以,故选:C.3.已知,则(

)A. B. C. D.【答案】C【分析】进行弦化切,代入求解.【详解】因为,所以.所以.故选:C.4.已知,则(

)A. B. C. D.【答案】B【分析】利用弦化切可求得所求代数式的值.【详解】因为,则.故选:B.5.若,则(

)A. B. C. D.【答案】D【分析】分母为,利用平方关系式把代换,分子分母同时除以,并进行计算即可.【详解】由,又故正确.故选:.6.已知,则.【答案】【分析】利用弦化切求解即可.【详解】由,得,所以.故答案为:7.已知,则的值等于;【答案】4【分析

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