新教材2024版高中数学第四章指数函数与对数函数4.3对数4.3.1对数的概念课件新人教A版必修第一册

第四章指数函数与对数函数4.3对数4.3.1对数的概念学习目标素养要求1．理解对数的概念和运算性质数学抽象逻辑推理2．掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程数学运算|自学导引|对数的定义1．定义如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数______叫做以______为底______的对数，记作____________．其中_____叫做对数的底数，_____叫做真数．x

a

N

x＝logaN

a

N

2．常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记作______；以无理数e＝2.71828…为底的对数称为自然对数，并且把logeN记为________．lgN

lnN

在对数概念中，为什么规定a＞0，且a≠1呢？【提示】(1)若a＜0，则N取某些数值时，logaN不存在，因此规定a不能小于0．(2)若a＝0，则当N≠0时，logaN不存在，当N＝0时，则logaN有无数个值，与对数定义不符，因此规定a≠0．(3)若a＝1，当N≠1时，则logaN不存在，当N＝1时，则logaN有无数个值，与对数定义不符，因此规定a≠1．【预习自测】对数与指数的关系及性质1．对数与指数的关系当a＞0，且a≠1时，ax＝N⇔__________．前者叫指数式，后者叫对数式．x＝logaN2．对数的性质性质1______和____没有对数性质21的对数是____，即loga1＝____(a＞0，且a≠1)性质3底数的对数是____，即logaa＝____(a＞0，且a≠1)负数零0

0

1

1

为什么零与负数没有对数？【提示】因为x＝logaN(a＞0，且a≠1)⇔ax＝N(a＞0，且a≠1)，而当a＞0，且a≠1时，ax恒大于0，即N＞0，故0和负数没有对数．【预习自测】|课堂互动|题型1对数的定义

(1)在对数式y＝log(x－2)(4－x)中，则实数x的取值范围是________．(2)将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：①54＝625；

②log216＝4；【答案】(1)(2，3)∪(3，4)指数式与对数式互化的思路(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．题型2利用指数式与对数式的互化求变量的值

(1)求下列各式的值：①log981＝________；②log0.41＝________；③lne2＝________．(2)求下列各式中x的值：③lg100＝x；④－lne2＝x．【答案】(1)①2

②0

③2【解析】(1)①设log981＝x，所以9x＝81＝92，故x＝2，即log981＝2；②设log0.41＝x，所以0.4x＝1＝0.40，故x＝0，即log0.41＝0；③设lne2＝x，所以ex＝e2，故x＝2，即lne2＝2．对数式中求值的基本思想和方法(1)基本思想．在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解．(2)基本方法．①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题．②利用幂的运算性质和指数的性质计算．题型3利用对数的性质及对数恒等式求值方向1利用对数的性质求值

(1)计算log3[log3(log28)]＝________．(2)若log2[log4(log3x)]＝0，则x＝________．【答案】(1)0

(2)81【解析】(1)令log28＝x，则2x＝8，所以x＝3．所以log3[log3(log28)]＝log3(log33)＝log31＝0．(2)因为log2[log4(log3x)]＝0，可得log4(log3x)＝1，所以log3x＝4，所以x＝34＝81．关于对数性质的应用(1)熟记性质：loga1＝0；logaa＝1．(2)两个顺序：若最里层值是已知的，则从里向外求值；若最外层值是已知的，则从外向里求值．方向2利用对数恒等式求值

计算下列各式：(1)2lne＋lg1＋3log32；(2)3log34－log32．对数恒等式alogaN＝N的应用(1)能直接应用对数恒等式的直接应用即可．(2)对于不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解．3．(1)设3log3(2x＋1)＝27，则x＝________．(2)若logπ(log3(lnx))＝0，则x＝________．【答案】(1)13

(2)e3【解析】(1)3log3(2x＋1)＝2x＋1＝27，解得x＝13．(2)由logπ(log3(lnx))＝0可知log3(lnx)＝1，所以lnx＝3，解得x＝e3．|素养达成|1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N⇔logaN＝b(a＞0，且a≠1，N＞0)．据此可得两个常用恒等式：(1)logaab＝b；(2)alogaN＝N．2．在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算(体现了数学运算核心素养)．3．指数式与对数式的互化1．(题型1)有下列说法：①只有正数有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③log525＝±2；④3log3(－5)＝－5成立．其中正确的个数为 (

)A．0

B．1C．2

D．3【答案】B【解析】(1)正确；(2)(3)(4)不正确．【答案】D3．(题型1)(2023年宝应月考)若对数ln(x2－5x＋6)存在，则x的取值范围为________．【答案】(－∞，2)∪(3，＋∞)【解析】∵对数ln(x2－5x＋6)存在，∴x2－5x＋6