专题22.14二次函数图象与系数的关系拔高专练（重难点培优）-【拔尖特训】2023-2024学年九年级数学上册尖子生培优必刷题（解析版）【人教版】

【拔尖特训】2023-2024学年九年级数学上册尖子生培优必刷题（人教版）专题22.14二次函数图象与系数的关系拔高专练（重难点培优）班级：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事项：本试卷满分100分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021秋•安徽期末）如图，二次函数y＝a（x+1）2+k的图象与x轴交于A（﹣3，0），B两点，下列说法错误的是（）A．a＜0 B．当x＜0时，y随x的增大而增大 C．图象的对称轴为直线x＝﹣1 D．点B的坐标为（1，0）【答案】B【分析】由函数图象可以直接判断A；对称轴为x＝﹣1，当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，可以判断B和C；由对称轴x＝1和A点坐标，可以求出B点坐标，可以判断D．【解答】解：A、观察图象可知a＜0，故A不符合题意；B、观察图象可知，当x＜0时，y随x的增大先增大后减小，故B选项符合题意；C、由y＝a（x+1）2+k可知抛物线的对称轴为x＝﹣1，故C选项不符合题意；D、∵抛物线的对称轴x＝﹣1，∵与x轴交于A（﹣3，0），A，B关于x＝﹣1对称，∴B（1，0），故选项D不符合题意．故选：B．【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点等知识，解题的关键对二次函数图象和性质的掌握与运用，属于中考常考题型．2．（2023•襄阳模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．下列结论：①ac＞0；②当x＞0时，y随x的增大而增大；③3a+c＝0；④b＝2a．其中正确的是（）A．④ B．③ C．② D．①【答案】B【分析】由图象可知：a＜0，c＞0，抛物线的对称轴为x＝1，再由抛物线过（﹣1，0）可知a﹣b+c＝0．【解答】解：①由图象可知：a＜0，c＞0，∴ac＜0，故①不符合题意．②由题意可知：抛物线的对称轴为x＝1，∴x＜1时，y随x的增大而增大，故②不符合题意．③∵-b2a∴b＝﹣2a，∵抛物线过（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∴3a+c＝0，故③符合题意．④∵-b2a∴b＝﹣2a，故④不符合题意．故选：B．【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．3．（2023•碑林区校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（）A．c＞﹣1 B．9a+c＞3b C．2a+b≠0 D．b＞0【答案】B【分析】根据抛物线与y轴的交点，可得c＜﹣1，当x＝﹣3时，y＞0；对称轴在y轴的右侧，可得出b＜0，从而可得出答案．【解答】解：由图象得，抛物线与y轴的交点，可得c＜﹣1，故A错误；当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＞0，即9a+c＞3b，故B正确；∵对称轴为直线x=-2+42=1由对称轴在y轴的右侧，a与b异号，∴b＜0，故D错误；故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=-b2a；抛物线与y轴的交点坐标；当b2﹣4ac＞04．（2023•韩城市二模）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b、c为常数，且a≠0）的图象如图所示，其对称轴为直线x＝1，则下列关系式错误的是（）A．abc＜0 B．2a+b＝0 C．4a+2b+c＜0 D．b2﹣4ac＞0【答案】C【分析】首先根据二次函数图象的开口方向判断a＞0，根据对称轴判断b＜0，根据二次函数图象与y轴交点的位置判断c＞0，据此可对选项A进行判断，根据对称轴为直线x＝1可对选项B进行判断；令x＝2得y＝4a+2b+c，此时无法判断点（2，4a+2b+c）位置，据此可对选项C进行判断；根据二次函数图象与x轴有两个交点可对选项D进行判断．【解答】解：∵二次函数的开口向上，∴a＞0，∵对称轴为x＝1，∴--b∴b＝﹣2a＜0，∵二次函数与y轴的交点在正半轴上，∴c＞0，∴abc＜0，故选项A正确；∵b＝﹣2a，∴2a+b＝0，故选项B正确；对于y＝ax2+bx+c，令x＝2时，y＝4a+2b+c，∵二次函数的对称轴为x＝1，且开口向上，∴点（2，4a+2b+c）或在x轴的下方，或在x轴上，或在x轴的上方，∴无法判断4a+2b+c的符号，故选项C不正确；∵二次函数与x轴有两个交点，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，故选项D正确．故选：C．【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数之间的关系，解答此题的关键是熟练掌握二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点坐标．5．（2023•东阿县二模）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x＝﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④3a+c＝0；其中说法正确的是（）A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④【答案】C【分析】根据抛物线开口方向得到a＞0，根据抛物线的对称轴得b＝2a＞0，则2a﹣b＝0，则可对②进行判断；根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，则abc＜0，于是可对①进行判断；由于x＝﹣2时，y＜0，则得到4a﹣2b+c＜0，则可对③进行判断；把x＝﹣1代入函数解析式，结合对称轴方程对④进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向上，则a＞0．∵抛物线对称轴为直线x=-b∴b＝2a＞0，则2a﹣b＝0．故②正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＜0．故①正确；∵x＝2时，y＞0，∴4a+2b+c＞0．故③错误；根据抛物线的对称性知，当x＝1时，y＝0，∴a+b+c＝0，∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0．故④正确．综上所述，正确的结论是①②④．故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）．抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．6．（2023•武进区校级模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，抛物线与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示．有下列结论：①4a﹣b＝0；②c＜0；③﹣3a+c＞0；④4a﹣2b≥at2+bt（t为实数）；⑤若(-92，y1)，(-52，y​A．①②③④ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①②④【答案】A【分析】根据抛物线的对称轴可对结论①进行判断；根据抛物线与x轴的两个交点坐标的位置可判断出抛物线与y轴交点的位置，进而可对结论②进行判断；根据抛物线与x轴的两个交点坐标的位置可判断出点（1，a﹣b+c）的位置，进而可对结论③进行判断；根据抛物线的对称轴可求出顶点坐标为（﹣2，4a﹣2b+c），由此可判定y＝4a﹣2b+c为抛物线的最大值，据此可对结论④进行判定；根据抛物线的开口向下，且对称轴为直线x＝﹣2可知：在抛物线上离对称轴水平距离越小，函数的值就越大，据此可对结论⑤进行判断，进而可得出答案．【解答】解：①∵抛物线的对称轴为x＝﹣2，∴-b∴4a﹣b＝0，故结论①正确；②∵抛物线的开口向下，顶点在第二象限，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间，∴抛物线与y轴的交点在负半轴上，∴c＜0，故结论②正确；③对于y＝ax2+bx+c，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c，∵抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间，顶点在第三象限，开口向下，∴点（1，a﹣b+c）在第二象限，∴a﹣b+c＞0，由①4a﹣b＝0，∴b＝4a，∴a﹣4a+c＞0，即：﹣3a+c＞0，故结论③正确；④对于y＝ax2+bx+c，当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c，当x＝t（t为实数）时，y＝at2+bt+c，∵抛物线的对称轴为x＝﹣2，∴点（﹣2，4a﹣2b+c）为抛物线的顶点，又∵抛物线的开口向下，∴y＝4a﹣2b+c为抛物线的最大值，∴4a﹣2b+c≥at2+bt+c，即：4a﹣2b≥at2+bt，故结论④正确；⑤∵抛物线的开口向下，且对称轴为直线x＝﹣2，观察函数的图象可知：在抛物线上离对称轴水平距离越小，函数的值就越大，∴y1＞y2＞y3，故结论⑤不正确．综上所述：正确的结论是①②③④．故选：A．【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数之间的关系，解答此题的关键是熟练掌握二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点坐标．7．（2023春•青秀区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①abc＜0；②a﹣b+c＜0；③m为任意实数，则a+b＞am2+bm；④3a+c＜0；⑤若ax12+bx1=ax22+bx2且xA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧，∴a＜0，c＞0，-b∴b＞0，∴abc＜0，故①正确；②∵对称轴是直线x＝1，与x轴交点在（3，0）左边，∴二次函数与x轴的另一个交点在（﹣1，0）与（0，0）之间，∴a﹣b+c＜0，故②正确；③∵对称轴是直线x＝1，图象开口向下，∴x＝1时，函数最大值是a+b+c；∴m为任意实数，则a+b+c≥am2+bm+c，∴a+b≥am2+bm，故③错误；④∵-b∴b＝﹣2a由②得a﹣b+c＜0，∴3a+c＜0，故④正确；⑤∵ax∴ax∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，∵x1≠x2，∴a（x1+x2）+b＝0，∵x1+x2=-b∴x1+x2＝2，故⑤错误；故正确的有3个，故选：C．【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及掌握二次函数与方程之间的转换是解题关键．8．（2022秋•华容区期末）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）的顶点坐标为（1，m），其中m＞0．下列四个结论：①ab＜0；②c＞0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝m+1无实数解；④点P1（n，y1），P2（3﹣2n，y2）在抛物线上，若n＜1，则y1＜y2，能确定其正确的有（）个A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据抛物线的对称性，增减性，函数的性质计算判断即可．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）的顶点坐标为（1，m），其中m＞0．∴-b∴b＞0，∴ab＜0；故①正确；∴x＝1时，函数有最大值m，∵m+1＞m，∴直线y＝m+1与抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）无交点，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝m+1无实数解，故③正确；∵m＞0，∴4ac-b∴4ac﹣b2＜0即b2﹣4ac＞0，∴4a2﹣4ac＞0，∴a﹣c＜0，∴c＜0且|c|＜|a|或c＞0，故②错误；∵点P1（n，y1），P2（3﹣2n，y2）在抛物线上，且抛物线的对称轴为x＝1，∴P1（n，y1）到对称轴的距离为|n﹣1|，P2（3﹣2n，y2）到对称轴的距离为|3﹣2n﹣1|＝2|n﹣1|，当n＜1时，2|n﹣1|＞|n﹣1|，∵抛物线开口向下，∴y1＞y2故④错误，故选：B．【点评】本题考查了抛物线的抛物线的对称性，增减性，函数的性质，抛物线与方程的交点，熟练掌握抛物线的性质和与方程的关系是解题的关键．9．（2023•五华县一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0），且a+b+c=-12，a-b+c=-32．判断下列结论：①abc＜0；②2a+2b+c＜0；③抛物线与x轴正半轴必有一个交点；④当2≤x≤A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】由题意易知b=12，c＝﹣1﹣a，则有c＜0，进而可判定①②；当x＝1时，则y＝a+b+c=-12，当x＝﹣1时，则有y＝a﹣b+c=-32，然后可判定③；由题意可知抛物线的对称轴为直线x=-b2a=-14a【解答】解：∵a+b+c=-12，a﹣b+∴两式相减得b=12，两式相加得c＝﹣1﹣∴c＜0，∵a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，故①正确；∴2a+2b+c＝2a+2×12-1﹣a＝a＞0∵当x＝1时，则y＝a+b+c=-12，当x＝﹣1时，则有y＝a﹣b+∴当y＝0时，则方程ax2+bx+c＝0的两个根一个小于﹣1，一个根大于1，∴抛物线与x轴正半轴必有一个交点，故③正确；由题意知抛物线的对称轴为直线x=-b∴当2≤x≤3时，y随x的增大而增大，∴当x＝2时，有最小值，即为y＝4a+2b+c＝4a+1﹣1﹣a＝3a，故④正确；∴正确的个数有3个．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的最值，二次函数与x轴的交点情况，二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的性质等知识点，综合性较强，需灵活运用二次函数的以上相关知识点．10．（2022秋•南关区校级期末）如图，抛物线y＝（x﹣h）2+k的顶点在△AOB的边OA所在的直线上运动，点A的坐标为（2，1），点B的坐标为（0，3），若抛物线与△AOB的边AB、OA都有公共点，则h的取值范围是（）A．﹣2≤h≤32 B．0≤h≤2 C．-12≤h≤2 D．﹣【答案】C【分析】求得直线OA为y=-12x，然后由抛物线的顶点在直线y=-12x可求得k=-12h，于是可得到抛物线的解析式为y＝（x﹣h）2-12h，由图形可知当抛物线经过点A和点O时抛物线与菱形的边AB【解答】解：∵点A的坐标为（2，1），点B的坐标为（0，3），∴直线OA为y=12∵抛物线y＝（x﹣h）2+k的顶点为（h，k），∴k=12∴抛物线的解析式为y＝（x﹣h）2+12当抛物线经过点O时．将（0，0）代入y＝（x﹣h）2+12h．得：h2+12h＝0，解得：h1＝0，当抛物线经过点A时，将A（2，1）代入y＝（x﹣h）2+12h得：（2﹣h）2+12h＝1，整理得：2h2﹣7h+6＝0，解得：h1＝2，综上所述，h的范围是-12≤h故选：C．【点评】本题主要考查了二次函数的图象和系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，通过平移抛物线探究出抛物线与菱形的边AB、OA均有交点时抛物线经过的“临界点”为点A和点O是解题解题的关键．二．填空题（共6小题）11．（2023•普陀区一模）已知二次函数y＝（a﹣1）x2+3x﹣1的图象有最高点，那么a的取值范围是a＜1．【答案】a＜1．【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：由题意可知：a﹣1＜0，∴a＜1，故答案为：a＜1．【点评】本题考查二次函数图象与系数关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．12．（2022秋•岱岳区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①ac＞0；②b＜0；③b2﹣4ac＞0；④9a+3b+c＜0．其中，正确结论的是②③④．（只填序号）【答案】见试题解答内容【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①∵该抛物线的开口方向向上，∴a＞0；∵该抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴ac＜0；故本选项错误；②根据图象知，对称轴x=-b∴b＝﹣2a＜0，即b＜0；故本选项正确；③由图象可知，该抛物线与x轴有两个不同的交点，∴b2﹣4ac＞0；故本选项正确；④根据抛物线的对称轴方程可知：（﹣1，0）关于对称轴的对称点是（3，0）；当x＝﹣1时，y＜0，所以当x＝3时，也有y＜0，即9a+3b+c＜0；故本选项正确；综上所述，正确的说法是：②③④．故答案为：②③④．【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．13．（2023春•肇东市期末）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴为x＝1，下列结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③4a+2b+c＜0；④若(-32，y1)，(103，y2【答案】①②④．【分析】①由抛物线的开口方向、对称轴及与y轴交点的位置，可得出a＜0、b＞0、c＞0，进而即可得出abc＜0，结论①错误；②由抛物线的对称轴为直线x＝1，可得出2a+b＝0，结论②正确；③由抛物线的对称性结合当x＝0时y＞0，可得出当x＝2时y＞0，进而可得出4a+2b+c＞0，结论③错误；④找出两点离对称轴的距离，比较后结合函数图象可得出y1＜y2，结论④正确．综上即可得出结论．【解答】解：①∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，与y轴交于正半轴，∴a＜0，-b2a=1，c∴b＝﹣2a＞0，∴abc＜0，结论①正确；②抛物线对称轴为直线x＝1，∴-b2a∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0，结论②正确；③∵抛物线的对称轴为直线x＝1，当x＝0时y＞0，∴当x＝2时y＞0，∴4a+2b+c＞0，结论③错误；④1﹣（-32）=52=∵抛物线的对称轴为直线x＝1，156∴y1＜y2，结论④正确．综上所述：正确的结论有②①④．故答案为：①②④．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．14．（2023•蜀山区校级模拟）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1（a≠0）．（1）当a=-12时，将该抛物线向右平移3个单位，得到的关系式为y=-12x2（2）当﹣2＜x＜﹣1时，该抛物线与直线y＝x+3有交点，则a的取值范围为14＜a＜1【答案】（1）y=-12x2+4x（2）14＜a＜【分析】（1）先将a=-（2）先计算抛物线的对称轴是：x＝1，分a＞0和a＜0两种情况列不等式组可解答．【解答】解：（1）当a=-12时，抛物线y=-12x2+x﹣1=-1将该抛物线向右平移3个单位，得到的关系式为：y=-12（x﹣1﹣3）2-12=-12（x﹣4）2（2）∵y＝ax2﹣2ax﹣1＝a（x﹣1）2﹣a﹣1，∴抛物线的对称轴是：直线x＝1，y＝x+3中，当x＝﹣1时，y＝2，当x＝﹣2时，y＝1，分两种情况：①当a＞0时，∵当﹣2＜x＜﹣1时，该抛物线与直线y＝x+3有交点，∴当x＝﹣1时，y＜2，当x＝﹣2时，y＞1，∴a+2a-解得：14＜a＜②当a＜0时，∵当﹣2＜x＜﹣1时，该抛物线与直线y＝x+3有交点，∴当x＝﹣1时，y＞2，当x＝﹣2时，y＜1，∴a+2a-无解；综上所述，则a的取值范围为：14＜a＜故答案为：14＜a＜【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．15．（2022秋•清原县期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，并与x轴交于A，B两点．若OA＝5OB，则下列结论中：①abc＞0；②（a+c）2﹣b2＝0；③9a+4c＜0；④若m为任意实数，则am2+bm+2b≥4a，正确的是②③④．【答案】②③④．【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点可得a，b，c的符号及a与b的关系，从而判断①，由OA＝5OB及对称轴可得点B坐标，从而判断②③，由x＝﹣2时y取最小值可判断④．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴为直线x=-∴b＝4a＞0，∵抛物线与y轴交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＜0，①错误．设抛物线对称轴与y轴交点为E（﹣2，0），则OE＝2，∵OA＝5OB，∴OE＝2OB，即点B坐标为（1，0），∴x＝1时，y＝a+b+c＝0，∴（a+c）2﹣b2＝（a+c+b）（a﹣b+c）＝0，②正确．抛物线对称轴为直线x=-∴b＝4a，∵a+b+c＝0，∴5a+c＝0，∴c＝﹣5a，∴9a+4c＝﹣11a＜0，③正确．∵x＝﹣2时y取最小值，∴am2+bm+c≥4a﹣2b+c，即am2+bm+2b≥4a，④正确．故答案为：②③④．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．16．（2023春•仓山区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y＝ax2+bx+c…tm﹣2﹣2n…当x=-12时，与其对应的函数值y＞0．有下列结论：①abc＞0；②﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根；③0＜m+n＜203．则所有正确结论的序号为【答案】①．【分析】利用待定系数法将点（0，﹣2），（1，﹣2）代入解析式求出c＝﹣2，a+b＝0，再结合二次函数图象与已知信息当x=-12时，y＞0得出a＞0，进而判断①结论；根据二次函数对称轴x=-b2a由二次函数的轴对称性进而判断②结论；利用待定系数法将点（﹣1，m），（2，n）代入解析式得出m+n＝4（a﹣【解答】解：当x＝0时，y＝c＝﹣2，当x＝1时，y＝a+b+c＝﹣2，∴a+b＝0，抛物线对称轴为直线x=0+1∵当x=-12时，其对应的函数值y∴在对称轴左侧，y随x增大而减小，∴二次函数开口向上，∴a＞0，b＜0．∴abc＞0．①结论符合题意；∵x＝﹣2时，y＝t，∴﹣2是关于x的方程ax2+bx+c＝t的根．∵对称轴为直线x=1∴﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根．故②错误；∵b＝﹣a，c＝﹣2，∴二次函数解析式：y＝ax2﹣ax﹣2，∵当x=-12时，与其对应的函数值y∴34∴a＞∵当x＝﹣1和x＝2时的函数值分别为m和n，∴m＝n＝2a﹣2，∴m+n=4a-4＞故答案为：①．【点评】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程等知识点，要会利用数形结合的思想，根据给定自变量x与函数值y的值结合二次函数的性质逐条分析给定的结论是关键．三．解答题（共7小题）17．（2022秋•淮滨县月考）已知抛物线L：y＝（m﹣2）x2+x﹣2m（m是常数且m≠2）．（1）若抛物线L有最低点，求m的取值范围；（2）若抛物线L与抛物线y＝x2的形状相同，开口方向相反，求m的值．【答案】（1）m＞2；（2）1．【分析】（1）根据抛物线L有最高点，则a＜0，于是得到结论；（2）根据题意列方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵抛物线L有最低点，∴二次项的系数a大于0．即m﹣2＞0．∴m＞2．（2）∵抛物线L与抛物线y＝x2的形状相同，开口方向相反，∴二次项的系数a互为相反数，即m﹣2＝﹣1．∴m＝1．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，正确的理解题意是解题的关键．18．（2023•玄武区一模）已知函数y＝x2+2mx+m﹣1（m为常数）．（1）若该函数图象与y轴的交点在x轴上方，求m的取值范围；（2）求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点．【答案】（1）m＞1．（2）证明见解题过程．【分析】（1）用m表示函数与y轴交点纵坐标，判断取值范围；（2）令y＝0，将二次函数转化为方程，利用一元二次方程根的判别式证明．【解答】（1）解：当x＝0时，y＝m﹣1．若该函数图象与y轴的交点在x轴上方，则有m﹣1＞0；即m＞1．（2）证明：根据二次函数与一元二次方程的关系，函数y＝x2+2mx+m﹣1与x轴有两个公共点相当于一元二次方程x2+2mx+m﹣1＝0有两个不相等实数根；此方程中Δ=(2m)∴不论m取何值，一元二次方程x2+2mx+m﹣1＝0总有两个不等实根．即：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点．【点评】本题考查二次函数图象与字母系数之间的关系及二次函数与一元二次方程的关系；19．（2022•牡丹江二模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A（1，0），B（﹣2，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）连接AC，M是AC中点，连接OM，则线段OM的长度是172注：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=-b2a，顶点坐标是（-【答案】（1）抛物线解析式为y＝2x2+2x﹣4，顶点D(-（2）172【分析】（1）利用待定系数法求解析式，再利用顶点坐标公式求顶点坐标；（2）根据解析式求C的坐标，再根据中点坐标公式求M的坐标，根据勾股定理求OM．【解答】解：（1）把A（1，0），B（﹣2，0）代入y＝ax2+bx﹣4，得a+b-4=04a-2b-4=0∴抛物线解析式为y＝2x2+2x﹣4，顶点D(-（2）∵抛物线解析式为y＝2x2+2x﹣4，∴当x＝0时，y＝﹣4，∴C的坐标为（0，﹣4），∴M的坐标为（12，﹣2∴OM=(故答案为：172【点评】本题考查了二次函数解析式的求法，顶点坐标公式，中点坐标公式，勾股定理等，关键是熟练应用这些公式．20．（2023春•西城区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2tx+t2﹣t﹣2．（1）求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）；（2）将抛物线在y轴右侧的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到图形G，点P（a，b）在图形G上．①当t＝2时，求b的取值范围；②若b的取值范围为全体实数，直接写出符合题意的t的取值范围．【答案】（1）抛物线的顶点坐标为（t，﹣t﹣2）；（2）①b的取值范围为全体实数；②t＞1-5【分析】（1）将抛物线的解析式转化为顶点式即可得出结果；（2）①求出t＝2时的函数解析式，数形结合求出b的取值范围即可；②分抛物线的对称轴在y轴上，y轴左侧，y轴右侧，分情况进行讨论求解即可．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2tx+t2﹣t﹣2＝（x﹣t）2﹣t﹣2，∴抛物线的顶点坐标为（t，﹣t﹣2）；（2）①当t＝2时，二次函数解析式是y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，∴对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣4），将抛物线在y轴右侧的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，∴图形G如图1所示：∵点P（a，b）在图形G上，由图象可知，b的取值范围为全体实数；②当对称轴为y轴或对称轴在y轴右侧时，即：t≥0，一定满足b的取值范围为全体实数，当对称轴在y轴左侧，且顶点纵坐标等于抛物线在y轴右侧的部分沿x轴翻折后与y轴的交点的坐标时，满足b的取值范围为全体实数，即：t＜解得：t＝1-5或t＝1+当对称轴在y轴左侧，且顶点纵坐标小于抛物线在y轴右侧的部分沿x轴翻折后与y轴的交点的坐标时，满足b的取值范围为全体实数，即：1-5＜t＜∴综上：当t＞1-5时，b∴t的范围为：t＞1-5【点评】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，运用数形结合思想．21．（2023•灵宝市二模）在平面直角坐标系xOy中，有一抛物线的表达式为y＝﹣x2+2nx﹣n2．（1）当该抛物线过原点时，求n的值；（2）坐标系内有一矩形OABC，其中A（4，0），B（4，﹣3）．①直接写出C点坐标；②如果抛物线y＝﹣x2+2nx﹣n2与该矩形的边有2个交点，求n的取值范围．【答案】（1）n＝0；（2）①（0，﹣3）②-3＜n≤0【分析】（1）把（0，0）代入y＝﹣x2+2nx﹣n2得﹣n2＝0，即可得到n的值；（2）①由四边形OABC是矩形得到OA∥BC，OC∥AB，由A（4，0），B（4，﹣3）即可得到点C的坐标；②由y＝﹣x2+2nx﹣n2＝﹣（x﹣n）2得到抛物线开口向下，顶点在x轴上，顶点坐标为（n，0），分情况讨论和数形结合即可得到答案．【解答】解：（1）把（0，0）代入y＝﹣x2+2nx﹣n2得﹣n2＝0，解得n＝0；（2）①∵四边形OABC是矩形，∴OA∥BC，OC∥AB，∵A（4，0），B（4，﹣3）．∴C点坐标为（0，﹣3）；②∵y＝﹣x2+2nx﹣n2＝﹣（x﹣n）2，∴抛物线开口向下，顶点在x轴上，顶点坐标为（n，0），当对称轴右半部分的抛物线经过点C时，抛物线与矩形OABC的边恰有1个交点，此时﹣（0﹣n）2＝﹣3，解得n1=-3当抛物线经过原点时，抛物线与矩形OABC的边恰有2个交点，此时n3＝0，∴当-3＜n≤0时，抛物线与矩形的边OABC当抛物线过点A时，抛物线与矩形的边OABC恰有2个交点，此时﹣（4﹣n）2＝0，解得n4＝4，当对称轴左侧的抛物线经过点B时，抛物线与矩形OABC的边恰有1个交点，此时﹣（4﹣n）2＝﹣3，解得n5=4-3∴当4≤n＜4+3综上所述，抛物线y＝x2﹣2nx+n2与该矩形的边有2个交点时n的取值范围为-3＜n≤0【点评】此题是二次函数和几何综合题，考查了二次函数的图象和性质、矩形性质，数形结合和准确计算是解题的关键．22．（2023•西城区校级三模）已知关于x的二次函数y＝x2﹣2mx﹣3．（1）当抛物线过点（2，﹣