新教材2024版高中数学第二章直线和圆的方程2.5直线与圆圆与圆的位置关系2.5.1直线与圆的位置关系课件新人教A版选择性必修第一册

第二章直线和圆的方程2.5直线与圆、圆与圆的位置关系2.5.1直线与圆的位置关系学习目标素养要求1.结合教材实例了解直线与圆的位置关系数学抽象2.会解决关于直线与圆的位置关系的问题数学运算3.会解决直线与圆相切、弦长等相关的问题，能利用直线与圆的位置关系解决简单的应用性问题数学运算、直观想象4.能用直线和圆的方程解决一些简单的实际问题数学建模、数学运算|自学导引|直线Ax＋By＋C＝0和圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断1．几何法判定依据圆心到直线的距离d与圆半径r进行大小比较判定结论d＞r____________d＝r____________d＜r____________相离相切相交2．代数法判定依据将直线方程代入圆的方程，消元得关于x(或y)的一元二次方程的判别式Δ判定结论Δ＞0____________Δ＝0____________Δ＜0____________相交相切相离1．思维辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)过圆外一点可作两条圆的切线． (

)(2)如果一条直线被圆截得的弦长最长，则此直线过圆心．(

)(3)过半径外端的直线与圆相切． (

)(4)若C为圆O内一点，则过点C的直线与圆O相交． (

)【答案】(1)√

(2)√

(3)×

(4)√【预习自测】【解析】(1)过圆外一点可作两条圆的切线．(2)直线被圆截，所得最长弦为直径．(3)过半径外端与半径垂直的直线与圆相切．(4)过圆内一点的直线一定与圆相交，此说法正确．2．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是 (

)A．相切 B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心 D．相离【答案】B

3．已知直线x＝a(a＞0)和圆(x－1)2＋y2＝4相切，那么a的值是 (

)A．5

B．4

C．3

D．2【答案】C

【解析】因为|a－1|＝2，又因为a＞0，所以a＝3．【答案】4

坐标法解决平面几何问题的“三步曲”第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论【预习自测】1．一辆卡车宽1.6m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过 (

)A．1.4m

B．3.5m

C．3.6m

D．2.0m【答案】B2．设村庄外围所在曲线的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路所在直线方程可用x－y＋2＝0表示，则从村庄外围到小路的最短距离为________.|课堂互动|题型1直线与圆的位置关系的判断当m为何值时，直线mx－y－1＝0与圆x2＋y2－4x＝0相交、相切、相离？直线与圆的位置关系的判定有两种方法(1)代数法：通过直线方程与圆的方程所组成的方程组，根据解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即Δ＞0，则相交；若有两组相同的实数解，即Δ＝0，则相切；若无实数解，即Δ＜0，则相离．(2)几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断．当d＜r时，直线与圆相交；当d＝r时，直线与圆相切；当d＞r时，直线与圆相离．提醒：利用几何法来判定直线与圆的位置关系时，一定要明确圆心的坐标．1．判断下列直线与圆的位置关系，若有公共点，求出公共点的坐标．(1)直线：x＋y＝0，圆：x2＋y2＋2x＋4y－4＝0；(2)直线：y＝x＋5，圆：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0；(3)直线：x＋y＝3，圆：x2＋y2－4x＋2y＋4＝0．题型2直线与圆相切的有关问题过点M(2,4)向圆(x－1)2＋(y＋3)2＝1引切线，求其切线的方程．解：由于(2－1)2＋(4＋3)2＝50＞1，故点M在圆外．当切线斜率存在时，设切线方程是y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0．【例题迁移1】(改变问法)若本例中的条件不变，如何求其切线长？【例题迁移2】(变换条件)若将本例中的点M的坐标改为(1，－2)，其他条件不变，又如何求其切线的方程？解：由于(1－1)2＋(－2＋3)2＝1，故点M在圆上．由已知圆心坐标为C(1，－3)，此时直线MC的斜率不存在，故切线的斜率为0，所以切线的方程为y＝－2．(2)点(x0，y0)在圆外．①设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，即可求得切线方程．②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况．③过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解．提醒：已知一点求圆的切线方程时，切勿漏掉斜率不存在的情况．2．过点A(4，－3)作圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线的方程．解：因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17＞1，所以点A在圆外．(1)若所求切线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y＋3＝k(x－4)．【答案】(x－2)2＋(y＋1)2＝4

探究2已知直线和圆的方程求弦长过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为________．解：由题意可知，若直线与圆相交，斜率须存在，设直线l的斜率为k，则方程可表示为y＋2＝k(x＋1)．又因为圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为(1,1)，题型4直线与圆的方程的实际应用

党的二十大报告提出要加快建设交通强国．我国已建成总长接近赤道长度的隧道(约4万千米).这些隧道样式多种多样，它们或傍山而过，上方构筑顶棚形成“明洞”，或挂于峭壁，每隔一段开出“天窗”形成挂壁公路，更多时候它们都隐伏于山体之中，只露出窄窄的出入口洞门．佛山某学生学过圆的知识后受此启发，为山体隧道设计了一个圆弧形洞门样式，如图所示，路宽AB为16米，洞门最高处距路面4米．(1)建立适当的平面直角坐标系，求圆弧AB的方程．(2)为使双向行驶的车辆更加安全，该同学进一步优化了设计方案，在路中间建立了2米宽的隔墙．某货车装满货物后整体呈长方体状，宽2米，高3.6米，则此货车能否通过该洞门？并说明理由．解：(1)以点D为坐标原点，AB，DC所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，(2)此火车不能通过该洞口，由题意可知，隔墙在y轴右侧1米，车宽2米，车高3.6米，所以货车右侧的最高点的坐标为(3，3.6)，因为32＋(3.6＋6)2>100，因此，该货车不能通过该洞口．利用直线与圆的方程解决实际问题的步骤(1)认真审题，明确题意．(2)建立平面直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，从而在实际问题中建立直线与圆的方程的模型．(3)利用直线与圆的方程的有关知识求解问题；④把代数结果还原为对实际问题的解释．4．如图，某海面上有O，A，B三个小岛(面积大小忽略不计)，A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛40千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处，以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O，A，B三点．(1)求圆C的标准方程；(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东60°行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？锦囊妙计活用隐圆的定义妙解压轴题【思维导读】(1)与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．(2)直线与圆的综合问题主要包括弦长问题，切线问题及组成图形面积问题，解决方法主要依据圆的几何性质．命题意图：考查圆的定义及直线与圆的位置关系．知识依托：到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆．点A，B为两定点，动点P满足|PA|＝λ|PB|.则λ＝1时，动点P的轨迹为直线；当λ＞0且λ≠1时，动点P的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆．1．直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的．2．求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上，然后设出切线方程．注意：斜率不存在的情形．3．(1)求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算．(2)过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．|素养达成|(2)求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程：几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，切线方程即可求出．并注意检验当k不存在时，直线x＝x0是否为圆的切线．代数法：设切线方程y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0求得k，切线方程即可求出．并注意检验当k不存在时，直线x＝x0是否为圆的切线．

(2)代数法：①联立直线方程和圆的方程，解方程组得A，B点坐标，再由两点间的距离公式求弦长|AB|；②设直线l的方程为y＝kx＋b，联立直线l的方程和圆的方程，消去一个未知数得一个一元二次方程，利用根与系数的关系求解．1．(题型1)直线l：x－y＝1与圆C：x2＋y2－4x＝0的位置关系是 (

)A．相离 B．相切C．相交 D．无法确定【答案】C

2．(题型2)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b＝

(

)A．－2或12 B．2或－12C．－2或－12 D．2或