北京市重点中学2023-2024学年高三上学期期末模拟考试数学试题

北京市重点中学2023-2024学年度第一学期期末模拟测试高三年级数学学科（考试时长：120分钟）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。设全集U=−2,−1,0,1,2,3，集合B=x∣x2−4x+3=0，则A．{1,3} B．{0,3} C．{−2,0}D．{−2,1}2．复数z=3+2i1−i，在复平面内z的共轭复数A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．已知向量，若，则实数（

）A．5 B．4 C．3 D．24．已知，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．5．在锐角△ABC中，“”是“不是最小内角”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件6．风筝又称为“纸鸢”，由中国古代劳动人民发明于距今2000多年的东周春秋时期，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源.如图，是某高一年上级学生制作的一个风筝模型的多面体为的中点，四边形为矩形，且，当时，多面体的体积为（

）A． B． C．D．7．已知双曲线的离心率为，双曲线C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（

）A． B． C． D．8．设函数，若时，的最小值为.则下列选项正确的是（

）A．函数的周期为B．将函数的图像向左平移个单位，得到的函数为奇函数C．当，的值域为D．方程在区间上的根的个数共有6个9．北宋著名文学家苏轼的诗词“日啖荔枝三百颗，不辞长作岭南人”，描述的是我国岭南地区著名的水果荔枝.为了利用数学模型预测估计某果园的荔枝产量，现根据在果实成熟期，荔枝的日产量呈现“先递增后递减”的规律和该果园的历史观测数据，对该果园的荔枝日产量给出模型假设：前10天的每日产量可以看作是前一日产量的2倍还多1个单位；第11到15天，日产量与前日持平；从第16天起，日产量刚好是前一天的一半，直到第25天，若第1天的日产量为1个单位，请问该果园在不计损耗的情况下，估计这25天一共可以收获荔枝单位个数为（精确到整数位，参考数据：）（

）A．8173 B．9195 C．7150 D．715110．拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数fx在闭区间a,b上的图象连续不间断，在开区间内的导数为f'x，那么在区间a,b内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数fx=x−1lnA．0 B．1 C．2 D．3二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．已知点A1,5在抛物线C：y2=2px上，则A到12．若的展开式的奇数项的二项式系数和为16，则展开式中的系数为.13．若圆（a>0,b>0）被直线平分，则的最小值为．14．已知定义在x∈Rx≠0上的函数具备下列性质，①fx是偶函数，②fx在上单调递增，③对任意非零实数、都有，写出符合条件的函数的一个解析式（写一个即可）.15．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，M为DD1的中点，N为ABCD所在平面上一动点，N1为A1B1C1D1所在平面上一动点，且NN1⊥平面ABCD，则下列命题正确的是______________=1\*GB3①若MN与平面ABCD所成的角为π4，则点N的轨迹为圆=2\*GB3②若三棱柱NAD﹣N1A1D1的表面积为定值，则点N的轨迹为椭圆=3\*GB3③若点N到直线BB1与直线DC的距离相等，则点N的轨迹为抛物线=4\*GB3④若D1N与AB所成的角为，则点N的轨迹为双曲线三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．在中，，，点在边上，，．（1）求；（2）求的面积．17．如图在几何体中，底面为菱形，.(1)判断是否平行于平面，并证明；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求：（i）平面与平面所成角的大小；（ii）求点到平面的距离.条件①：面面条件②：条件③：注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.18．为了解某地区居民每户月均用电情况，采用随机抽样的方式，从该地区随机调查了100户居民，获得了他们每户月均用电量的数据，发现每户月均用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），得到如下频率分布直方图：

(1)记频率分布直方图中从左到右的分组依次为第1组，第2组，…，第6组.从第5组，第6组中任取2户居民，求他们月均用电量都不低于的概率；(2)从该地区居民中随机抽取3户，设月均用电量在之间的用户数为，以频率估计概率，求的分布列和数学期望；(3)该地区为提倡节约用电，拟以每户月均用电量为依据，给该地区月均用电量不少于的居民用户每户发出一份节约用电倡议书，且发放倡议书的数量为该地区居民用户数的2%.请根据此次调查的数据，估计w应定为多少合适？（只需写出结论）.19．已知椭圆的离心率是，点在上．(1)求的方程；(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．20．设函数fx(1)若曲线y=f(x)在点0,f0处的切线斜率为1，求实数的值；(2)求的单调区间；(3)若a=1，k为整数，且当时，x−  kf'x