2024届新教材二轮复习 函数的性质 学案

核心考点3函数的性质核心知识·精归纳1.函数的奇偶性(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有：f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)．(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数)．2.函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法．复合函数的单调性牢记“同增异减”．3.奇函数在其图象关于原点对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在其图象关于原点对称的单调区间内有相反的单调性，即“奇同偶反”．4.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．(3)常见结论：若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；若f(x＋a)＝eq\f(1,fx)，则T＝2a；若f(x＋a)＝－eq\f(1,fx)，则T＝2a.5.函数的对称性(1)①若函数y＝f(x)关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)；②若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数关于点(a,0)对称．(2)两个函数图象的对称①函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于y轴对称；②函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于x轴对称；③函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称．(3)对称性的3个常用结论①若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．②若对于R的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．③若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称．多维题组·明技法角度1：函数的单调性与最值1.(2023·池州期中)当s≥0时，函数y＝seq\r(1－s)的最大值为(A)A．eq\f(2\r(3),9) B．eq\f(4,27)C．0 D．1【解析】由题意，0≤s≤1，则y＝seq\r(1－s)＝eq\r(s21－s)，令g(s)＝s2(1－s)，则g′(s)＝2s(1－s)－s2＝－3s2＋2s＝－s(3s－2)，则当s∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))时，g′(s)>0，g(s)单调递增，当s∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))时，g′(s)<0，g(s)单调递减，∴g(s)max＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝eq\f(4,27)，得函数y＝seq\r(1－s)的最大值为eq\f(2\r(3),9).故选A．2.(2023·河西区校级模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在(0，＋∞)是增函数，记a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up10(\f(1,3))))，b＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(7,2)))，c＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(logeq\s\do10(\f(1,3))5))，则a，b，c的大小关系为(A)A．c>b>a B．a>b>cC．b>a>c D．c>a>b【解析】根据题意，f(x)是定义在R上的偶函数，则c＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(logeq\s\do10(\f(1,3))5))＝f(log35)，又由0<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up10(\f(1,3))<1<log3eq\f(7,2)<log35，而f(x)在(0，＋∞)是增函数，故c>b>a.故选A．3.(2023·古冶区校级模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－1，x>a，,|x－a－1|，x≤a，))若f(x)的最小值为1，则a的取值范围是(B)A．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，＋∞)) B．[eq\r(2)，＋∞)C．[2eq\r(2)，＋∞) D．[4eq\r(2)，＋∞)【解析】由x≤a，则x－a－1≤－1，仅当x＝a时等号成立，所以|x－a－1|＝a＋1－x≥1，在(－∞，a]上递减，且最小值为1，对于y＝x2－1在(a，＋∞)上，当a<0时ymin＝－1；当a≥0时y>a2－1，无最小值；显然，a<0时f(x)的最小值不为1，不符合题意；所以a≥0，此时必有a2－1≥1，可得a≥eq\r(2).故选B．角度2：函数的奇偶性与周期性4.(2023·沙坪坝区校级模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，且f(x－1)是偶函数，当1≤x≤3时，f(x)＝2x＋eq\f(1,4)，则f(log240)＝(C)A．eq\f(5,2) B．eq\f(9,4)C．eq\f(11,4) D．3【解析】根据题意，由f(x－1)是偶函数，函数图象关于x＝0对称，故f(x)的图象关于x＝－1对称，f(－2＋x)＝f(－x)，由f(1－x)＝f(1＋x)可得f(x)关于x＝1对称，f(2＋x)＝f(－x)，则f(－2＋x)＝f(2＋x)，所以f(x)＝f(x＋4)，函数f(x)周期为4.因为5<log240<6，则有1<－4＋log240<2，当1≤x≤3时，f(x)＝2x＋eq\f(1,4)，则f(log240)＝2－4＋log240＋eq\f(1,4)＝eq\f(40,16)＋eq\f(1,4)＝eq\f(11,4).故选C．5.(2023·洛阳模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，f(－x－1)＝f(－x＋1)，当x∈(0,1)时，f(x)＝4x－3，则f(log480)＝(D)A．eq\f(1,5) B．－eq\f(4,5)C．1 D．－eq\f(1,5)【解析】∵定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，∴函数f(x)为奇函数．∵f(－x－1)＝f(－x＋1)，∴－f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋1)＝f(x－1)，即f(x＋2)＝f(x)，故函数f(x)是周期为2的周期函数．log480＝log4(16×5)＝2＋log45.∵当x∈(0,1)时，f(x)＝4x－3，∴f(log480)＝f(log45＋2)＝f(log45－2)＝－f(2－log45)＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log4\f(16,5)))＝－eq\f(16,5)＋3＝－eq\f(1,5).故选D．角度3：函数基本性质的综合6.(2023·林芝市二模)已知定义在R上的函数f(x)在(－∞，2]上单调递减，且f(x＋2)为偶函数，则不等式f(x－1)>f(2x)的解集为(D)A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(5,3)))∪(6，＋∞)B．(－∞，－1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，＋∞))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)，1))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(5,3)))【解析】∵函数f(x＋2)为偶函数，∴f(－x＋2)＝f(x＋2)，即f(2－x)＝f(2＋x)，∴函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，又∵函数f(x)定义域为R，在区间(－∞，2]上单调递减，∴函数f(x)在区间(2，＋∞)上单调递增，∴由f(x－1)>f(2x)得，|(x－1)－2|>|2x－2|，解得x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(5,3))).故选D．7.(2023·九江三模)已知定义在R上的函数f(x)在[0,1]上单调递增，f(x＋1)是奇函数，f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，则f(x)(C)A．在[2020,2022]上单调递减B．在[2021,2023]上单调递增C．在[2022,2024]上单调递减D．在[2023,2025]上单调递增【解析】∵f(x＋1)是奇函数，∴f(x＋1)＝－f(－x＋1)，即f(x)的图象关于点(1,0)对称，又∵f(x)在[0,1]上单调递增，∴f(x)在[1,2]上单调递增，即f(x)在[0,2]上单调递增．由f(x＋1)＝－f(－x＋1)，可得f(2－x)＝－f(x)，由f(x－1)图象关于直线x＝1对称可知f(x)为偶函数，∴f(x)在[2,4]上单调递减，∴f(2－x)＝f(x－2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是周期函数，最小正周期为4，∵2022＝4×505＋2,2024＝4×505＋4，∴f(x)在[2022,2024]上的单调性和在[2,4]上的单调性相同，∴f(x)在[2022，2024]上单调递减．故选C．方法技巧·精提炼1.函数单调性应用问题的常见类型和解题策略(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间，然后利用函数单调性解决；(2)在求解抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”脱掉，将其转化为具体的不等式求解，此时应特别注意函数的定义域；(3)利用单调性求解最值问题，应先确定函数的单调性，然后再由单调性求解；(4)利用单调性求参数时，通常把参数视为已知数，根据函数的图象和单调性定义，确定函数的单调区间，将其转化到同一单调区间比较求参数．2.利用奇偶性及周期性的解题策略利用函数奇偶性求值，先利用奇偶性将所求的函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，代入解析式即可求出函数值．当函数既具有奇偶性又具有对称性时，先利用奇偶性和对称性确定函数的周期，再利用奇偶性和周期性进行变换，将所求得函数值的自变量转化到已知函数的定义域内求解．加固训练·促提高1.(2023·东城区二模)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x≤a，,x2，x>a，))若f(x)为增函数，则实数a的取值范围是(B)A．(0,4] B．[2,4]C．[2，＋∞) D．[4，＋∞)【解析】f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x≤a，,x2，x>a，))在同一平面直角坐标系中，分别作出函数y＝2x，与y＝x2的图象如下图，由图可知，要使函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x≤a，,x2，x>a，))为增函数，则2≤a≤4.∴实数a的取值范围是[2,4]．故选B．2.(多选)(2023·韶关二模)已知f(x)是周期为4的奇函数，且当0≤x≤2时，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，0≤x≤1，,2－x，1<x≤2.))设F(x)＝f(x)＋f(x－1)，则(BCD)A．函数y＝F(x)是奇函数也是周期函数B．函数y＝F(x)的最大值为1C．函数y＝F(x)在区间(2022,2023)上单调递减D．函数y＝F(x)的图象有对称中心也有对称轴【解析】根据题意，f(x)为奇函数，且当0≤x≤2时，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，0≤x≤1，,2－x，1<x≤2，))当－2≤x≤0时，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，－1≤x<0，,－2－x，－2≤x<－1，))而F(x)＝f(x)＋f(x－1)，当1≤x≤2时，有0≤x－1≤1，此时F(x)＝2－x＋x－1＝1，当0≤x≤1时，有－1≤x－1≤0，此时F(x)＝f(x)＋f(x－1)＝2x－1，当－1≤x≤0时，有－2≤x－1≤－1，此时F(x)＝x＋[－2－(x－1)]＝－1，当－2≤x≤－1时，有－3≤x－1≤－2，此时F(x)＝－2－x－1－x＝－2x－3，则F(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x－3，－2≤x≤－1，,－1，－1≤x≤0，,2x－1，0≤x≤1，,1，1≤x≤2))其函数图象在[－2,2]上的草图如下图，由此分析选项：对于A，f(x)是周期为4的奇函数，则F(x＋4)＝f(x＋4)＋f(x＋3)＝f(x)＋f(x－1)＝F(x)，则F(x)是周期为4的周期函数，当F(0)＝f(0)＋f(－1)＝f(0)－f(1)＝－1≠0，F(x)不是奇函数，A错误；对于B，结合F(x)的草图，F(x)在[－2,2]上的最大值为1，f(x)为奇函数，且当0≤x≤2时，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\