考点02 复数（解析版）-2024年新高考艺体生一轮复习

考点02复数一．复数的有关概念1.定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位)规定：i2=1复数z＝a＋bi(a，b∈R)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(实数（b＝0），,虚数（b≠0）\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(纯虚数（a＝0，b≠0），,非纯虚数（a≠0，b≠0）.))))3.复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)实部等于实部，虚部等于虚部（实同虚反）4.共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)实部相同，虚部相反数5.模：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)(a，b∈R)实虚勾股注意：z1∙二．复数的几何意义复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．横实纵虚三．复数的运算1.运算法则：设，则①加法：；②减法：；③乘法：；④除法：方法总结：复数问题实际就是实部与虚部问题，所以只考复数只要把复数化简成复数的一般形式，然后代入相应的公式即可。四．易错点1.虚部不含i2.复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的乘法运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．3.复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式，除法则需分母实数化．4.两个虚数不能比较大小．5.注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z1，z2∈C，zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2<0在复数范围内有可能成立．考点一复数的基本运算【例11】（2022·全国·统考高考真题）（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，故选：D.【例12】（2023·全国·统考高考真题）已知，则（

）A． B． C．0 D．1【答案】A【解析】因为，所以，即．故选：A．【例13】（2023·全国·统考高考真题）（

）A． B．1 C． D．【答案】C【解析】故选：C.【例14】（2023·全国·统考高考真题）设，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可得，则.故选：B.【例14】（2023·全国·模拟预测）已知复数z满足，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，由，所以，即，则.故选：D.【变式】1．（2023·全国·模拟预测）（

）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】.故选：B2．（2022·全国·统考高考真题）若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】故选：C3．（2022·全国·统考高考真题）若，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【解析】由题设有，故，故，故选：D4．（2023·湖南·校联考模拟预测）若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，，所以，，故选：D5．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意知：，则，所以：.故A项正确.故选：A.6．（2023·全国·模拟预测）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以.故选：D．考法二复数的实部与虚部【例21】（2023·全国·模拟预测）已知，则的虚部为（

）A．4 B．2 C． D．【答案】B【解析】，所以，则的虚部为2，故选：B．【例22】（2023云南）已知，且为实数，则实数（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【解析】因为为实数，所以.故选：A【变式】1．（2023·贵州·校联考模拟预测）若，则的虚部为（

）A．1 B．1 C． D．【答案】A【解析】设，故，故，得，即，，虚部为1.故选：A.2．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）已知，则复数的虚部为（

）A．3i B． C．3 D．【答案】D【解析】由，得，所以复数的虚部为.故选：D3（2023·全国·模拟预测）复数的实部是（

）A．1 B．－1 C．0 D．【答案】C【解析】，故z的实部为0．故选：C．考点三复数的分类【例31】（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）复数为纯虚数，则实数的值是（

）A．1 B．1 C．0或1 D．0或1【答案】A【解析】因为复数为纯虚数，所以，解得：.故选：A.【例32】（2024·广东）若复数是实数，则实数（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【解析】依题意，，因，且z是实数，则，解得，所以实数.故选：A【变式】1（2023·安徽）若为纯虚数，则实数a的值为（

）A．－4 B．2 C．－2 D．4【答案】D【解析】，因为z为纯虚数，所以，则，故选：D．2．（2023·湖南·湖南师大附中校联考一模）如果复数是纯虚数，是虚数单位，则（

）A．且 B．C． D．或【答案】C【解析】由复数是纯虚数，得解得:.故选:C.3.（2023·辽宁）设（i为虚数单位），若为实数，则a的值为（

）A．2 B． C．1 D．【答案】A【解析】，因为为实数，所以，解得.故选：A.考法四复数相等【例41】（2023·全国·统考高考真题）设，则（

）A．1 B．0

· C．1 D．2【答案】C【解析】因为，所以，解得：．故选：C.【例42】（2022·全国·统考高考真题）已知，且，其中a，b为实数，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等，得,即故选:【变式】1．（2022·浙江·统考高考真题）已知（为虚数单位），则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，而为实数，故，故选：B.2（2022·全国·统考高考真题）设，其中为实数，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为R，，所以，解得：．故选：A.3．（2023上·江苏连云港）若复数，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，∵，∴，解得：.故选：A.考法五复数的几何意义【例51】．（2023·全国·统考高考真题）（

）A．1 B．2 C． D．5【答案】C【解析】由题意可得，则.故选：C.【例52】（2023·全国·统考高考真题）在复平面内，对应的点位于（

）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】因为，则所求复数对应的点为，位于第一象限.故选：A.【例53】（2023·全国·模拟预测）已知复数在复平面内对应点的坐标为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题知，∴，∴，故选：D．【变式】1.（2022·全国·统考高考真题）若．则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，所以．故选：D.2．（2023·广东·统考二模）复数z满足，则在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】,,对应点的坐标为在第一象限故选：A.3．（2023·湖南）若，则在复平面内对应的点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，，所以在复平面内对应的点的坐标为．故选：A．4．（2023·河北）已知，则在复平面内对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】由，得，则，故在复平面内对应的点为，在第一象限．故选：A．考法六复数范围内解方程【例6】（2023·湖南郴州·统考一模）已知复数是方程的一个根，则实数的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由复数是方程的一个根，得，解得，故选：D.【变式】1．（2023·重庆）若虚数单位是关于x的方程的一个根，则（

）A．0 B．1 C． D．2【答案】B【解析】由题，是方程的一个根，所以，即，则，所以，即，所以，选：B2．（2022·山东枣庄·一模）设，是方程在复数范围内的两个解，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由方程得，由求根公式得，不妨设，.，A错误；，B错误；，C错误；，D正确.故选：D.3．（2024黑龙江）复数满足，且使得关于的方程有实根，则这样的复数的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】设,因为,所以,所以将代入方程整理，因为关于的方程有实根，所以所以当时，解得，此时关于的方程为或，易知方程无实数根，故舍去，所以；当时，解得，，所以，所以，此时方程有实数根，满足条件.综上，或.故这样的复数的个数为个.故选：C1．（2023上·河北廊坊）（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】.故选：.2．（2023·四川资阳·统考模拟预测）设复数，则其共轭复数（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，故.故选：B3．（2023·全国·模拟预测）已知，则（

）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以.故选：D．4．（2023·江西景德镇·统考一模）已知，则在复平面内对应的点在第（

）象限.A．四 B．三 C．二 D．一【答案】A【解析】，则，所以对应点为，在第四象限.故选：A5．（2023·云南大理·统考一模）复平面内，复数z对应的点的坐标是，则z的共轭复数（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】z在复平面对应的点是，根据复数的几何意义得，由共轭复数的定义可知.故选：D6．（2023·广西南宁·统考模拟预测）已知复数满足，则的虚部为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，所以的虚部为.故选：A.7．（2023·贵州遵义·统考模拟预测）若复数满足，则复数的虚部是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，故复数的虚部是.故选：C8．（2023·湖南永州·统考一模）复数满足，则在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】由得，则，即在复平面内对应的点为，位于第四象限，故选：D9．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）若，则（

）A．4 B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，所以.故选：B.10．（2023·浙江·统考一模）若复数满足（为虚数单位），则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，所以.故选：A11．（2023·山西·校考模拟预测）已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】由题意可得，则复数在复平面内对应的点为，该点位于第二象限.故选：B.12．（2023上·广东佛山·高三统考阶段练习）已知复数与复数都是纯虚数，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为是纯虚数，故设（且），又因为是纯虚数，所以且，解得，所以.故选：D．13．（2022·北京·统考高考真题）若复数z满足，则（

）A．1 B．5 C．7 D．25【答案】B【解析】由题意有，故．故选：B．14．（2023·全国·模拟预测）若复数，则（

）A．5 B． C．25 D．【答案】A【解析】由，有，则，所以，故选：A．15．（2023·全国·模拟预测）复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】，所以在复平面内，复数对应的点的坐标为，位于第一象限.故选：A．16．（2023·湖南）若，则在复平面内对应的点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，，所以在复平面内对应的点的坐标为．故选：A．17．（2023·全国·模拟预测）已知复数，则（

）A．13 B． C． D．【答案】B【解析】由题设.故选：B18．（2023·全国·模拟预测）是虚数单位，复数满足，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】方法一：由，则，所以.故选：D.方法二：设，则，所以，即，所以，解得，所以.故选：D.19．（2023·甘肃酒泉·统考三模）若复数，，则（

）A．8 B． C．4 D．【答案】A【解析】因为，所以，所以.故选：A.20．（2023·甘肃陇南·统考一模）已知与互为共轭复数，则（

）A．2 B．3 C． D．4【答案】C【解析】因为与互为共轭复数，所以，，所以．故选：C.21．（2023·新疆·统考三模）已知，其中，为虚数单位，则（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【解析】，则，则，解得，故选：D.22．（2023·陕西西安）若，则在复平面内所对应的点的坐标为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题设有，则，所以在复平面内所对应的点的坐标为．故选：B23．（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知复数满足，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，．故选：A.24．（2024上·浙江·高三舟山中学校联考开学考试）已知复数（为虚数单位），则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为复数（为虚数单位），则，因此，.故选：A.25．（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知复数z满足，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，所以．故选：A26．（2023·全国·模拟预测）已知复数的共轭复数是，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，则，所以，即，所以，解得，因此，故选：C．27．（2023·上海）若为纯虚数，且，则（

）A．1 B． C． D．【答案】A【解析】由为纯虚数，设，则，所以，解得，则，所以，故选：A．28．（2023·四川宜宾·四川省宜宾市南溪第一中学校校考模拟预测）已知复数在复平面内对应的点在实轴上，则的值是（

）A．3 B．4 C．5 D．【答案】D【解析】由题意知，，所以复数z在复平面内对应的点的坐标为，又该点在实轴上，所以，解得，所以，则.故选：D.29（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】将整理化简可得，所以复数在复平面内对应的点坐标为，由点位于第四象限可得，解得，所以实数的取值范围是.故选：A30．（2023·海南·统考模拟预测）下列关于复数的说法，正确的是（

）A．复数是最小的纯虚数B．在复数范围内，模为1的复数共有和四个C．与是一对共轭复数D．虚轴上的点都表示纯虚数【答案】C【解析】虚数不能比大小，故A错误；对于复数，但凡满足，其模均为1，显然不仅四个，比如时，，故B错误；由共轭复数的定义可知C正确；原点也在虚轴上，但不表示纯虚数，故D错误.故选：C1．（2023春·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）已知复数满足，则（

）A． B． C．3 D．5【答案】B【解析】由，得，整理得．设，则，所以，，所以，所以.故选：B2．（2022·陕西）已知复数z满足，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，则，，所以，，解得，所以．故选：D．3．（2023春·上海嘉定）复数z满足，则下列结论正确的是（

）A． B．C．在复平面内对应的点位于第四象限 D．【答案】D【解析】由可得，所以，故A错误；由知，故B错误；在复平面内对应的点位于第三象限，故C错误；由知，故D正确.故选：D4．（2023春·上海嘉定·高三上海市育才中学校考阶段练习）复数z满足，则下列结论正确的是（

）A． B．C．在复平面内对应的点位于第四象限 D．【答案】D【解析】由可得，所以，故A错误；由知，故B错误；在复平面内对应的点位于第三象限，故C错误；由知，故D正确.故选：D5．（2023·山西·校联考模拟预测）（多选）若复数满足，则（

）A．的虚部为 B．C． D．z在复平面内对应的点位于第四象限【答案】BC