江苏省常州市教育学会2024届高三上学期期中数学试题（解析版）

PAGEPAGE1江苏省常州市教育学会2024届高三上学期期中数学试题一、单项选择题1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，故选：C．2.设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（）A第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】由，即复数在复平面内所对应的点位于第一象限.故选：A.3.函数的部分图象为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为，令，解得或，所以的定义域为，又，所以为奇函数，其图象关于原点对称，排除B，C；当时，，或当，即时，，故排除D.故选：A.4.某学生社团举办数学史知识竞赛，经海选，甲、乙、丙、丁四位同学参加最后一轮的现场决赛，角逐唯一的冠军．有四位观赛同学对冠军的预测如下：“甲或乙是冠军”、“甲是冠军”、“丁是冠军”、“乙、丙两人都不是冠军”．若赛后发现，这四位同学中有且只有两位预测正确，则冠军是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】D【解析】若甲是冠军，则“甲或乙是冠军”、“甲是冠军”、“乙、丙两人都不是冠军”预测正确，故A错误；若乙是冠军，则只有“甲或乙是冠军”预测正确，故B错误；若丙是冠军，则没人预测正确，故C错误；若丁是冠军，则“丁是冠军”、“乙、丙两人都不是冠军”预测正确，故D正确；故选：D．5.已知，且，则（）.A. B.C. D.【答案】A【解析】∵，，∴，即，∴或（舍去），∴，，，，.故选：A.6.已知四棱台的两底面均为长方形，且上下底面中心的连线与底面垂直，若，棱台的体积为，则该棱台的表面积是（）A.60 B. C. D.【答案】D【解析】设棱台的上底面的面积为，下底面的面积为,因为棱台的上下底面相似且，所以，，，设棱台的高为，则，，因为上下底面中心的连线与底面垂直，所以，且四棱台的四条侧棱长相等，因为，侧棱，则等腰梯形的高为，，等腰梯形的高为，所以，所以该四棱台的表面积为，故选：D．7.已知函数，点分别为图象在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，为坐标原点，若为锐角三角形，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，得，则，，，因为为锐角三角形，所以，即，得，，即恒成立；，即，得，综上，.故选：B．8.居民的某疾病发病率为，现进行普查化验，医学研究表明，化验结果是可能存有误差的．已知患有该疾病的人其化验结果呈阳性，而没有患该疾病的人其化验结果呈阳性．现有某人的化验结果呈阳性，则他真的患该疾病的概率是（）A.0.99 B.0.9 C.0.5 D.0.1【答案】C【解析】记事件某人患病，事件化验结果呈阳性，由题意可知，，，所以，，现在某人的化验结果呈阳性，则他真的患该疾病的概率是：.故选：C.二、多项选择题9.已知函数，且，则（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】由题意，设，则是方程的个根，又，则，即，且，所以，故，故选项A正确，B错误；选项C，由，得，即，故C错误，D正确.故选：AD.10.某高校有在校学生9000人，其中男生4000人，女生5000人，为了解学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机调查了40名男生和50名女生，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”，否则为“非古文迷”，调查结果如下表，则（）古文迷非古文迷男生2020女生4010参考公式：，其中．参考数据：0.500.400.250.050.0250.0100.4550.7081.3213.8415.0246.635A.该校某位学生为古文迷的概率的估计值为0.6B.随机调查的男女生人数符合分层抽样的抽样方法C.有的把握认为学生是否为“古文迷”与性别有关系D.没有的把握认为学生是否为“古文迷”与性别有关系【答案】BC【解析】该校某位学生为古文迷的概率的估计值为，A错．男生4000人，女生5000人，随机调查了40名男生和50名女生，，符合分层抽样的抽样方法，B对．因为，故有的把握认为学生是否为“古文迷”与性别有关系，故C对，D错，故选：BC．11.设内角所对的边为，则下列说法正确的有（）A.若，则 B.若，则C.若，则可能有 D.若，则可能有【答案】ABD【解析】对于A，，由正弦定理得，所以，当且仅当时等号成立，所以，即，故A正确；对于B，，由正弦定理得，即，所以，当且仅当时等号成立，所以，即，故B正确；对于C，由，则，则，即，故C错误；对于D，由，则，不妨设，则，故D正确．故选：ABD．12.已知为圆柱的母线，为圆柱底面圆的直径，且，O为的中点，点在底面圆周上运动（不与点重合），则（）A.平面平面B.当时，点沿圆柱表面到点的最短距离是C.三棱锥的体积最大值是D.与平面所成角的正切值的最大值是【答案】AB【解析】在以为直径的圆上，，又，平面，平面，平面，又平面，平面平面，A对；时，为半圆中点，展开后，，B对；到平面的距离为2，，，C错；如图，中点M，则，所以平面，故以点M为坐标原点，过M与垂直的线为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，易知平面的法向量的，，设，则，设与平面所成的角为，则，令，则，，，由正弦函数和正切函数的单调性知，此时取最大，但正切值不是，D错.故选：AB.三、填空题13.将5本不同的书分发给4位同学，其中甲、乙两本书不能同时发给某一位同学，每位同学都发到书，每本书只能给一位同学，则不同的分配方案数为_________（用数字作答）【答案】216【解析】5本书送4人，每位同学都发到书，每本书只能给一位同学，共有种方案，甲乙两本书同时发给某一个同学，每位同学都发到书，每本书只能给一位同学，则剩余3本书分别给3位同学，有种方案，综上，不同的分配方案数为种．故答案为：21614.在梯形中，已知，点分别在线段和上，则的最大值为_________．【答案】3【解析】如图建系，，所以，设，则，令，则，所以，当且仅当时取到，此时三点重合，故答案为：315.若关于方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是_________．【答案】【解析】令且，则，令，则，当时，即递增；当时，即递减；所以，故恒成立，即在、上递减，而时；时；时；所以的图象如下图示，故有两个根．故答案为：.16.在平面凸四边形中，，且，将四边形沿对角线折起，使点到达点的位置．若二面角的大小范围是，则三棱锥的外接球表面积的取值范围是_________．【答案】【解析】由题意可知，和是等边三角形，取中点，连接，取的外心，则是的外心，过点作平面，则三棱锥的外接球球心在上，过点作平面交于点，则点即为三棱锥的外接球球心，由可知，即二面角的平面角，则，设，则，又因为，所以，因为平面，平面，所以，所以三棱锥的外接球半径,所以三棱锥外接球的表面积．故答案为：.四、解答题17.某校数学建模学生社团进行了一项实验研究，采集了的一组数据如下表所示：23456752.54540302517.5该社团对上述数据进行了分析，发现与之间具有线性相关关系．附：在线性回归方程中，，其中为样本平均值．（1）画出表中数据的散点图，并指出与之间的相关系数是正还是负；（2）求出关于的线性回归方程，并写出当时，预测数据的值．解：（1）由题意得散点图如图所示：由图可知与之间成负相关关系，所以是负．（2）因为，，，，∴关于线性回归方程为当时，．18.已知中，，点在边上，三等分，靠近靠近.（1）若，且，求；（2）若，求.解：（1），在中，，，，，..（2）设，，故，在中，由正弦定理得，，在中，由正弦定理得，，，.在中，，，，.19.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）对于，使得，求实数的取值范围．解：（1）由题设且，当时在上递减；当时，令，当时在区间上递减；当时上递增．所以当时，的增区间为，无减区间；当时，的增区间为，减区间为.（2）由题设知对恒成立．当时，此时，不合题设，舍去．当时，在上递增，只需符合．综上：．20.盒子里放着三张卡片，一张卡片两面都是红色，一张卡片两面都是黑色，剩下的一张卡片一面是红色一面是黑色．（1）随机抽出一张卡片并随机展示它一面的颜色．假设展示的这一面的颜色是红色，那么剩下一面的颜色也是红色的概率是多少？（2）随机抽出一张卡片并随机展示它一面的颜色，放回后，再随机抽出一张卡片并随机展示它一面的颜色．两次展示的颜色中，黑色的次数记为X，求随机变量X的分布和数学期望．解：（1）记事件为展示的一面颜色是红色，事件为剩下一面的颜色也是红色，．（2）随机抽出一张卡片，颜色是黑色的概率为，的二项分布的所有可能取值为0，1，2，，，的分布列如下：012或由．21.已知三棱柱，，，为线段上的点，且满足．（1）求证：平面；（2）求证：；（3）设平面平面，已知二面角的正弦值为，求的值．（1）证明：过分别作交于点交于点，，且，，∴四边形为平行四边形，，平面．平面．平面．（2）证明：，，，，．（3）解：取中点，连接为等边三角形且，则．在中，，由，在中，为中点，，，.如图，分别以为轴建立空间直角坐标系．．即，，设，则，即，故，又，同理可得，，设平面的一个法向量，而平面的一个法向量，设二面角的的平面角为，则，则，化简得，解得或22.已知函数的部分图象如图所示．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的