2019学年高中数学人教B版选修2-1同步练习：第3章空间向量与立体几何3.1.2

第三章3.13.1.2基础巩固一、选择题1.如图，ABCD—A1B1C1D1是平行六面体，则下列错误的一个命题是()B CA.存有唯一的实数对％,y,使得AC1=xAB+yADB.存有唯一的实数对x,y,使得AC=xAB+yADC存有唯一的有序实数组x，y，z，使得AC1=xAB+yAD+总1D.存有唯一的有序实数组x,y,z，使得AC=xAB+yAD+zAA1［答案］A［解析］若选项A中命题为真，则可得到AA1,AB,AD共面.而由图可知AA1,AB,AD不共面．.已知不共线向量a,"且AB=a+2b,BC=—5a+6b,CD=7a—2b，则一定共线的三点是A．A、B、DCA．A、B、DC．B、C、DD．A、C、D［答案］A［解析］AD=CD—CA=CD+AC=CD+AB+BC=(7a—2b)+(a+2b)+(-5a+6b)=3a+6b=3AB....A、B、D三点共线，同理B、C、D三项错误.故选A..已知4、B、C三点共线，O为空间任意一点，如果oC=xOAA+1Ob，则x的值为6TOC\o"1-5"\h\z5A. B.766r5 1C—6 D—6［答案］B［解析］由直线向量参数方程知x+6=1，，x=6.

4.设a,b是不共线的两个向量，A,〃GR且4.设a,b是不共线的两个向量，A,〃GR且Aa+a=0，则a=b=0A=〃=0A=0,b=0〃=0,a=0［答案］B［解析］由共面向量定理知，选B.5.对于空间中任意三个向量a,b,2a—b，它们一定是A.共面向量B.共线向量C.不共面向量D.既不共线也不共面向量［答案］A［解析］2a-b由a与b线性表出，所以三向量共面.6.已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，P,M为空间任意两点，如果有PM=PB1+7BA+6AA1—4A1D1,那么M必a.a.在平面bad1内B.在平面BA1D内C.C.在平面BA1D1内D.在平面AB1C1内［答案］C［解析］本题主要考查四点共面的判断方法.因为PM=PB1+7BA+6AA1-4aQ1=PB1+.一. .—> —> ..-. .—> .一. —>. .. —> ——>BA+6BA1-4A1D1=PB1+B1A1+6BA1-4A1D1=PA1+6(PA1-PB)-4(PD1-PA1)=11PA1-6PB-4PD1,于是M,B,A1,D1四点共面，故选C.二、填空题.已知空间四边形OABC如图所示，M是AB的中点，N是CM的中点，用基底｛a,b,c｝表示On，则On=［答案］4a+4b+1c［解析］OON=OOM+MON=2(Oa+Ob)+

－a＋c－a＋c－b)=4a+4b+2c..已知a,b,c不共面，且m=3a+2b+c,n=x(a—b)+y(b—c)—2(c—a)，若m〃n,贝Ux+y= .［答案］—4［解析］,/n=(x+2)a+(y—x)b—(y+2)c,「5x—3y+4=0，解得x=—2,y=一?,：.x+y=—4.x—3y—4=0向量A向量A^B、B1C、.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为BB1和A1D1的中点.证明:EF是共面向量.［解析］证法一：如图所示：ff.f.fEF=EB+BA1+A1F1— 「J，一=2(BB+BC—A^B=2B1B—A=2(BB+BC—A^B1f_ 「=2B1C—A1B由向量共面的充要条件知，谦B由向量共面的充要条件知，谦B1C、EF是共面向量.证法二：如右图，连结A1D证法二：如右图，连结A1D、BD，取A1D中点G,连结FG、BG,则有FG22DDDD1,BE,FGABE.二.四边形BEFG为平行四边形.，EF〃BG.，EF〃平面A1BD.同理，B1C〃A1D，.二B1C〃平面A1BD.一—> —>—>.>__一，一一—>—>—>-_,A1B、B1C、EF都与平面A1BD平行.，A1B、B1C、EF共面.一、选择题1.若"，e?是同一个平面a内的两个向量，则A.平面a内任一■向量“，都有a=Xe1+“2（九〃£R）B.若存有实数丸1,丸2，使丸1e1+丸,2=0,则丸1=丸2=0C.若e1,e?不共线，则空间任一向量a,都有a=/1+'（A,〃£R）D.若e1,e2不共线，则平面a内任一向量a,都有a=Ae1+"?（九〃£R）［答案］D［解析］由共面向量定理知选D.2．给出下列两个命题：①如果向量a,b与任何向量不能构成空间的一个基底，那么a,b的关系是不共线；②O,A,B,C为空间四点，且向量OA,OB,OC不构成空间的一个基底，那么点O,A,B,C一定共面.其中准确的命题是A.仅① B.仅②C.①② D.都不准确［答案］B［解析］可判定①不准确，②准确.故选B.3.如图所示，已知A,B,C三点不共线，P为平面ABC内一定点，O为平面ABC外任一点，则下列能表示向量OP的为一.一一.一一.一一OA+2AB+2AC———OA-3AiB-2ACC.OC.OiA+3AiB-2AiC一•——D.OiA+2AiB-3AiC［答案］C［解析］根据A,B,C,P四点共面的条件可知AP=xAB+yAC.由图知x=3,y=—2,，OP=OOA+3AB—2AC，故选C..若a=e1+e2+3e3,b=e1+e2—2e3,c=e1—3e2+2e3,d=4e1+6e2+8e3,d=aa+例+yc，则a,B,y的值分别为

人18A-T9105c18B•一不910，［人18A-T9105c18B•一不910，［答案］A910c18D.一了910［解析］由题意a+B+y=4有＜a+B—3y=6、3a—2B+2y=8_18a—5工解得B=910故选A.二、填空题.给出下列几个命题:①a=“从上海往正北平移9km”，b="从北京往正北平移3km"，那么a①a=“从上海往正北平移9km”，②(a+b)+kc+A(a+d)=b+(1+丸)a+A(c+d)；③有直线l，且l〃a,在l上有点B，若AB+(CA=2a其中准确的命题是［答案］①②③［解析［解析］①准确.因为向量相等与始点无关；②准确，因为向量运算满足分配律和结合律;③准确，因为AB+(CA=CA+AB=CB=2a，所以CB与l平行，又B在l上，所以C日..已知O是空间任一点，A,B,C,D四点满足任三点均不共线，但四点共面，且OA=2xBO+3yCO+4zDX)，则2x+3y+4z=［答案］一1［解析］OCA=—2xOB—3y(CC—4zOD,由A,B,C,D四点共面，则有一2x—3y—4z=1,/.2x+3y+4z=-1..在平行六面体ABCD—A1B1clD1中，若A0=x-AB+2y-BC+3z-CCc，则x+y+z等于7［答案］6［解析］如右图，［解析］如右图，AC1=AB+BC+CC1=AB+BC+(—1＞乖已知AC1=x-AB+2y-BC+3z-C1C,=AB+BC+(-1)-C1Cx=lJ-- 1 102尸1 今尸1,尸2,z=-3.［3z=-1x+x+y+z=1+2一76,三、解答题.已知非零向量e1,e2不共线，如果施=e1+e2,AC=2e1+8e2,AD=3e1—3e2，求证:A、B、C、D四点共面.［证明］令丸(e1+e2)+〃(2e1+8e2)+u(3e1—3e2)=0,贝1(丸+2"+3u)e1+(丸+8〃一3u)e2=0..•e1、.•e1、e2不共线，丸+2以+3u=0,丸+8〃-3u=0.工=-5,易知＜〃=1, 是其中一组解，则一5AB+AC+AD=0.、u=1.，A、B、C、D共面.另证：观察易得AC+AD=(2e1+8e2)+(3e1—3e2)=5e1+5e2=5(e1+e2)=5,4B.AB=5AC+5AD.由共面向量知，.4B,A