保险学之效用、风险与风险态度

第一讲成效、风险与风险态度第一节风险、不确定性与风险管理一、风险与不确定性风险是客观存在〔Astateofworld〕，而不确定性是心思形状〔Astateofmind〕。风险是可以测定的(Measurable)，有其发生的一定概率，而不确定性是不能测定(Immeasurable)。风险的重要性在于它能给人们带来损失或收益；而不确定性的重要性那么在于它影响着个人、公司和政府的决策过程。2〔一〕风险的度量

1.概率(Probability)

32.期望值(Expectedvalue)

43.方差(Variance)54.规范差(Standarddeviation)65.离散系数(Deviationcoefficient)76.偏度(Skewness)87.协方差(Covariance)98.相关系数〔Correlationcoefficient〕10〔二〕风险管理风险管理是经过风险的识别、衡量和控制，以最小的本钱将风险导致的各种不利后果减少到最低限制的科学管理方法，是组织、家庭或个人用以降低风险的负面影响的决策过程。11121314第二节风险会聚、大数法那么与中心极限定理一、风险会聚的效果 当风险是相互独立的时候，会聚安排可以抑制风险，风险管理的价值因此而显现出来。15例子：假设蓝猫和黑猫下一年度发生20万元损失的概率都为20%，且两者的事故损失不相关。16假设蓝猫和黑猫决议在他们之间进展风险会聚，也就是说，不论谁发生不测，两个人赞同均担发生的损失，这时看期望损失和规范差如何变化：

17可以看到，风险会聚虽然不能改动每个人的期望损失，但却能将平均损失的规范差由8万元减小到5.66万元，使事故损失变得更容易预测，因此风险会聚降低了每个人的风险。不难证明，当风险会聚的参与者增多，平均损失的规范差会进一步减少，出现极端损失〔非常高的损失和非常低的损失〕的概率不断降低，风险变得更易预测。而且随着参与者数量的添加，每个人支付的平均损失的概率分布逐渐接近于钟形曲线。当参与风险会聚的人足够多，到达一定的大数，每个参与者本钱的规范差将变得接近于零，因此每位参与者的风险将变得可以忽略不计。这就是保险运营最重要的数理根底——大数法那么。18二、大数法那么(Lawoflargernumbers)1.切贝雪夫〔Chebyshev〕不等式和切贝雪夫大数法那么19切贝雪夫大数法那么阐明，当n足够大时，平均每个被保险人实践获得的赔偿金额与每个被保险人获得的赔偿金额的期望值之间的差别很小，或者说，平均每个人获得的赔款与赔款的期望值之差的绝对值小于这一事件，在n→∞时是个必然事件。而保险公司从投保人那里收取的纯保费〔不包括保险公司的管理费用、税收和利润等〕应等于每个被保险人获得的赔偿金的期望值。切贝雪夫大数法那么又指明了期望值在n→∞时等于实践赔偿额的平均值。虽然实践赔偿额的平均值事先是无法知道的，但保险人可以根据以前的统计资料知道同类损失的平均值是多少。所以当n足够大时，保险人从投保人哪里收取的保险费应该是以前损失的平均值。这就是保险公司从投保人那里收取多少的保险费的根本根据，假设风险会聚的参与者达不到一定的“大数〞，保险公司就无从知道应该向每个投保人收取多少保险费，保险也就失去了最根本的精算根底。202.辛钦大数法那么3.贝努利大数法那么在保险运营中，当相互独立的风险单位满足一定的大数，保险公司就可以用以往损失频率的统计数据来推测未来同一损失发生的概率，由于，大数法那么令两者近于相等。

214.泊松〔Poisson〕大数法那么在保险运营中，虽然相互独立的风险单位的损失概率能够各不一样，但只需标的足够地多，仍可以在平均意义上求出一样的损失概率。保险公司由此可以把性质类似的各分类的标的集中在一块，求出一个整体的费率，再加以调整，从而在整体上保证收支平衡。比如，虽然同一档次的众多车辆所面对的风险能够各不一样，但仍可以把它们放在同一个风险集合之内进展风险会聚，只需这些车的数量满足一定的大数即可。22〔二〕中心极限定理

当风险会聚的参与者足够多时，平均损失的分布接近于正态分布，就可以用正态分布的概率值来估计结果超越某给定值的概率。23德莫佛-拉普拉斯定理

列维定理

2425第三节期望成效与风险偏好一、成效与投资风险26例子：1000元钱在1年之内：夹在书中：——1000元存入银行：——1030元投资基金：——预定指数高于大盘指数〔比如上证指数〕：报答率40%；低于大盘指数报答率-20%。

假设符合期望值规律〔Expectedvaluerule〕，即总是选择期望值最高的投资)：那么应选择投资基金。**期望值规律：假定在一次赌博中，分别以概率〔p1,…,pn〕获得收益〔x1,…,xn〕，那么该项赌博的吸引力由该赌博获得的期望收益x=∑xipi决议。27二、倍努利的圣·彼得斯伯格悖论〔St.PetersburgParadox)但通常所运用的期望值规律却并不总是适用，比如1738年倍努利〔Bernoulli)提出的：即〞圣·彼得斯伯格悖论〔St.PetersburgParadox)“：投掷质地均匀的硬币，直至出现反面，假设掷第一次就出现反面，得到2美圆，第二次掷出现正面，得到4美圆，第三次掷得到8美圆，这样赌局的期望值是：但没有人情愿出十几美圆或更多的钱去冒险。

28假设我们假设乙的期望成效值是财富的自然对数——这是一个和厌恶风险的人的期望成效拟合得很好的函数方式。如今用一个数字化的例子再展现一下圣·彼得斯伯格悖论:由此可见，乙参与这样一个赌局,他所情愿出的赌注仅仅是4英镑，而不是无穷大。29如何解释圣·彼得斯伯格悖论呢？期望效率实际提供了答案，也把成效实际从古典推到了现代。期望效率实际以为，不确定性条件下的成效也是不确定的，最终的成效程度取决于不确定事件的结果。比如，购买彩票的成效最终取决于能否中奖，而购买保险的成效程度最终取决于保险事故能否发生以及保险人对损失的赔付比例。在保险经济学中，对不确定性条件下的成效研讨采用的是期望成效函数。30附注：悖论举例：1.自相矛盾2.半费之讼〔古希腊普罗泰戈拉Protagoras：偶提勒士Euathlus〕3.鳄鱼和小孩：我会不会吃掉他，对那么放。4.唐吉柯德悖论：他来做什么，对那么放。5.理发师悖论：6.艾毕曼德悖论：7.藏羚羊与破窗实际8.保险业的诸多悖论：代理人＋资源配置31冯·诺依曼和摩根斯坦恩是期望成效函数的开创人，所以期望成效函数也称冯·诺依曼和摩根斯坦恩成效函数，其普通方式是：32假设成效函数是财富量的自然对数，那么：1000元钱在1年之内：1〕夹在书中：——1000元2〕存入银行：——1030元3〕投资基金：——预定指数高于大盘指数〔比如上证指数〕：报答率40%；低于大盘指数报答率-20%。2〕的期望成效：3〕的期望成效：33期望成效图示：34

如前：亦设U(x)=ln(x),那么圣·彼得斯伯格悖论中，参赌者情愿付出的代价为：4美圆。35三、风险偏好——人们对风险的态度1.风险偏好的分类与定义风险喜好者〔Risklover〕风险厌恶者〔Riskaverter〕风险中性者〔Riskneutral〕36例子：假设世界杯足球赛中巴西队和阿根廷队冠亚军决赛时猜巴西队赢的彩票中奖概率是P，彩票购买者中奖后的财富量是；而未中奖的财富量是。彩票的期望值是每一种结果与其发生的概率的乘积的总和。假设一个彩票购买者期望值的成效等于彩票的期望成效，即假设：阐明他仅对期望值感兴趣，对风险是不在意的，那么称他为风险中性者。37风险中性者的成效函数具有以下性质：1)财富数量的添加导致满足程度的上升。2〕边沿成效恒定。38假设一个彩票购买者期望值的成效大于彩票的期望成效，即假设：39风险躲避的成效函数满足以下两个假设：1〕财富数量的添加导致满足程度的上升2〕边沿成效递减40假设一个彩票购买者期望值的成效小于彩票的期望成效，即假设：4142432.风险偏好的度量阿罗-普拉特绝对风险厌恶程度的计量方法是用成效函数二阶导数和一阶导数的比率：阿罗-普拉特相对风险程度的计量方法是用绝对风险厌恶程度乘以财富值W：443.风险偏好与保险决策倍努力定理：只需保险是按照精算公平费率〔Actuariallyfai