新教材同步辅导2023年高中数学第七章随机变量及其分布7.1条件概率与全概率公式7.1.2全概率公式分层演练新人教A版选择性必修第三册

7.1.2全概率公式A级基础巩固1.(2023·深圳期中)10支步枪中有6支已经校准过,4支未校准,一名射击运动员用校准过的枪射击时,中靶的概率为0.8,用未校准的枪射击时,中靶的概率为0.3.现从10支中任取1支射击,则中靶的概率为()A.0.55B.0.6C.0.7D.0.75解析:设A表示“运动员用校准过的枪射击”,B表示“运动员射击中靶”,则P(A)=0.6,P(A)=0.4,则P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=0.6×0.8+0.4×0.3=0.6.答案:B2.一批同型号的螺钉由编号为Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的三台机器共同生产,各台机器生产的螺钉占这批螺钉的百分率分别为35%,40%,25%,各台机器生产的螺钉次品率分别为3%,2%和1%.现从这批螺钉中抽到一颗次品,则次品来自Ⅱ号机器生产的概率为()A.12B.8C.542D.8解析:设A表示“螺钉是次品”,B1表示“螺钉由Ⅰ号机器生产”,B2表示“螺钉由Ⅱ号机器生产”,B3表示“螺钉由Ⅲ号机器生产”,则P(B1)=0.35,P(B2)=0.4,P(B3)=0.25,P(A|B1)=0.03,P(A|B2)=0.02,P(A|B3)=0.01,P(A)=P(AB1)+P(AB2)+P(AB3)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)=0.03×0.35+0.02×0.4+0.01×0.25=0.021,所以P(B2|A)=P(A|B2答案:B3.现有n张彩票,里面只有一张奖券,每人从中随机摸取一张,则第二人摸到奖券的概率为1n解析:设Ai表示“第i人摸到奖券”,i=1,2,…,n,则A2=A1A2P(A2)=P(A1A2)=P(A1)P(A2|A由题意,得P(A1)=1n,P(A1)=1-1n=n-1n,P(A2所以P(A2)=n-1n×14.已知在所有男子中有5%患有色盲症,在所有女子中有0.25%患有色盲症.随机抽一人发现患色盲症的概率为0.02625(设男子与女子的人数相等).

解析:设A表示“抽到的是男子”,B表示“抽到的是女子”,C表示“这人患色盲症”,则P(C|A)=0.05,P(C|B)=0.0025,P(A)=0.5,P(B)=0.5,则P(C)=P(AC)+P(BC)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=0.5×0.05+0.5×0.0025=0.02625.5.有一批同型号的产品,已知其中由一厂生产的占30%,二厂生产的占50%,三厂生产的占20%,又知这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,1%,求从这批产品中任取一件是次品的概率.解:设事件B为“任取一件是次品”,事件A1为“任取一件是一厂的产品”,事件A2为“任取一件是二厂的产品”,事件A3为“任取一件是三厂的产品”,则A1∪A2∪A3=Ω,A1,A2,A3两两互斥.由题意,得P(A1)=0.3,P(A2)=0.5,P(A3)=0.2,P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.01,P(B|A3)=0.01,所以由全概率公式,得P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.3×0.02+0.5×0.01+0.2×0.01=0.013.B级能力提升6.根据以往临床记录,某种诊断癌症的试验有如下的效果:若以事件A表示“试验反应为阳性”,以事件C表示“被诊断者患有癌症”,则有P(A|C)=0.95,P(A|C)=0.95.现在对自然人群进行普查,设被试验的人患有癌症的概率为0.005,即P(C)=0.005,则P(C|A)≈()A.0.05 B.0.95C.0.087 D.0.995解析:因为P(A|C)=0.95,所以P(A|C)=1-P(A|C)=0.05.因为P(C)=0.005,所以P(C)=0.995.因为P(A|C)=0.95,所以P(C|A)=P(AC)P(A)=答案:C7.对以往数据的分析结果表明,当机器调整良好时,产品的合格率为98%,而当机器发生某种故障时,其合格率为55%.每天早上机器开动时,机器调整良好的概率为95%.若某日早上第一件产品合格,则这台机器调整良好的概率约为0.971(保留三位小数).解析:设事件A为“产品合格”,事件B为“机器调整良好”,则有P(A|B)=0.98,P(A|B)=0.55,P(B)=0.95,P(B)=0.05,P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|B)P(B)=0.98×0.95+0.55×0.05=0.9585,故P(B|A)=P(AB)P(A)=8.在某次考试中,要从20道题中随机抽出6道题,若考生至少能答对其中的4道题则可通过;若至少能答对其中5道题则获得优秀.已知某考生能答对所有题目中的10道题,并且知道他在这次考试中已经通过,求他获得优秀成绩的概率.解:设事件A为“该考生6道题全答对”,事件B为“该考生答对了其中5道题而另1道答错”,事件C为“该考生答对了其中4道题而另2道题答错”,事件D为“该考生在这次考试中通过”,事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”,则A,B,C两两互斥,且D=A∪B∪C,E=A∪B,由古典概型的概率公式及加法公式可知P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=C106C206+CP(E|D)=P(A∪B|D)=P(A|D)+P(B|D)=P(AD)P(D=210C20=1358即所求概率为1358C级挑战创新9.多选题(2023·广州二模)有3台车床加工同一型号的零件,第1台车床加工的次品率为8%,第2台车床加工的次品率为3%,第3台车床加工的次品率为2%,加工出来的零件混放在一起,已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的10%,40%,50%,从混放的零件中任取一个零件,则下列结论正确的是()A.该零件是第1台车床加工出来的次品的概率为0.08B.该零件是次品的概率为0.03C.如果该零件是第3台车床加工出来的,那么它不是次品的概率为0.98D.如果该零件是次品,那么它不是第3台车床加工出来的概率为1解析:设B表示“任取一个零件为次品”,Ai表示“零件为第i(i=1,2,3)个车床加工”,对于选项A,该零件是第1台车床加工出来的次品的概率P1=P(A1)P(B|A1)=10%×8%=0.008,选项A错误;对于选项B,P(B)=P(A1)·P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=10%×8%+40%×3%+50%×2%=0.008+0.012+0.01=0.03,选项B正确;对于选项C,第3台车床加工的次品率为2%,如果该零件是第3台车床加工出来的,那么它不是次品的概率P=1-2%=0.98,选项C正确;对于选项D,如果该零件是次品,那么它是第3台车床加工出来的概率P(A3|B)=P(A3B)P(B)=0.5×0.020.03=1答案:BC10.同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应,由长期的经验知,三家的正品率分别为0.95,0.9,0.8,三家产品数的比为2∶3∶5,混合在一起,从中任取一件.(1)求此产品为正品的概率;(2)现取到一件产品为正品,则它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大?解:(1)设事件A表示取到的产品为正品,B1,B2,B3分别表示产品由甲、乙、丙厂生产.由已知,得P(B1)=0.2,P(B