2023届北京市首师附高一数学第一学期期末达标检测模拟试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的

1.终边在x轴上的角的集合为()

A.{a\a=k7r,kGA^}B.{a\a=kjv,kGZ}

C.{a\a=2k兀,&eN}D.{a\a=2k7i,k&Z]

2.将函数/(x)=Acosox图象向右平移/个单位得到函数g(x)的图象，已知g(x)的图象关于原点对称，贝！的

最小正值为()

A.2B.3

C.4D.6

3.已知?是两个不同的平面，给出下列四个条件：

①存在一条直线屋使得[‘a，a,伊

②存在两条平行直线a，『使得"/日，a〃£b〃a"b〃夕

③存在两条异面直线a，b，使得aua"匕u夕a〃伊b〃a；

④存在一个平面/，使得y&，yJ,0

其中可以推出C的条件个数是

A.lB.2

C.3D.4

,.flog,x-l,x>0/,、、

4.已知函数，贝4/(力=1|21_6|,140，则/(/(一1)-1)=

A.210g23—2B.log27—1

C.2D.log26

5.下列四个函数中，在整个定义域内单调递减是()

A.〃x)=(黑),B./(x)=|log,x

1UU42

c/x)=log;D.〃x)=j

/x〈0

6.已知函数〃x)=5一，g(x)=/(x)+a,若g(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是()

Inx,x>0

A.(—1,0)

C.(O,l)D.(O,l]

uaw

7.log2a>log2b2>2*W()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分且不必要条件D.既不充分也不必要条件

8.把-375°表示成8+2E,ZeZ的形式，则。的值可以是()

9.某学生离家去学校，由于怕迟到，一开始就跑步，等跑累了再步行走完余下的路程，若以纵轴表示离家的距离，横

轴表示离家后的时间，则下列四个图形中，符合该学生走法的是()

10.若关于3的不等式4'-108“》＜^在兀€(0,3恒成立，则实数。的取值范围是()

A.B.

D.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11.函数/■(x)=Asin(0x+e)(A>O,o>O,陷<§一段图象如图所示•则/(x)的解析式为

(1Y-A-

12.函数/(冗)=《J的值域为.

13.函数/'(力=三］+4位的最大值与最小值之和等于

14.给出下列四个命题：

TTS77

①函数尸2sin(2十—")的一条对称轴是x=—；

312

7T

②函数尸tanx的图象关于点(一，0)对称；

2

③正弦函数在第一象限内为增函数；

3

④存在实数a,使sina+cosa=—.

2

以上四个命题中正确的有一(填写正确命题前面的序号).

x—4,%>4

15.函数/(x)={，若/(a)=4,则“=_____

x+3,x<4

16.函数/(x)=logx(6-x)+\/l-2sinx定义域为.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.已知函数/(x)=log”(l+x)-loga(1一x)(a>0,a。1)

(1)求函数/(x)的定义域，并判断函数/(x)的奇偶性；

⑵求使./1(%)<0x的取值范围

18.已知全集0=口，集合A=L-4x<0},B=^x|/w2<x<3m-2^.

(1)当m=2时，求d(AnB)；

(2)如果=求实数的取值范围.

19.已知函数/'(X)=sin，x+Z^sinxcosx-cos4x

(1)求/(x)的最小正周期；

(2)讨论Ax)在区间。兀］上的单调递增区间

20.已知函数/(x)=gsin(2xq),x&R,

(1)求/(x)的最小正周期和单调递增区间；

7171

(2)求/(x)在区间一；,二的最大值和最小值

_34_

21.(1)已知x>1，求、+，的最小值；

Xx-1

(2)求函数f(Q=的定义域

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的

1、B

【解析】利用任意角的性质即可得到结果

【详解】终边在x轴上，可能为x轴正半轴或负半轴，所以可得角a=故选B.

【点睛】本题考查任意角的定义,属于基础题.

2、B

【解析】根据图象平移求出g(x)解析式，g(x)为奇函数，则g(0)=0,据此即可计算0的取值.

7T汽CD

【详解】根据已知,可得g(x)=ACOS69=Acoscox----

I6

•••g(x)的图象关于原点对称，所以g(O)=O,从而一竽=2+而，ZreZ,

62

所以。=一3-6攵，其最小正值为3,此时左=一1

故选：B

3、B

【解析】当",8不平行时，不存在直线汽与dS都垂直，...a’a，=a|£，故：口正确;

存在两条平行直线G，b，aIa，b\B'a\B'bIIa,则a"台相交或平行，所以口)不正确；

存在两条异面直线匕，aucCbc.39aIf39bI由面面平行的判定定理得支।引故确;

存在一个平面产使得1一夕则Q6相交或平行，所以(4)不正确；

故选5

4、B

【解析】因为〃x)=J晟:；；；；：，所以〃T)_1=|—2_6|T=7,/(/(-l)-l)=/(7)=log27-l,故选

B.

5、C

【解析】根据指数函数的性质判断A,利用特殊值判断3,利用对数函数的性质判断C,利用偶函数的性质判断。

【详解】对于A,7(*)=(器))是指数函数，在整个定义域内单调递增，不符合题意；

对于8,/(x)=-log/,有/(2)=彳*108|2=-彳，/(4)=-xlog,4=--,不是减函数，不符合题意；

X2224万，

对于C,/(x)=l°g|X为对数函数，整个定义域内单调递减，符合题意；

2

2,_

对于。，/(力=/=痒，为偶函数，整个定义域内不是单调函数，不符合题意，

故选C

【点睛】本题主要考查指数函数的性质、单调性是定义，对数函数的性质以及偶函数的性质，意在考查综合利用所学

知识解答问题的能力，属于中档题

6、B

【解析】利用数形结合的方法，作出函数/(力的图象，简单判断即可.

【详解】依题意，函数y=的图象与直线尸一。有两个交点，

作出函数图象如下图所示，

由图可知，要使函数y=/(x)的图象与直线丫=一。有两个交点，则即一1〈。＜0.

故选：B.

【点睛】本题考查函数零点问题，掌握三种等价形式：函数零点个数等价于方程根的个数等价于两个函数图象交点个

数，属基础题.

7、A

【解析】解指数不等式和对数不等式，求出两个命题的等价命题，进而根据充要条件的定义，可得答案

【详解】"2">2""Oua>bn,

wan

log2a>log2/?”oa>b>O,

“a>h>0”是“。>人”的充分而不必要条件，

故"log?a>log2h”是“2">2〃”的的充分而不必要条件，

故选：A

8、B

【解析】由-375°=-15°-36()°结合弧度制求解即可.

【详解】V-375°=-15°-360°,375°=(卡—2兀卜(1

故选：B

9、A

【解析】纵轴表示离家的距离，所以在出发时间为，=0可知C,D错误，再由刚开始时速度较快，后面速度较慢，可根

据直线的倾斜程度得到答案.

【详解】当时间1=0时，s=0,故排除C,D；

由于刚开始时速度较快，后面速度较慢，

所以前段时间的直线的倾斜角更大.

故选：A.

【点睛】本题考查根据实际问题抽象出对应问题的函数图象，考查抽象概括能力，属于容易题.

10>A

【解析】转化为当时，函数.丫=4'-］的图象不在y=l°g〃X的图象的上方，根据图象列式可解得结果.

【详解】由题意知关于x的不等式4'-：<log〃x在xwjo,；恒成立，

所以当时，函数y=4'的图象不在〉=10g。》的图象的上方，

0<a<l

由图可知(11，解得!<a<l.

2/4

故选：A

【点睛】关键点点睛：利用函数y=4'-/的图象与函数yulog。》的图象求解是解题关键.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

271

11、/(x)=3sin—X-------

510

【解析】由函数的最值求出A,由周期求出3,由五点法作图求出<P的值，从而得到函数的解析式

32兀jr2

【详解】由函数的图象的顶点的纵坐标可得A=3,再由函数的周期性可得二•'=4兀-㊂，二3=一

4co45

2兀71

再由五点法作图可得=x：+(p=O,;.中=一二

5410

故函数的解析式为f(x)=3sin

故答案为f(x)=3sin1|x_m]

【点睛】本题主要考查函数y=Asin(3x+(p)的部分图象求解析式，由函数的最值求出A,由周期求出s,由五点法

作图求出①的值，属于中档题

-1)

12、-,+<»

[2J

【解析】由函数f(x)定义域求出1一/的取值范围，再由(g),的单调性即可得解.

r1

【详解】函数/(x)=-的定义域为R,而1-犬41,当且仅当x=0时取“="，又(5),在R上单调递减，

于是有(犷岭4

门/r1

所以函数的值域为[],+8

故答案为：-5+00j

13、0

【解析】先判断函数f(x)为奇函数，则最大值与最小值互为相反数

【详解】解：根据题意，设函数/(X)的最大值为例，最小值为N,

又由/(_%)=+sin(-x)=p^-j+sinrU-/(x),则函数/(x)为奇函数,

则有M=-N,则有M+N=O；

故答案为0

【点睛】本题考查函数奇偶性，利用奇函数的性质求解是解题关键

14、①©

【解析】对于①,将*=得代入得如停一g[=1，；♦x=得是对称轴,命题正确;

对于②，由正切函数的图象可知，命题正确;

7T

对于③，正弦函数在2k7T,2k7T+-上是增函数，但在第一象限不能说是增函数，所以③不正确;

对于④,sinx+cosx=V2sinlx+~，最大值为狡，不正确;

故填①②.

15、1或8

【解析】当。24时，/(a)=a-4,当。＜4时，/(a)=a+3,分别计算出“的值，然后在检验.

【详解】当时，4=4,解得。=8,满足条件.

当。＜4时，/(a)=a+3=4,解得〃=1,满足条件

所以。=1或8.

故对答案为：1或8

【点睛】本题考查分段函数根据函数值求自变量，属于基础题.

、

7乃T］5万

0,—u—,6

16、6」6

67

【解析】根据题意列出x满足的条件，解不等式组

x>0且%。1x>0且xw1

x<6,解得0<xW工或V〈x<6,从而函数的定义域为

【详解】由题意得6-x>0,即<

,166

1-2sinx>0

sinx<—

2

„7n1

0,丁U--,6.

6」L6；

(7t~\5〃,

故答案为：0,—u—,6.

I6」6)

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)定义域为｛x|—奇函数；(2)(0,1)

fl-x>0

【解析】(1)只需解不等式组，即可得出/1(X)的定义域；求/(-x)即可得到f(-x)=-f(x),从而得

[1+尤>0

出/(x)为奇函数；

(2)讨论a：a>l,和OVaVl,根据/(x)的定义域及对数函数的单调性即可求得每种情况下原不等式的解

详解】解：(1)要使函数/(x)=log“(l+x)—log“(l-x)(a>0且awl)有意义，

[1+x>0

则〈，解得

l-x>0

故函数“X)的定义域为关于原点对称，

Xf(-x)=logo(1-x)-loga(1+x)=-/(x),所以，/(X)为奇函数

(2)由/(x)<(),即108式1+》)一1(唱“(17)<0=>108〃(1+*)<108«(1-*),

当时，原不等式等价为l+x<l—x,解得x<()•当0<a<l,原不等式等价为l+x>l—x,解得x>0

又因为/(x)的定义域为(-1,1),所以，当a>1时，使<()的x的取值范围是(一1,0).当0<a<1时，使<()

的x的取值范围是(0」)

18、(1)R.

(2){〃6〃72,mwR}

【解析】(1)由集合交补定义可得.

(2)由ADB=A可得8=4建立不等关系可得解.

【小问1详解】

当〃z=2时，A=(0,4),8={4},408=0,①(An3)=R

【小问2详解】

因为=所以31A,

B=0,3m—2Vm2，加<1或机>2,

B手0,>1<m<2,

f1<m<2

TH2>0

(3m-2<4

综上：加的取值范围是{“加。2,相£母

19、(1)最小正周期是乃

TT、冗

(2)单调递增区间0,-,

_3」L6_

【解析】⑴由三角恒等变换得/(x)=2sin(2x-J再求最小正周期；

JT77*

(2)整体代换得函数的增区间为版"—版■+2#eZ,再结合xe[0,4]求解即可.

【小问1详解】

解：f(x)=sin4x+2A/3sinxcosx-cos4X

=(sin2x+cos2x^sin2x—cos2x)+\/3sin2x

=V§sin2x-cos2x=2sin一方1.

_2万24

所以，r=冏=T="，即最小正周期为〃.

【小问2详解】

解：令2k兀----<2x-----42ATTH■—,keZ,解得A：7<x<k7i+—,kGZ,

26263

因为xw[0,万

TTJ57F4

所以，当％=0时，得其增区间为0,-；当攵=1时，得其增区间为—,71;

3o6

715万

所以，/(幻在区间。兀]上单调递增区间为0,y

20、(1)最小正周期为乃，单调递增区间及方次乃+^]«eZ：(2)/(x)在一],£上的最大值为也，最小

63134」4

值为总

【解析】

jr-rr-rr24

(1)由正弦型函数的性质，应用整体代入法有2br--42x-2424乃+一时单调递增求增区间，由丁=」

262⑷

求最小正周期即可.