山东省潍坊市2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（解析版）

PAGEPAGE1山东省潍坊市2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线经过点和，则的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设直线的倾斜角为，因为，所以且，所以，故选：C.2.已知圆：，圆：，则与的位置关系是（）A.外切 B.内切 C.外离 D.相交【答案】D【解析】因为的圆心为，半径，的圆心为，半径，所以，所以，所以与两圆相交，故选：D.3.已知直线和平面，则下列命题中正确的是（）A.若与斜交，则内不存在与垂直的直线B.若，则内的所有直线与都垂直C.若与斜交，则内存在与平行的直线D.若，则内的所有直线与都平行【答案】B【解析】对于A，当平面内的直线与直线在平面的投影垂直时，，故A错误；对于B，若直线平面，则直线垂直于平面内的所有直线，故B正确；对于C，若内存在与平行的直线，根据线面平行的判定定理可知，则与与斜交矛盾，所以内存在与平行的直线，故C错误；对于D，若直线平面，则直线与平面内的所有直线平行或异面，故D错误.故选：B.4.已知直线：，：，则下列结论正确的是（）A.若与相交，则 B.若与平行，则C.若与垂直，则 D.若与重合，则【答案】C【解析】当时，，解得或，若，则，此时，若，则，此时，由上可知：不可能重合，故D错误；若与相交，则且，故A错误；若，则或，故B错误；若，则有，则，故C正确；故选：C.5.在棱长为4的正方体中，点A到平面的距离为（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】连接，与相交于点，因为四边形为正方形，所以⊥，又⊥平面，平面，所以⊥，因为，平面，所以⊥平面，故点A到平面的距离为的长，又棱长为4，所以.故选：B6.如图，等腰梯形是圆台的轴截面，，为下底面上的一点，且，则直线与平面所成的角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】连接，过点作交于点，如下图：因为几何体为圆台，所以平面，所以，又因为，所以为等腰直角三角形，因为为中点，所以，又因为，所以平面，所以直线与平面所成的角为，因为，所以，所以，所以，所以，所以，故选：B.7.已知圆：，直线：，为上的动点，过点作圆的切线，，切点分别为，，当四边形面积最小时，的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】将化为标准方程为：，所以圆的圆心为，半径为2，由题意，四边形面积为，又因为，所以当最短时，四边形面积最小，此时.故选：C8.已知正四面体的棱长为1，棱的一点满足，若点到面和面的距离分别为，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设在平面内的射影点为，连接交于，连接，如下图所示：因为几何体为正四面体，所以为底面正三角形的重心，所以，所以，由题意可知：，所以，且，所以，故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列结论正确的是（）A.已知向量，，若，则B.已知向量，，则在上的投影的数量为C.在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为D.为空间中任意一点，若，且，则，，，四点共面【答案】AD【解析】对于A项，因为，所以，解得，故A项正确；对于B项，在上的投影数量为，故B项错误；对于C项，点关于y轴的对称点为，故C项错误；对于D项，因为，，所以，整理得，即，所以、、、四点共面，故D项正确.故选：AD.10.在正方体中，下列结论正确的是（）A. B.//平面C.直线与所成的角为 D.二面角的大小为【答案】BCD【解析】对于选项A，因为在正方体中，四边形为矩形，所以和不垂直，故选项A错误；对于选项B，因为在正方体中，，平面，平面，所以AC//平面，故选项B正确；对于选项C，因为在正方体中，，所以或其补角即为直线与所成的角.由为正三角形可知，，故选项C正确；对于选项D，因为在正方体中，面，所以，；又因为二面角的交线为，所以为二面角的平面角.在等腰直角中，，故选项D正确.故选：BCD.11.已知圆：和圆：的交点为，，直线：与圆交于，两点，则下列结论正确的是（）A.的取值范围是B.圆上存在两点和，使得C.圆上的点到直线的最大距离为D.若，则【答案】AC【解析】A选项：圆：的标准方程为，圆心为,半径为，因为直线：与圆交于，两点，所以圆到直线的距离为，即，解得，所以的取值范围是，故A正确；B选项：圆：的标准方程为，圆心，半径，根据两圆的方程有直线方程为，圆到直线AB的距离为，所以，圆上任意两点，，，故B错误；C选项：圆上的点到直线的距离的最大值为，故C正确；D选项：因为，所以为等边三角形，圆到直线的距离为，所以，故或，故D错误.故选：AC12.已知四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，且以为圆心、为半径的圆分别交，于，两点，点是劣弧上的动点，其中，则（）A.弧上存在点，使得与所成的角为B.弧上存在点，使得平面C.当时，动线段形成的曲面面积为D.当时，以点为球心，为半径的球面与该四棱锥各侧面的交线长为【答案】ACD【解析】以为原点，以方向为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：对于A：设时满足条件，所以，所以，所以，所以，即为中点时满足条件，故A正确；对于B：在平面中，的延长线始终与相交，由此可知平面一定不成立，故B错误；对于C：由题意可知，动线段形成的曲面为圆锥侧面的，因为，所以曲面的面积为，故C正确；对于D：将四棱锥的侧面展开，设球与的交点为，连接，如下图所示：因为球的半径，所以，所以，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以，所以，所以为等腰直角三角形，由对称性可知：，所以，所以为半径的球面与该四棱锥各侧面的交线长为，故D正确；故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，，若，则________.【答案】3【解析】由题意得，存在实数，使得，得，解得，则.故答案为：3.14.若直线是圆的一条对称轴，则__________.【答案】【解析】由题，直线过圆心，将代入直线方程得，解得：.故答案为：.15.如图，在直角坐标系中，已知，，从点射出的光线经直线反射到轴上，再经轴反射后又回到点，则光线所经过的路程为________.【答案】【解析】点关于轴的对称点，点关于的对称点，如下图所示：又因为，所以，即，所以，解得，所以，所以光线经过的路程为，故答案为：.16.已知菱形边长为2，，沿对角线将折起到的位置，当时，二面角的大小为________，此时三棱锥的外接球的半径为_____【答案】①②【解析】因为菱形边长为2，，所以为等边三角形，取的中点，连接，则⊥，⊥，且，故为二面角的平面角，因为，由余弦定理得，故，取的中心，故，设三棱锥的球心为，则⊥平面，过点作⊥平面，则点在的延长线上，且，故，则，设三棱锥外接球半径为，过点作⊥于点，连接，则，，设，则，故，解得，故，故答案为：，四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图，在菱形中，，，.（1）求直线的方程及直线的倾斜角；（2）求对角线所在的直线方程.解：（1）由题意可得，所以直线的方程为，即直线的方程为，在菱形中，，即有，又直线的倾斜角为，所以可得直线的倾斜角为；（2）由（1）可得，结合菱形中，可得，可得，所以对角线所在的直线方程为，即.18.如图，在长方体中，，分别是，的中点，，且.（1）求并求直线与所成角的余弦值；（2）求点到平面的距离.解：（1）连接，因为在长方体中，则，则，在中，，所以；以为原点，所在直线为轴建立坐标系，则所以设与所成角，则，因为异面直线所成的角时锐角或直角，则直线与所成角的余弦值为（2）连接，因为，设点到平面的距离为，则，因为，故，点到平面的距离为.19.已知的圆心在轴上，经过点，并且与直线相切.（1）求的方程；（2）过点的直线与交于、两点，（i）若，求直线的方程；（ii）求弦最短时直线的方程.解：（1）设圆心为，由题意可得，解得，所以，圆的半径为，因此，圆的标准方程为.（2）（i）当时，圆心到直线的距离为，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，合乎题意，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，则，解得，此时，直线的方程为.综上所述，直线的方程为或.（ii）当时，圆心到直线的距离最大，此时，取最小值，因为，则，此时，直线的方程为，即.20.如图，在三棱柱中，，，，，分别为，的中点.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.解：（1）连接，如下图所示：因为，分别为，的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面；（2）取中点，连接，因为，，所以≌全等，且与均为等边三角形，所以，又因为，所以，所以，所以，所以是等腰直角三角形，因为为的中点，所以且，又因为，，所以是等腰直角三角形，所以，所以，所以，又因为，所以平面，以所在直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则，因为，所以，又，设平面的一个法向量为，所以，所以，令，则，设平面的一个法向量为，所以，所以，令，则，所以，又因为二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为.21.边长为4的正方形所在平面与半圆弧所在平面垂直，四边形是半圆弧的内接梯形，且.（1）证明：平面平面；（2）设，且二面角与二面角的大小都是，当点在棱（包含端点）上运动时，求直线和平面所成角的正弦值的取值范围.解：（1）在正方形中，∵面面面，面面，∴面，∵面,∴，∵在以为直径的半圆上，∴，又∵面，面，又面，∴面面，（2）∵，∴又∵为二面角的平面角，∴，同理.在梯形中，.取的中点，以为轴正半轴，以平行于的方向为轴正半轴，以平面内垂直于的方向为轴正半轴，建立如图空间直角坐标系：则，设，，则，设平面的法向量为则，令，则，设直线和平面所成角为，则，设，则，令，当时，，当时，，令，任意，，因为，所以，，，所以，所以在上为减函数，故，所以，所以，所以，所以直线和平面所成角的正弦值的取值范围.22.已知圆与圆：关于直线对称.（1）求圆的标准方程；（2）过点的直线与圆相交于，两点，过点且与垂直的直线与圆的另一交点为，记四边形的面积为，求