北京某中学2024-2025学年九年级上学期期中数学试题

北师大实验中学2024-2025学年度第一学期期中试卷

初三年级数学

班级______姓名______学号______

~，.本试卷共10页，共三道大题，28道小题；答题纸共3页。

士满分100分。考试时间120分钟。

考

Z2.在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号。

生

『3.试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效。

须

/4.在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题黑色字迹签字笔作答。

知

____

一、单项选择题（本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题意。每小题

2分，共16分）

1.剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产

代表作名录.以下剪纸中，是中心对称图形的是（）

2.抛物线y=3（%-1）2+2的顶点坐标是（）

A.（1,-2）B.（1,2）C.（-1,2）D.(-1,-2)

3.已知。。的半径为5,若点。到点P的距离为4,则点P（）

A.在。。内B.在。。外C.在。。上D.不能确定

4.将一元二次方程Y_4x+3=0通过配方转化为（％+=人的形式,下列结果中正确的是（）

A.(x-2)2=1B.(x+2)2=1C.(x+2)2=3D.(x-2)2=7

5.如图，。。是正方形ABCD的外接圆，若。。的半径为2,则正方形ABCD的边长为（）

A.1B.2C.2夜D.4

6.自电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩.据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房

按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，若将增长率记作X,则方程可列为（）

A.2+2x+2x2=18B.2(l+x)2=18

C.（l+x）2=18D.2+2（l+x）+2（l+x）2=18

7.如图，在0。中，A3是直径，C,。为0。上的点，BC=DC.若/CBD=35°,则/ABC的度数为

A.35°B.45°C.55°D.650

8.如图，在菱形ABC。中，/24。=&（0。＜。＜90。），。为对角线的交点.将菱形ABCD绕点。逆时针

旋转90。得到菱形AB'C'。'，两个菱形的公共点为E,F,G,H.对八边形BEB'GDH。'石给出下面四

个结论，正确的是（）

A.对于任意a,该八边形都是正八边形

B.存在唯一的a,使得该八边形为正八边形

C.对于任意a,该八边形都有外接圆

D.存在唯一的a,使得该八边形有内切圆

二、填空题（共8道小题，每题2分，共16分）

9.若x=1是一元二次方程x2-2x+k=0的一个根，则上的值为.

10.把抛物线y=gx2向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为.

11.如图，点A,B,C在。。上，若/AO5=128。，则/C=.

O

12.如图，PA,PB,MN分别与0。相切于点A,B,。三点.若AP=2.5,则△尸肱V的周长为

13.抛物线y=—2（x—3）2+4上三点分别为4（—1,%）,矶3,必），。（5,%），则%,为，%的大小关系

为.（用号连接）.

14.等边△ABC的边长为12,点。、E、F分别为边AC,AB,BC的中点，若分别以E,D,尸为圆心，6

为半径，作三个60。的扇形，则图中阴影部分的面积为

15.某宾馆有若干间标准房，该宾馆规定每间标准房的价格不低于180元，且不高于250元.经市场调查表明，

每天入住的房间数y（单位：间）与每间标准房的价格x（单位：元）之间满足函数关系式：y=--x+170,

则当该宾馆每间标准房的价格％=元时，标准房日营业额w（单位：元）最大，最大营业额为____元.

16.如图，已知点A是直线/外一点，于点。，且A£）=J5+2,点8,C均在直线/上，/5AC=45°,

则的最小值为

三、解答题（共12道小题，第17~21,24题，每题5分，第22、23、25、26题，每题6分,

第27,28题，每题7分，共68分）

17.解关于x的一元二次方程：6%+l=o.

18.下面是小石设计的“过三角形一个顶点作其对边的平行线”的尺规作图过程.

已知：如图1,AABC.

求作：直线3。，使得3r>〃ac.

作法：如图2,

①分别作线段AC,8c的垂直平分线4，12,两直线交于点。；

②以点。为圆心，04长为半径作圆；

③以点A为圆心，长为半径作弧，交于点。；

④作直线30.

直线5。即为所求作的直线.

根据小石设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明.

证明：连接AD,

•.•点A,B,C,。在。。上，AD=BC,

AD=.

:.NDBA=NCAB（）（填推理的依据）.

BD//AC.

19.如图，AA05的顶点都在边长为1的正方形组成的网格格点上，4（—1,3）,5（-2,2）.

(1)点A关于原点的对称点的坐标是；

(2)将AAOB绕点。顺时针旋转90°得到△A。耳，画出旋转后的△4。四；

(3)在旋转过程中，点3经过的路径为54,求的长.

20.如图，在△ABC中，NACfi=90°,30°,将线段AC绕点A逆时针旋转60°,得到线段A。,

连接CZ>,BD.

(1)依题意补全图形；

(2)若BC=2也,求线段的长.

21.如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点。为圆心的圆的一部分.如果M是0。中弦CD的中点，EM

经过圆心。交0。于点E,CD=10,5M=25.求0。的半径.

22.已知二次函数y=必+〃〃与一次函数y=履+6(左/0)交于和网2,-2)两点.

(1)求二次函数的解析式；

(2)当0WX<4时，函数值y的取值范围是；

(3)关于x的不等式犬+(加—左)]+〃</?的解集为.

备用图

23.已知关于x的一元二次方程_?+（7〃一4）%-2/〃+4=0.

（1）求证：无论加取何值，此方程总有两个实数根；

（2）若m为正整数，且该方程的根都是正整数，求加的值.

24.甲，乙两名同学进行羽毛球比赛，羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分.如图建立平面直

角坐标系，羽毛球从。点的正上方发出，飞行过程中羽毛球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单

位：m）之间近似满足函数关系y=+左（々<0）.

比赛中，甲同学连续进行了两次发球.

（1）甲同学第一次发球时，羽毛球的水平距离x与竖直高度y的七组对应数据如下:

水平距离x/m0123456

竖直高度y/m12.7544.7554.754

根据以上数据，回答下列问题：

①当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是m；

②在水平距离5m处，放置一个高1.55m的球网，羽毛球（填“是”或“否”）可以过网;

③求出满足的函数关系y=a（x-l^+k（a<0）；

（2）甲同学第二次发球时，羽毛球的竖直高度y与水平距离x之间近似满足函数关系

y=-0.2（x-4.5）2+5.2.乙同学在两次接球中，都是原地起跳后使得球拍达到最大高度2.75m时刚好接到

球，记乙同学第一次接球的起跳点的水平距离为d,第二次接球的起跳点的水平距离为幺，则人-4

（填或“="）.

25.如图，A3是。。的直径，8，人5于点〃，M为08的中点，过点。作DELCB交CB的延长线于

点E.点尸在AC上，DF交AB于点N.

（1）求证：OE是。。的切线；

(2)若/CDB=45°,DE<,求FN的长.

26.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax1-IcTx+a3-2（a^0）.

（1）求该抛物线的顶点坐标（用含。的式子表示）；

（2）己知〃（玉,yj,N（3a,%）是抛物线上的两个点，若对于。+1＜西＜。+2,都有％＜%，求实数

a的取值范围.

27.在△ABC中，AB=AC,ZBAC=a,。为平面内一点，将线段A。绕点A逆时针旋转180°―。，

得到线段AE.

（1）如图1,当点。与点。重合时，连接DE,点产为线段DE的中点，连接求证：BC=2AF；

（2）当A£）＜A3时，连接BE,CD,取3E中点G,连接AG.

①如图2,当。点在△ABC内部时，用等式表示线段AG与之间的数量关系，并证明；

②令。=90°,若当A,D,G三点共线时，恰有NAG3=120。，直接写出此时一的值.

CD

28.如图，给定线段及其垂直平分线上的一点P（点P不在线段上），若以P为圆心，为半径

的优弧上存在三个点可以作为一个等边三角形的顶点，则称点P为线段的“实验点”.特别地，若

这样的等边三角形只存在一个，则称点P为线段"N的“大实验点”.在平面直角坐标系xQy中，点A坐标

为（2,0）,点3为第一象限内一点.

(1)在点中，可以成为线段的“实验点”的是.

(2)若平面内存在一点。既是线段04的“大实验点”，又是线段08的“大实验点”，求点3的坐标.

(3)在(2)的条件下，以A为圆心，49为半径作圆，圆上一动点K从。出发，绕点A逆时针旋转270。

后停止.设点K出发后转过的角度为a(0°<a<270。)，若恰有线段AK的2个“实验点”片，工满足

NOF&=ZOF2B=120°,请直接写出a的取值范围.

北师大实验中学2024-2025学年度第一学期期中参考答案

九年级数学

一、选择题（每小题2分，共16分）

二、填空题(每小题2分，共16分)

12

9.1l0.y=—(x—1)~+311.116°12.5

2'7

13.14.546—18万15.180,1440016.2&

三、解答题（共12道小题，第17~21,24题，每题5分，第22、23、25、26题，每题6分,

第27,28题，每题7分，共68分）

17.x-—6x+l=0

解：（％—3『=8

石=3+2-72,x2=3—2-72...................................5分

18.(1)

（2）AD=BC,等弧所对的圆周角相等

19.(1)(1,-3)

⑶解：•••5(—2,2),二03=20,

180

D

20.解(1)"k”...............................1分

(2)•••NAC3=90°,^BAC=3Q°,BC=26，

..AB=45AC=y/AB2-BC2=6.

线段AC绕点A逆时针旋转60。，

ZACD=60°,AD=AC=6,

ZBAD=ZBAC+NCAD=90°.

在Rt△54£)中，•.•A3=4石，AD=6,

BD=y/AB2+AD2=2A/21.............................5分

21.解:连接CO,

设CO=r,EM=25,则OM=25—r,

•.•M是。。中弦CO的中点，石M经过圆心。，

交O。于点E,..・应0，CD，

-.­CD=10,:.CM=-CD=5,

2

在RtZ^CQW中,r2=(25-r)2+5\

解得r=13,故。。的半径为13m...............................5分

22.解:⑴将A(-1,1)和8(2,-2)代入二次函数y=%2+〃2x+〃中，得:

1-m+H=1,[m=-2,

,解得1,

4+2m+n——2[〃二一2

/.y=x2-lx-2..............................2分

(2)-3<y<6............................4分

(3)—1<x<2............................6分

23.解：(1)A=(m-4)-—2m+4)=m2>0,

无论加取何值，此方程总有两个实数根................3分

(2)解关于x的一元二次方程/+(m—4)x—2/〃+4=0,得

%=2,x2-2-m.

•.•该方程的根都是正整数，...2—加之1,

:机为正整数，：.m=l.................6分

24.解：(1)①4；................1分

②是.................2分

③V(4,5)为抛物线y=a(x-hy+k(a<0)的顶点，

y=+5

1

将(0,1)带入到,=。(%—4)9一+5中，得a=—4，

1,

y=--(x-4)+5.................4分

(2)>................5分

25.(1)证明：如图1,连接OC,OD.

•.•直径ABLCD,..5c=3。，

:.NCOB=NDOB.

-.AB±CD,M为08的中点，.,.(%)=CB.

-.-OC=OB：.CO=CB=OB,

△OCB为等边三角形，，NOCB=NCOB=60°,

:.NDOB=NCOB=6(r,ZCOD=：120°,

NOCD=NODC=30°,/./BCD=NBOC-NOCD=30",

NBCD=ZBOC-NOCD=30°,

NDCB=NCDO=30。，OD//CE.

DE，CB交CB的延长线于点E,/DEC=90。，

/ODE=180°—/ODE=90°,：.OD_LDE.

•.•OD为半径，.•.£)£为0。切线................3分

4

D

图I

(2)如图2,连接CN,CF.

^CED=90°,NCDE=30。，DE=0,:.CD=2DE=2/.

•.•直径？18,0),.・.四=。凹=!0)=6.

2

ABLCD,CM=DM,：.NC=ND.

•.­NCDF=45°NCND=90°,/.NCNF=90°.

♦.,NCND=90°,NC=ND,CD=26,:.CN=JcD=^.

2

NCOD=120°,NCFD=60。.

NCNF=90°,NCFD=60°,CN=R,

.-.FN^—CN=42...............................6分

3

26.解(1)1.1y=ax2-2a2x+a3-2=o(x-«)2-2(«0)

该抛物线的顶点坐标为(a,—2)............................2分

(2)①如图1,当a>0时，

a>0,3a>a.

,/当时，y随x的增大而增大，

且对于〃+1<%<4+2,都有％<%，

〃+2<3a,:.a>l.

图।

②如图2,当。<0时,

记（国,％）关于x=a的对称点为（用,%），

a<0,3a<a.

•.•当x<a时，y随x的增大而增大，

且对于。-2<%3<。一1，都有％<%，

ci—1W3a,—Va<0.

2

综上所述，实数a的取值范围为—或............6分

2

27.(1