贵州省“三新”改革联盟2023-2024学年高二上学期第一次联考数学试卷（解析版）

PAGEPAGE1贵州省“三新”改革联盟2023-2024学年高二上学期第一次联考数学试卷一、选择题（本题共8个小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）.1.关于空间向量，下列四个结论正确的是（）A.方向相反的两个向量是相反向量B.任意两个空间向量总是共面的C.零向量没有方向D.不相等的两个空间向量的模必不相等【答案】B【解析】对于A，方向相反长度相等的向量是相反向量，故A错误，对于B，空间中，任意两个向量是共面的，故B正确，对于C，零向量的方向是任意的，故C错误，对于D，两个不相等的向量模长可以相等，此时方向不相同，即为不相等的向量.故D错误，故选：B2.已知两点所在直线的倾斜角为，则实数的值为（）A.-7 B.-5 C.-2 D.2【答案】A【解析】因为两点所在直线的倾斜角为，则，即故选:A3.在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】因为在平行六面体中，，所以.故选：A.4.已知向量是空间中三个两两垂直的单位向量，，则的值为（）A.0 B.-20 C.20 D.40【答案】A【解析】由向量是空间中三个两两垂直的单位向量，所以.故选：A5.某汽车客运公司托运行李的费用y（元）与行李质量x（）之间的关系如图所示，根据图像可知，乘客最多可免费携带行李的质量为（）A.20 B.25 C.30 D.35【答案】A【解析】由图像可得，直线过点，由直线方程的两点式可得，化简可得，令，解得，即乘客最多可免费携带行李的质量为.故选：A6.如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足，，则下列说法错误的是（）A.当时，点在棱上B.当时，点在线段上C.当时，点棱上D.当时，点在线段上【答案】B【解析】对于，当时，，，所以，则点在棱上，故正确；对于，当时，，，即，即，所以点在线段上，故错误；对于，当时，，，所以，所以，即，所以点在棱上，故正确；对于，当时，所以，，所以，即，即，所以点在线段上，故正确．故选：．7.如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点C处.已知库底与水坝所成的二面角为，测得从到库底与水坝的交线的距离分别为，若，则甲､乙两人相距（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得，，则，又，，且库底与水坝所成的二面角为，则，所以，即.故选：D8.定义:与两条异面直线都垂直相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，公垂线被这两条异面直线截取的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段，叫做这两条异面直线的距离，公垂线段的长度可以看作是:分别连接两异面直线上两点，正方体的棱长为1，是异面直线与的公垂线段，则的长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】以A为原点，，所在直线分别为x轴，y轴，轴，如图所示:，，，，，，设，，所以∵是异面直线与的公垂线段，∴，解得，∴，．故选:C．二、多选题（本题共4个小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）.9.已知向量，则下列结论中正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.不存在实数，使得【答案】AD【解析】对于A，，解得，故A正确；对于B，若，则，即，解得，故B错误；对于C，若，则，解得，所以，所以，故C错误；对于D，假设存在实数，使得，则，所以，方程组无解，所以不存在实数，使得，故D正确.故选：AD.10.已知直线（不同时为0），则（）A.当时，与轴垂直B.当时，与轴重合C.当时，过原点D.当时，的倾斜角为锐角【答案】BC【解析】对于A：当时直线（），即，表示与轴平行（重合）的直线，故A错误；对于B：当时直线，即，即与轴重合，故B正确；对于C：当时直线，此时满足方程，即过原点，故C正确；对于D：当时直线，即，斜率，所以的倾斜角为钝角，故D错误；故选：BC11.下列命题正确的是（）A.已知，，直线的方向向量为，直线的方向向量为且，则B.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线C.已知直线过，且以为方向向量，是直线上的任意一点，则有D.已知平面的法向量为为平面上一点，为平面上任意一点，则有【答案】AC【解析】对于A，，，，因为，所以，所以，故A正确.对于B，直线的方向向量为，平面的法向量为，则有，所以，所以，故B错误.对于C，直线过，且以为方向向量，是直线上的任意一点则有，，即，所以，则，故C正确.对于D，平面的法向量为，为平面上一点，为平面上任意一点，则有，则，故D错误.故选：AC.12.如图三棱锥中，点为边中点，点为线段上的动点，则下列说法正确的是（）A.存在实数使得B.当两两垂直时，C.当两两所成角为且为中点时；D.当两两垂直时，为中点，是锥体表面上一点，若，则动点运动形成的路径长为【答案】BC【解析】对选项A：若存在实数使得，则，，确定平面，平面，这与条件矛盾，错误；对选项B：，，，平面，故平面，平面，故，正确；对选项C：，，故，正确；对选项D：如图所示以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，则，即，在平面内，直线方程为，，解得，故路径长为，错误.故选：BC.三、填空题（本题共4个小题，每个小题5分，共20分）.13.已知点是点在坐标平面内的射影，则__________.【答案】【解析】因为点是点在坐标平面内的射影，所以，所以，所以.故答案为:14.是空间的一个基底，向量，是空间的另一个基底，向量，则__________.【答案】3【解析】，且.故答案为：315.一束光射向轴，与轴相交于点，经轴反射，与以连接、两点的线段总有公共点，这束光所在直线的斜率取值范围为__________.【答案】【解析】由斜率公式，射线的斜率为，射线的斜率为，如图，由题意，一束光射向轴，经轴反射，与线段始终相交，则射线即与关于对称，射线即与关于对称，∴，，∴这束光所在直线的斜率取值范围为.故答案为：.16.正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形），即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知球O是棱长为2的正八面体的内切球，为球O的一条直径，则的取值范围是______.【答案】【解析】由题意得为正方形的中心，取中点，连接，，因为为正八面体，所以平面，，，，设正八面体的内切球半径为，则,所以，解得，，由图可知，当点在正八面体的顶点时，最大，此时，当点在切点，最小，，所以，即.故答案为:．四、解答题（本题共6个小题，17题10分，其余每个小题12分，共70分）.17.已知直线经过，直线经过点.（1）若，求的值；（2）若，求的值.解：（1）由题可知直线的斜率存在且，若则直线的斜率也存在，由，得，即解得或，经检验，当或时，；（2）若，当时，此时斜率存在，不符合题意，当时，直线的斜率存在且不为0，则直线的斜率也存在，且，即，即，解得或，所以当或时，.18.如图，在正方体中，为的中点.（1）证明：直线平面；（2）求异面直线与所成角余弦值.解：（1）如图，连接交于点，连接，由于为的中点，为的中点,则,又因为平面平面，所以平面（2）以为原点，所在直线为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为，则，所以，，设与所成角为,则所以与所成角的余弦值为.19.已知的三个顶点是．（1）试判定的形状；（2）求边上的中线所在直线的方程．解：（1）由题可知，，因为，所以，所以是直角三角形，又因为，所以，所以是等腰三角形综上可知，等腰直角三角形．（2）的中点坐标为，又，所以直线的斜率，所以直线的方程为：，即，所以边上的中线所在直线的方程为：．20.如图所示，在平行六面体中，，分别在和上，且.（1）证明四点共面；（2）若与相交与点，求点到直线的距离.解：（1）设，以为空间的一组基底，则，，所以，即且∥，从而四边形是平行四边形，所以四点共面.（2）由题意可知：，由（1）可知，四边形是平行四边形，所以是的中点则，可得，而，则点到直线的距离为，所以点到直线的距离为.21.如图1平行四边形由一个边长为6的正方形和2个等腰直角三角形组成，沿将2个三角形折起到与平面垂直（如图2），连接（1）求点E到平面的距离；（2）线段上是否存在点M，使得直线与平面的夹角为30°.若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由.解：（1）因为平面平面且相交于平面，所以平面，又因为平面平面，所以，又因为，以为原点，所在直线为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则，所以即，令，则，所以，所以，设点到平面的距离为，则，所以点到平面的距离为.（2）若在线段上存在点使得直线到平面的夹角为30°,由题可知存在，使得，因为，所以.设到平面的夹角为，则，即，所以，所以在线段上存在点使得直线到平面的夹角为30°，且.22.如图，在四棱台中，底面为矩形，平面平面，且.（1）证明：平面；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.解：（1）如图，在