广东省肇庆市2024届高三上学期第一次教学质量检测数学试题（解析版）

PAGEPAGE1广东省肇庆市2024届高三上学期第一次教学质量检测数学试题一、选择题1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，，所以.故选：D.2.已知复数满足，则（）A.1 B. C.2 D.4【答案】A【解析】因为，所以，.故选：A.3.记为等比数列的前项和，若，，则（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】由，得，解得，，.故选：C.4.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为，则，故充分性成立，若，所以，所以，则，所以必要性不成立，即是的充分不必要条件.故选：A5.若，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，，即，，又，，所以.故选：B.6.记的内角的对边分别为，，，已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，有正弦定理得，则，所以，故，即，代入上边等式可得，，则三角形为等边三角形，故故选：7.已知，，且，则的最大值为（）A.2 B. C.4 D.【答案】B【解析】因为，所以，设，则，则，当且仅当，即时，等号成立，故选：B.8.“顺德眼”是华南地区首座双立柱全拉索设计的摩天轮总共设有36个等间距座舱，其中亲子座舱4个，每2个亲子座舱之间有8个普通座舱，摩天轮上的座舱运动可以近似地看作是质点在圆周上做匀速圆周运动，质点运行轨迹为圆弧，运行距离为弧长，“顺德眼”在旋转过程中，座舱每秒运行约0.2米，转一周大约需要21分钟，则两个相邻的亲子座舱在运行一周的过程中，距离地面的高度差的最大值约为（）（参考数据：，计算结果保留整数）A.40米 B.50米 C.57米 D.63米【答案】C【解析】设圆的半径为r，由题意得：，解得，如图所示：当两个相邻亲子座舱的连线与底面垂直时，距离地面的高度差最大，所以两个相邻的亲子座舱在运行一周的过程中，距离地面的高度差的最大值约为：，故选：C.二、选择题9.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】对于A，，，又，所以是偶函数，故A错误；对于B，，由，所以在和上分别单调递增，但在定义域上并不单调递增，故B错误；对于C，，，，所以是奇函数，又，所以是的增函数，故C正确；对于D，，，，所以是奇函数，又，所以是的增函数，故D正确.故选：CD.10.已知是模长为1的复数，则（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】设，由题知，则，故A正确；又，，显然，故B错误；，故C正确；因为，即，故D正确，故选：ACD.11.已知，是夹角为的单位向量，且，，则（）A.在上的投影向量为 B.C. D.【答案】AB【解析】对于A，B，，，则，，，，所以在上的投影向量为，故A，B正确；对于C，，，故C错误；对于D，，所以，故D错误.故选：AB.12.已知定义在R上的函数，对任意的，都有，且，则（）A.或1 B.是偶函数C.， D.，【答案】BD【解析】在中，又有，令得，所以，A错；令得，所以，是偶函数，B正确；令得，所以，令得，所以，令得，，C错；令得，所以，由此，即，所以，是周期为6的周期函数，，，，，所以，D正确．故选：BD．三、填空题13.记数列的前项和为，且，则__________.【答案】【解析】，，所以数列是周期为3的周期数列，又，，，.故答案：.14.已知向量，，若，则__________.【答案】【解析】因为，，则，，又，即，解得，则故答案为：15.已知函数在区间上的值域为，则___________.【答案】【解析】依题意，函数在区间上的值域为，由于，所以，此时，当时取得最小值，符合题意，所以.故答案为：16.已知不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】因为，所以，即，令，所以，令，所以，所以当时，，所以函数在上单调递增，所以，即，又，所以在上单调递增，即在上恒成立，即在上恒成立，所以有，故答案为：.四、解答题17.记的内角的对边分别为，，，已知为锐角，且.（1）求角的大小；（2）若，，求的面积.解：（1）由已知可得,，解得.因为为锐角，所以，所以，所以.（2）由题，，又由正弦定理，得.因为，所以或.当时，，所以；当时，，所以，所以的面积为或.18.已知是公差为等差数列，是公比为的等比数列，且.（1）求与的通项公式；（2）记，记为数列的前项和，求.解：（1）由可得，解得，所以，.（2）因为，由题意得.19.设，为实数，且，函数.（1）讨论的单调性；（2）设，函数，试问是否存在极小值点?若存在，求出的极小值点；若不存在，请说明理由.解：（1），，，当时，，在区间上单调递增；当，且时，，单调递减；当时，，单调递增.综上，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.（2）当时，，，故.令，，所以，当时，，单调递减；当时，，单调递增.又，，，故，使得.当时，，，单调递增；当时，，，单调递减；当时，，，单调递增，故存在极小值点，且极小值点为.20.记数列的前项和为，已知，是公差为1的等差数列.（1）求的通项公式；（2）设为数列落在区间，内的项数，在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和.解：（1）当时，，所以，所以①，当时，②.由①-②整理得.当时，满足上式，所以数列的通项公式为.（2）由题意知，所以，所以，故.由题可知，得，则③，④，③-④得，所以.21.如图，在四边形中，，，，.（1）若，求；（2）求的最大值.解：（1）由题意知，，，所以.在中，，，所以.在中，由余弦定理得，，所以.（2）过点作于点，由，，，，可得，，①②设，当时，点在点的右侧，如图①，，则.当时，点在点的左侧，如图②，，则.又，所以当，且时，.当时，点与点重合，，满足上式，所以，其中.令，则，所以，当且仅当，即，时，等号成立，此时取得最大值，因为，所以为锐角，所以当时，取得最大值.22.已知函数.（1）求的极值点；（2）若（且），证明：对一切，都有（ⅰ）；（ⅱ）.（1）解：因为，所以为偶函数，由题意得，故先考虑时的极值点情况：令可得，当时，，此时，单调递增；当时，，此时，单调递减；当时，，此时，单调递增，所以的极大值点为，极小值点为.再考虑时的极值点情况：因为为偶函数，所以时