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文档简介

§9-2级数敛散性的判别法一、正项级数及其审敛法1.定义:这种级数称为正项级数.2.正项级数的性质:部分和数列为单调增加数列.定理9-1.

正项级数收敛部分和序列有上界.若收敛,∴部分和数列有上界,故从而又已知故有界.单调递增,收敛,也收敛.证:“”“”解重要参考级数:几何级数,P-级数,调和级数.

几何级数（等比级数）证明：应用（P375）5.（3）证明Sn≤Cσn≤CM,即部分和数列有上界定理9-2比较审敛法因增减有限项不改变敛散性，所以不妨设N=1证明证明例判定下列级数的敛散性。证明:(推论2）比较审敛法的极限形式:设å¥=1nnu与å¥=1nnv都是正项级数,如果则(1)当时,二级数有相同的敛散性;

(2)当时，若收敛,则收敛;

(3)当时,若å¥=1nnv发散,则å¥=1nnu发散;证明由比较审敛法的推论,得证.解原级数发散.故原级数收敛.例由比较审敛法知收敛.注意:反之不成立.例如,收敛,发散.证明收敛发散比值审敛法的优点:不必找参考级数.当一般项含n!,nn,an,

因子时用此法。

两点注意:解比值审敛法失效,改用比较审敛法级数收敛.例.

讨论级数的敛散性.解:

级数收敛;级数发散;矛盾故级数收敛二、交错级数及其审敛法定义:

正、负项相间的级数称为交错级数.证明满足收敛的两个条件,定理证毕.收敛收敛用Leibnitz判别法判别下列级数的敛散性:收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?发散收敛收敛解原级数收敛.解原级数收敛.三、绝对收敛与条件收敛定义:

正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.证明注1注2注3定理：若∣un∣用比值法判定发散，则：un一定发散。证明：因ρ>1,ヨε0，ρ-ε0>1对ε0，ヨN当n>N

恒有∣un+1∣/∣un∣>ρ-ε0>1∣un+1∣>∣un∣un单调增加故∣un∣≠0=>un≠0级数发散上定理的作用：任意项级数正项级数

(1)（-1）n-11/n2

绝对收敛

(2)（-1）n-11/n条件收敛解故由定理知原级数绝对收敛.解由达朗贝尔判别法原级数绝对收敛.原级数发散.收敛;发散;解由达朗贝尔判别法|x|<1级数绝对收敛.|x|>1级数发散.x=1为调和级数发散x=-1为交错级数,由莱布尼茨判别法条件收敛收敛域为[-1，1)小结正项级数任意项级数审敛法1.2.4.充要条件5.比较法6.比值法7.根值法4.绝对收敛5.交错级数(莱布尼茨定理)3.按基本性质;

un≠0发散

un=0(1)正项级数：比较，比值，根值等。

(2)任意项级数：先判断是否绝对收敛：绝对收敛发散（3）交错级数：（莱布尼茨定理）级数判别法绝对收敛绝对收敛例1.

判别级数的敛散性:解:

(1)发散,故原级数发散.不是p–级数(2)发散,故原级数发散.例2.

证明下列级数绝对收敛:证:(1)而收敛,收敛因此绝对收敛.(2)令因此收敛,绝对收敛.例

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