江苏省南京市29中学2024届中考冲刺卷数学试题含解析

江苏省南京市29中学2024学年中考冲刺卷数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列各式中计算正确的是A． B． C． D．2．下列式子一定成立的是（）A．2a+3a=6a B．x8÷x2=x4C． D．（﹣a﹣2）3=﹣3．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．我爱美 B．宜晶游 C．爱我宜昌 D．美我宜昌4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D、E，F分别是CD，AD上的点，且CE＝AF.如果∠AED＝62°，那么∠DBF的度数为()A．62° B．38° C．28° D．26°5．老师随机抽查了学生读课外书册数的情况，绘制成条形图和不完整的扇形图，其中条形图被墨迹遮盖了一部分，则条形图中被遮盖的数是（）A．5 B．9 C．15 D．226．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为A．40海里 B．60海里 C．70海里 D．80海里7．如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF,连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H,下列结论：①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG=CG2；③若AF=2DF，则BG=6GF,其中正确的结论A．只有①②. B．只有①③. C．只有②③. D．①②③.8．如图是二次函数y=ax2+bx+cy1＞y1．其中说法正确的是（）A．①②B．②③C．①②④D．②③④9．对于点A（x1，y1），B（x2，y2），定义一种运算：．例如，A（－5，4），B（2，﹣3），．若互不重合的四点C，D，E，F，满足，则C，D，E，F四点【】A．在同一条直线上B．在同一条抛物线上C．在同一反比例函数图象上D．是同一个正方形的四个顶点10．不等式组的解集在数轴上表示为（）A． B． C． D．11．某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品，每月的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式为y=–4x+440，要获得最大利润，该商品的售价应定为A．60元B．70元C．80元D．90元12．民族图案是数学文化中的一块瑰宝．下列图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（）

A． B． C． D．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．已知a2+a=1，则代数式3﹣a﹣a2的值为_____．14．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，．若∠CAB=40°，则∠CAD=_____．15．因式分解a3－6a2+9a=_____．16．Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是_____．17．如图，李明从A点出发沿直线前进5米到达B点后向左旋转的角度为α，再沿直线前进5米，到达点C后，又向左旋转α角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了45米，则每次旋转的角度α为_____．18．已知一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数是．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）目前“微信”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”给我们的生活带来了很多便利，初二数学小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了m人（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种）并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．根据图中信息求出m=，n=；请你帮助他们将这两个统计图补全；根据抽样调查的结果，请估算全校2000名学生中，大约有多少人最认可“微信”这一新生事物？已知A、B两位同学都最认可“微信”，C同学最认可“支付宝”D同学最认可“网购”从这四名同学中抽取两名同学，请你通过树状图或表格，求出这两位同学最认可的新生事物不一样的概率．20．（6分）如图，平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），点B（，0），连接AB，若对于平面内一点C，当△ABC是以AB为腰的等腰三角形时，称点C是线段AB的“等长点”．（1）在点C1（﹣2，3+2），点C2（0，﹣2），点C3（3+，﹣）中，线段AB的“等长点”是点________；（2）若点D（m，n）是线段AB的“等长点”，且∠DAB=60°，求点D的坐标；（3）若直线y=kx+3k上至少存在一个线段AB的“等长点”，求k的取值范围．21．（6分）如图所示，直线y=x+2与双曲线y=相交于点A(2，n)，与x轴交于点C．(1)求双曲线解析式；(2)点P在x轴上，如果△ACP的面积为5，求点P的坐标.22．（8分）已知：如图所示，在中，，，求和的度数.23．（8分）已知如图①Rt△ABC和Rt△EDC中，∠ACB=∠ECD=90°，A,C,D在同一条直线上，点M,N,F分别为AB，ED，AD的中点，∠B=∠EDC=45°，（1）求证MF=NF（2）当∠B=∠EDC=30°，A,C,D在同一条直线上或不在同一条直线上，如图②，图③这两种情况时，请猜想线段MF，NF之间的数量关系．（不必证明）24．（10分）已知：如图，在半径是4的⊙O中，AB、CD是两条直径，M是OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC，连接DE，DE=．（1）求证：△AMC∽△EMB；（2）求EM的长；（3）求sin∠EOB的值．25．（10分）如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.填空：∠ABC=°，BC=；判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论.26．（12分）如图，已知点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3），以D为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过A，B，C三点．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E，P为第一象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点F，若四边形DEFP为平行四边形，求点P的坐标．27．（12分）为了加强学生的安全意识，某校组织了学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分的学生成绩进行统计，绘制统计图如图（不完整）．类别分数段A50.5～60.5B60.5～70.5C70.5～80.5D80.5～90.5E90.5～100.5请你根据上面的信息，解答下列问题．（1）若A组的频数比B组小24，求频数直方图中的a，b的值；（2）在扇形统计图中，D部分所对的圆心角为n°，求n的值并补全频数直方图；（3）若成绩在80分以上为优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀的学生有多少名？

参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、B【解题分析】

根据完全平方公式对A进行判断；根据幂的乘方与积的乘方对B、C进行判断；根据合并同类项对D进行判断．【题目详解】A.，故错误.B.,正确.C.，故错误.D.,故错误.故选B.【题目点拨】考查完全平方公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键.2、D【解题分析】

根据合并同类项、同底数幂的除法法则、分数指数运算法则、幂的乘方法则进行计算即可.【题目详解】解：A：2a+3a=(2+3)a=5a，故A错误；B：x8÷x2=x8-2=x6，故B错误；C：=，故C错误；D：(-a-2)3=-a-6=-，故D正确.故选D.【题目点拨】本题考查了合并同类项、同底数幂的除法法则、分数指数运算法则、幂的乘方法则.其中指数为分数的情况在初中阶段很少出现.3、C【解题分析】试题分析：（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2=（x2﹣y2）（a2﹣b2）=（x﹣y）（x+y）（a﹣b）（a+b），因为x﹣y，x+y，a+b，a﹣b四个代数式分别对应爱、我，宜，昌，所以结果呈现的密码信息可能是“爱我宜昌”，故答案选C．考点：因式分解.4、C【解题分析】分析：主要考查：等腰三角形的三线合一，直角三角形的性质．注意：根据斜边和直角边对应相等可以证明△BDF≌△ADE．详解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD．又∵∠BAC=90°，∴BD=AD=CD．又∵CE=AF，∴DF=DE，∴Rt△BDF≌Rt△ADE（SAS），∴∠DBF=∠DAE=90°﹣62°=28°．故选C．点睛：熟练运用等腰直角三角形三线合一性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解答本题的关键．5、B【解题分析】

条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．【题目详解】课外书总人数：6÷25%＝24（人），看5册的人数：24﹣5﹣6﹣4＝9（人），故选B．【题目点拨】本题考查了统计图与概率，熟练掌握条形统计图与扇形统计图是解题的关键．6、D【解题分析】分析：依题意，知MN＝40海里/小时×2小时＝80海里，∵根据方向角的意义和平行的性质，∠M＝70°，∠N＝40°，∴根据三角形内角和定理得∠MPN＝70°．∴∠M＝∠MPN＝70°．∴NP＝NM＝80海里．故选D．7、D【解题分析】

解：①∵ABCD为菱形，∴AB=AD．∵AB=BD，∴△ABD为等边三角形．∴∠A=∠BDF=60°．又∵AE=DF，AD=BD，∴△AED≌△DFB；②∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD，即∠BGD+∠BCD=180°，∴点B、C、D、G四点共圆，∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°．∴∠BGC=∠DGC=60°．过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．∴CM=CN，则△CBM≌△CDN，（HL）∴S四边形BCDG=S四边形CMGN．S四边形CMGN=1S△CMG，∵∠CGM=60°，∴GM=CG，CM=CG，∴S四边形CMGN=1S△CMG=1××CG×CG=CG1．③过点F作FP∥AE于P点．∵AF=1FD，∴FP：AE=DF：DA=1：3，∵AE=DF，AB=AD，∴BE=1AE，∴FP：BE=1：6=FG：BG，即BG=6GF．故选D．8、C【解题分析】∵二次函数的图象的开口向上，∴a＞0。∵二次函数的图象y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0。∵二次函数图象的对称轴是直线x=﹣1，∴-b∴abc＜0，因此说法①正确。∵1a﹣b=1a﹣1a=0，因此说法②正确。∵二次函数y=∴图象与x轴的另一个交点的坐标是（1，0）。∴把x=1代入y=ax1+bx+c得：y=4a+1b+c＞0，因此说法③错误。∵二次函数y=∴点（﹣5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1），∵当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，而52∴y1＜y1，因此说法④正确。综上所述，说法正确的是①②④。故选C。9、A。【解题分析】∵对于点A（x1，y1），B（x2，y2），，∴如果设C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6），那么，。又∵，∴。∴。令，则C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6）都在直线上，∴互不重合的四点C，D，E，F在同一条直线上。故选A。10、A【解题分析】

根据不等式组的解集在数轴上表示的方法即可解答.【题目详解】∵x≥﹣2，故以﹣2为实心端点向右画，x＜1，故以1为空心端点向左画．故选A．【题目点拨】本题考查了不等式组解集的在数轴上的表示方法，不等式的解集在数轴上表示方法为：＞、≥向右画，＜、≤向左画，“≤”、“≥”要用实心圆点表示；“<”、“>”要用空心圆点表示.11、C【解题分析】设销售该商品每月所获总利润为w，则w=（x–50）（–4x+440）=–4x2+640x–22000=–4（x–80）2+3600，∴当x=80时，w取得最大值，最大值为3600，即售价为80元/件时，销售该商品所获利润最大，故选C．12、C【解题分析】分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合．因此，A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项正确；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．故选C．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、2【解题分析】∵，∴，故答案为2.14、25°【解题分析】

连接BC，BD,根据直径所对的圆周角是直角，得∠ACB=90°，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得∠ABD=∠CBD，从而可得到∠BAD的度数．【题目详解】如图，连接BC，BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=40°，∴∠ABC=50°，∵，∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=25°，∴∠CAD=∠CBD=25°．故答案为25°．【题目点拨】本题考查了圆周角定理及直径所对的圆周角是直角的知识点，解题的关键是正确作出辅助线.15、a(a-3)2【解题分析】

根据因式分解的方法与步骤，先提取公因式，再根据完全平方公式分解即可.【题目详解】解：故答案为：.【题目点拨】本题考查因式分解的方法与步骤，熟练掌握方法与步骤是解答关键.16、3.1或4.32或4.2【解题分析】【分析】在Rt△ABC中，通过解直角三角形可得出AC=5、S△ABC=1，找出所有可能的分割方法，并求出剪出的等腰三角形的面积即可．【题目详解】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=3，BC=4，∴AB==5，S△ABC=AB•BC=1．沿过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况：①当AB=AP=3时，如图1所示，S等腰△ABP=•S△ABC=×1=3.1；②当AB=BP=3，且P在AC上时，如图2所示，作△ABC的高BD，则BD=，∴AD=DP==1.2，∴AP=2AD=3.1，∴S等腰△ABP=•S△ABC=×1=4.32；③当CB=CP=4时，如图3所示，S等腰△BCP=•S△ABC=×1=4.2；综上所述：等腰三角形的面积可能为3.1或4.32或4.2，故答案为：3.1或4.32或4.2．【题目点拨】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的面积，找出所有可能的分割方法，并求出剪出的等腰三角形的面积是解题的关键．17、．【解题分析】

根据共走了45米，每次前进5米且左转的角度相同，则可计算出该正多边形的边数，再根据外角和计算左转的角度．【题目详解】连续左转后形成的正多边形边数为：，则左转的角度是．故答案是：．【题目点拨】本题考查了多边形的外角计算，正确理解多边形的外角和是360°是关键．18、5【解题分析】

∵多边形的每个外角都等于72°，∵多边形的外角和为360°，∴360°÷72°=5，∴这个多边形的边数为5.故答案为5.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、（1）100、35；（2）补图见解析；（3）800人；（4）【解题分析】分析：（1）由共享单车人数及其百分比求得总人数m，用支付宝人数除以总人数可得其百分比n的值；（2）总人数乘以网购人数的百分比可得其人数，用微信人数除以总人数求得其百分比即可补全两个图形；（3）总人数乘以样本中微信人数所占百分比可得答案；（4）列表得出所有等可能结果，从中找到这两位同学最认可的新生事物不一样的结果数，根据概率公式计算可得．详解：（1）∵被调查的总人数m=10÷10%=100人，∴支付宝的人数所占百分比n%=×100%=35%，即n=35，（2）网购人数为100×15%=15人，微信对应的百分比为×100%=40%，补全图形如下：（3）估算全校2000名学生中，最认可“微信”这一新生事物的人数为2000×40%=800人；（4）列表如下：共有12种情况，这两位同学最认可的新生事物不一样的有10种，所以这两位同学最认可的新生事物不一样的概率为．点睛：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及扇形统计图与条形统计图的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20、（1）C1，C3；（2）D（﹣，0）或D（，3）；（3）﹣≤k≤【解题分析】

（1）直接利用线段AB的“等长点”的条件判断；（2）分两种情况讨论，利用对称性和垂直的性质即可求出m，n；（3）先判断出直线y=kx+3与圆A，B相切时，如图2所示，利用相似三角形的性质即可求出结论．【题目详解】（1）∵A（0，3），B（，0），∴AB=2，∵点C1（﹣2，3+2），∴AC1==2，∴AC1=AB，∴C1是线段AB的“等长点”，∵点C2（0，﹣2），∴AC2=5，BC2==，∴AC2≠AB，BC2≠AB，∴C2不是线段AB的“等长点”，∵点C3（3+，﹣），∴BC3==2，∴BC3=AB，∴C3是线段AB的“等长点”；故答案为C1，C3；（2）如图1，在Rt△AOB中，OA=3，OB=，∴AB=2，tan∠OAB==，∴∠OAB=30°，当点D在y轴左侧时，∵∠DAB=60°，∴∠DAO=∠DAB﹣∠BAO=30°，∵点D（m，n）是线段AB的“等长点”，∴AD=AB，∴D（﹣，0），∴m=，n=0，当点D在y轴右侧时，∵∠DAB=60°，∴∠DAO=∠BAO+∠DAB=90°，∴n=3，∵点D（m，n）是线段AB的“等长点”，∴AD=AB=2，∴m=2；∴D（，3）（3）如图2，∵直线y=kx+3k=k（x+3），∴直线y=kx+3k恒过一点P（﹣3，0），∴在Rt△AOP中，OA=3，OP=3，∴∠APO=30°，∴∠PAO=60°，∴∠BAP=90°，当PF与⊙B相切时交y轴于F，∴PA切⊙B于A，∴点F就是直线y=kx+3k与⊙B的切点，∴F（0，﹣3），∴3k=﹣3，∴k=﹣，当直线y=kx+3k与⊙A相切时交y轴于G切点为E，∴∠AEG=∠OPG=90°，∴△AEG∽△POG，∴，∴=，解得：k=或k=（舍去）∵直线y=kx+3k上至少存在一个线段AB的“等长点”，∴﹣≤k≤，【题目点拨】此题是一次函数综合题，主要考查了新定义，锐角三角函数，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，对称性，解（1）的关键是理解新定义，解（2）的关键是画出图形，解（3）的关键是判断出直线和圆A，B相切时是分界点．21、（1）；（2）（，0）或【解题分析】

（1）把A点坐标代入直线解析式可求得n的值，则可求得A点坐标，再把A点坐标代入双曲线解析式可求得k的值，可求得双曲线解析式；（2）设P（x，0），则可表示出PC的长，进一步表示出△ACP的面积，可得到关于x的方程，解方程可求得P点的坐标．【题目详解】解：（1）把A（2，n）代入直线解析式得：n=3，∴A（2，3），把A坐标代入y=，得k=6，则双曲线解析式为y=．（2）对于直线y=x+2，令y=0，得到x=-4，即C（-4，0）．设P（x，0），可得PC=|x+4|．∵△ACP面积为5，∴|x+4|•3=5，即|x+4|=2，解得：x=-或x=-，则P坐标为或．22、，.【解题分析】

根据等腰三角形的性质即可求出∠B，再根据三角形外角定理即可求出∠C.【题目详解】在中，，∵，在三角形中，，又∵，在三角形中，∴.【题目点拨】此题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟知等边对等角.23、（1）见解析；（2）MF=NF.【解题分析】

（1）连接AE,BD，先证明△ACE和△BCD全等，然后得到AE=BD，然后再通过三角形中位线证明即可.（2）根据图（2）（3）进行合理猜想即可.【题目详解】解：（1）连接AE,BD在△ACE和△BCD中∴△ACE≌△BCD∴AE=BD又∵点M,N,F分别为AB，ED，AD的中点∴MF=BD,NF=AE∴MF=NF(2)MF=NF.方法同上.【题目点拨】本题考查了三角形全等的判定和性质以及三角形中位线的知识，做出辅助线和合理猜想是解答本题的关键.24、（1）证明见解析；（2）EM=4；（3）sin∠EOB=．【解题分析】

（1）连接A、C，E、B点，那么只需要求出△AMC和△EMB相似，即可求出结论，根据圆周角定理可推出它们的对应角相等，即可得△AMC∽△EMB；

（2）根据圆周角定理，结合勾股定理，可以推出EC的长度，根据已知条件推出AM、BM的长度，然后结合（1）的结论，很容易就可求出EM的长度；

（3）过点E作EF⊥AB，垂足为点F，通过作辅助线，解直角三角形，结合已知条件和（1）（2）所求的值，可推出Rt△EOF各边的长度，根据锐角三角函数的定义，便可求得sin∠EOB的值．【题目详解】（1）证明：连接AC、EB，如图1，∵∠A=∠BEC，∠B=∠ACM，∴△AMC∽△EMB；（2）解：∵DC是⊙O的直径，∴∠DEC=90°，∴DE2+EC2=DC2，∵DE=，CD=8，且EC为正数，∴EC=7，∵M为OB的中点，∴BM=2，AM=6，∵AM•BM=EM•CM=EM（EC﹣EM）=EM（7﹣EM）=12，且EM＞MC，∴EM=4；（3）解：过点E作EF⊥AB，垂足为点F，如图2，∵OE=4，EM=4，∴OE=EM，∴OF=FM=1，∴EF=，∴sin∠EOB=．【题目点拨】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距的关系与相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握圆心角、弧、弦、弦心距的关系与相似三角形的判定与性质.25、(1)(2)△ABC∽△DEF.【解题分析】

（1）根据已知条件，结合网格可以求出∠ABC的度数，根据，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方