运用数列的单调性求最大(小)项_第1页
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第1页（共4页）运用数列的单调性求最大（小）项高飞数列是一种特殊的函数，一种定义在正整数集（或其子集）上的函数，因此也具有单调性，可用函数的思想和方法去研究。对于数列而言，若，则此数列为递增数列，若，则其为递减数列，若，则其为常数列，运用其单调性可求出一些常见数列的最值，下面举例说明。一.整式（一次，二次）函数为背景的数列例1.已知等差数列（d<0）其前n项和为，若，问中哪一项最大？解：因为又因为，因为d<0所以数列单调递减，于是最大点评：等差数列中，当d<0时，时，最大。公差时，最小。二.无理根式函数为背景的数列例2.设函数数列满足（1）求。（2）求的最小项解：（1）由已知解得，即可知（2），可知数列是递增数列的最小项为点评：注意隐含条件，否则会得出的错误结论，在（2）中用到了分子有理化技巧，这是根式运算常见的一种方法。三.以分式函数为背景的数列例3.已知则在数列的前30项中最大项和最小项分别是_____。解：数列中的项是函数上的一个个孤立点，而f(x)的图象是由右移个单位再上移1个单位得到的，因此f(x)在上是减函数。在上也是减函数，从而可知当n=9时最小，n=10时，最大。最大项和最小项分别为。例4.已知，记，求数列的最小值。解：，则为递增数列中的最小项为四.以函数为背景的数列例5.已知数列，则该数列中的最大项是第几项？解：由得联想函数知函数在上为减函数。在为增函数。当且仅当时，函数取最小值，而。要使的值最小，应使。通过计算验证，可得n=12或13时，最大。为数列中的最大项。五.混合型数列（由一个等差数列和一个等比数列的对应项的积组成的数列称为<差比混合数列>）例6.已知无穷数列的通项公式，试判断此数列是否有最大项，若有，求出第几项最大，若没有，说明理由。解：时，，即当n=8时，，即当n>8时，，即由函数单调性知数列存在最大项即第8，9项。例7.已知数列的通项公式为，其中，数列中是否存在最大的项？若存在，指出是第几项最大；若不存在，请说明理由。解：（1）当EMBEDEquation.3错误！嵌入象on.3时，易见，即，所以数列中不存在最大项。（2）当0<a<1时，易见（i）当，即时，即，所以数列中的第1项最大。（ii）当，即时，。（仅在n=1时等式成立）即所以数列中的第1项和第2项最大…（iii）当即时，若且为整数。记，易知

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