大学数学关于积分的

一元函数积分学定积分的计算一定积分计算的基本公式§1、不定积分的概念与性质原函数与不定积分定义1：若，则称为的原函数。连续函数一定有原函数；若为的原函数，则也为的原函数；事实上，的任意两个原函数仅相差一个常数。事实上，由，得故表示了的所有原函数，其中为的一个原函数。定义2：的所有原函数称为的不定积分，记为，积分号，被积函数，积分变量。显然求下列函数的不定积分①②基本积分表（共24个基本积分公式）不定积分的性质①②求下列不定积分①②③④⑤⑥⑦⑧§2、不定积分的换元法第一类换元法（凑微分法）1、例1、求不定积分①②③④2、例2、求不定积分①②③④3、求不定积分①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩例4、求不定积分①②③④⑤⑥⑦⑧第二类换元法1、三角代换例1、解：令，则原式=例2、解：令原式=例3、解：令，则原式=例4、解：令，则原式=例5、解：令，则原式=例6、解：令，则原式=小结：中含有可考虑用代换2、无理代换例7、解：令原式=例8、解：令原式=例9、解：令原式=例10、解：令原式倒代换例11、解：令原式§3、分部积分法分部积分公式：，故（前后相乘）（前后交换）例1、例2、例3、或解：令原式例4、或解：令原式例5、故例6、例7、§4、两种典型积分一、有理函数的积分有理函数可用待定系数法化为部分分式，然后积分。例1、将化为部分分式，并计算解：故或解：例2、例3、例4、二、三角函数有理式的积分对三角函数有理式积分，令，，故，三角函数有理式积分即变成了有理函数积分。例5、 解：令，原式例6、解：令，原式例7、ppt1第二节多元函数的基本概念二、多元函数的概念定义1设D是平面上的一个非空点集，如果对于内的任一点，按照某种法则，都有唯一确定的实数与之对应，则称是上的二元函数，它在处的函数值记为，即，其中x，y称为自变量，z称为因变量.点集D称为该函数的定义域，数集称为该函数的值域.类似地，可定义三元及三元以上函数.当时,n元函数统称为多元函数.二元函数的几何意义三、二元函数的极限定义2设函数在点的某一去心邻域内有定义，如果当点无限趋于点时，函数无限趋于一个常数，则称A为函数当时的极限.记为.或（）也记作或二元函数的极限与一元函数的极限具有相同的性质和运算法则，在此不再详述.为了区别于一元函数的极限，我们称二元函数的极限为二重极限.四、二元函数的连续性定义3设二元函数在点的某一邻域内有定义，如果,则称在点处连续.如果函数在点处不连续，则称函数在处间断.与一元函数类似，二元连续函数经过四则运算和复合运算后仍为二元连续函数.由和的基本初等函数经过有限次的四则运算和复合所构成的可用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数.一切二元初等函数在其定义区域内是连续的.这里定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域.利用这个结论，当要求某个二元初等函数在其定义区域内一点的极限时，只要算出函数在该点的函数值即可.特别地，在有界闭区域上连续的二元函数也有类似于一元连续函数在闭区间上所满足的定理.下面我们不加证明地列出这些定理.定理1（最大值和最小值定理）在有界闭区域D上的二元连续函数,在D上至少取得它的最大值和最小值各一次.定理2（有界性定理）在有界闭区域D上的二元连续函数在D上一定有界.定理3（介值定理）在有界闭区域D上的二元连续函数,若在D上取得两个不同的函数值,则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次.例题选讲：多元函数的概念例1（讲义例1）求二元函数的定义域.例2（讲义例2）已知函数求.二元函数的极限例3（讲义例3）求极限.例4求极限例5（讲义例4）求极限.例6求极限例7求例8（讲义例5）证明不存在.例9证明不存在.二元函数的连续性例10（讲义例6）讨论二元函数在处的连续性.例11求例12求课堂练习1.设求2.若点沿着无数多条平面曲线趋向于点时,函数都趋向于A,能否断定3.讨论函数的连续性.PPT2第四节全微分我们已经知道，二元函数对某个自变量的偏导数表示当其中一个自变量固定时，因变量对另一个自变量的变化率.根据一元函数微分学中增量与微分的关系，可得上面两式左端分别称为二元函数对x和对y的偏增量，而右端分别称为二元函数对x和对y的偏微分.在实际问题中，有时需要研究多元函数中各个自变量都取得增量时因变量所获得的增量，即所谓全增量的问题.下面以二元函数为例进行讨论.如果函数在点的某邻域内有定义，并设为这邻域内的任意一点，则称为函数在点P对应于自变量增量的全增量，记为，即(4.1)一般来说，计算全增量比较复杂.与一元函数的情形类似，我们也希望利用关于自变量增量的线性函数来近似地代替函数的全增量，由此引入关于二元函数全微分的定义.内容分布图示★偏增量与全增量★全微分的定义★可微的必要条件★可微的充分条件★例1★例2★例3★例4★多元函数连续、可导、可微的关系★全微分在近似计算中的应用★例5★绝对误差与相对误差★例6★内容小结★课堂练习★习题6-4★返回内容提要：一、微分的定义定义1如果函数在点的全增量可以表示为(4.2)其中A,B不依赖于而仅与x,y有关,则称函数在点可微分,称为函数在点的全微分,记为即.(4.3)若函数在区域D内各点处可微分，则称这函数在D内可微分.二、函数可微的条件定理1(必要条件)如果函数在点处可微分,则该函数在点的偏导数必存在,且在点处的全微分.(4.4)我们知道，一元函数在某点可导是在该点可微的充分必要条件.但对于多元函数则不然.定理1的结论表明，二元函数的各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件.由此可见，对于多元函数而言，偏导数存在并不一定可微.因为函数的偏导数仅描述了函数在一点处沿坐标轴的变化率，而全微分描述了函数沿各个方向的变化情况.但如果对偏导数再加些条件，就可以保证函数的可微性.一般地，我们有：定理2(充分条件)如果函数的偏导数在点连续,则函数在该点处可微分.三、微分的计算习惯上，常将自变量的增量、分别记为、，并分别称为自变量的微分.这样，函数的全微分就表为(4.5)上述关于二元函数全微分的必要条件和充分条件，可以完全类似地推广到三元及三元以上的多元函数中去.例如，三元函数的全微分可表为(4.6)四、全微分在近似计算中的应用设二元函数在点的两个偏导数连续,且都较小时,则根据全微分定义，有即由，即可得到二元函数的全微分近似计算公式(4.7)例题选讲：全微分的计算例1（讲义例1）求函数的全微分.例2计算函数在点（2,1）处的全微分.例3（讲义例3）求函数的全微分.例4求函数的偏导数和全微分.例5（讲义例4）计算的近似值.例6测得矩形盒的边长为75cm、60cm、以及40cm,且可能的最大测量误差为0.2cm.试用全微分估计利用这些测量值计算盒子体积时可能带来的最大误差.课堂练习1.讨论函数在点(0,0)处函数的全微分是否存在?2.设求偏导数一、偏导数的定义及其计算法回顾一元函数的导数的概念。对于二元函数z=f(x,y),如果只有自变量x变化,而自变量y固定,这时它就是x的一元函数,这函数对x的导数,就称为二元函数z=f(x,y)对于x的偏导数.定义设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义,当y固定在y0而x在x0处有增量x时,相应地函数有增量f(x0x,y0)f(x0,y0).如果极限存在,则称此极限为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数,记作,,,或例如.类似地,函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数定义为,记作,,,或fy(x0,y0).偏导函数：如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数都存在,那么这个偏导数就是x、y的函数,它就称为函数z=f(x,y)对自变量的偏导函数,记作,,,或..类似地,可定义函数z=f(x,y)对y的偏导函数,记为,,zy,或.求时只要把y暂时看作常量而对x求导数；求时，只要把x暂时看作常量而对y求导数．偏导数的概念还可推广到二元以上的函数，例如三元函数uf(xyz)在点(xyz)处对x的偏导数定义为其中(xyz)是函数uf(xyz)的定义域的内点它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题．例1求z=的偏导数解求时，把y看作常量，求时，把x看作常量，因此,.例2求在点(1,3)处的偏导数．解先求偏导函数,.,.例3设,求证:.证,..例4已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数),求证：.证因为,;,;,;所以例4说明偏导数的记号是一个整体记号,不能看作分子分母之商．例5二元函数在（0，0）可导，因为，所以，．但函数在点(0,0)并不连续．由例5可知，对于多元函数来说,即使各偏导数在某点都存在,也不能保证函数在该点连续.二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的偏导数的几何意义：fx(x0,y0)是过曲面z=f(x,y)上点M0(x0,y0,f(x0,y0))的曲线在点M0处的切线Tx对x轴的斜率.fy(x0,y0)过曲面z=f(x,y)上点M0(x0,y0,f(x0,y0))的曲线在点M0处的切线Ty对y轴的斜率．课堂练习：习题8－2：1（单）．二、高阶偏导数回顾一元函数的高阶导数的概念．设函数z=f(x,y)在区域D内具有偏导数,,那么在D内fx(x,y)、fy(x,y)都是x,y的函数.如果这两个函数的偏导数也存在,则称它们是函数z=f(x,y)的二偏导数.按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数如果函数z=f(x,y)在区域D内的偏导数fx(x,y)、fy(x,y)也具有偏导数,则它们的偏导数称为函数z=f(x,y)的二阶偏导数.按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数,,,.其中,称为混合偏导数．同样可得三阶、四阶、以及n阶偏导数．二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数．例6．求z=x3ｙ3xy3的二阶偏导数解,;,＝定理如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数及在区域D内连续,那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数.例7验证函数满足方程.证因为,所以,,,.因此.例8．证明函数满足方程,其中.证：,.同理,因此.提示：.例7和例8中的两个方程都叫拉普拉斯方程（Laplace），是数学物理方程中的重要方程。课外作业：复合函数微分法与隐函数微分法在一元函数的复合求导中，有所谓的“链式法则”，这一法则可以推广到多元复合函数的情形.下面分几种情况来讨论.一、多元复合函数微分法1．复合函数的中间变量为一元函数的情形设函数,,构成复合函数（5.1）公式(5.1)中的导数称为全导数.2、复合函数的中间变量为多元函数的情形设构成复合函数(5.3)(5.4)3、复合函数的中间变量既有一元也有为多元函数的情形定理3如果函数在点具有对及对的偏导数,函数在点可导，函数在对应点具有连续偏导数,则复合函数在对应点的两个偏导数存在,且有(5.7)(5.8)注：这里与是不同的，是把复合函数中的看作不变而对的偏导数，是把函数中的及看作不变而对的偏导数.与也有类似的区别.在多元函数的复合求导中，为了简便起见，常采用以下记号:这里下标1表示对第一个变量求偏导数，下标2表示对第二个变量求偏导数，同理有等等.二、全微分形式的不变性根据复合函数求导的链式法则，可得到重要的全微分形式不变性.以二元函数为例，设,是可微函数，则由全微分定义和链式法则，有由此可见，尽管现在的u、v是中间变量，但全微分与、是自变量时的表达式在形式上完全一致.这个性质称为全微分形式不变性.适当应用这个性质，会收到很好的效果.三、隐函数微分法在一元微分学中，我们曾引入了隐函数的概念，并介绍了不经过显化而直接由方程(5.11)来求它所确定的隐函数的导数的方法.这里将进一步从理论上阐明隐函数的存在性，并通过多元复合函数求导的链式法则建立隐函数的求导公式，给出一套所谓的“隐式”求导法.定理4设函数在点的某一邻域内具有连续的偏导数,且则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数它满足并有(5.12)定理5设函数在点的某一邻域内有连续的偏导数,且则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数,它满足条件,并有(5.14)例题选讲：多元复合函数微分法例1（讲义例1）设而求导数例2（讲义例2）设而求和例3求的偏导数.例4设求和例5（讲义例3）设求例6设其中有连续的二阶偏导数,求例7（讲义例4）设其中函数f有二阶连续偏导数，求和.例8利用全微分形式不变性解本节的例2.设而求和全微分形式的不变性例9（讲义例5）利用一阶全微分形式的不变性求函数的偏导数.例10求函数的全微分.例11（讲义例6）已知求和.隐函数微分法例12（讲义例7）验证方程在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个有连续导数、当时的隐函数,求这函数的一阶和二阶导数在的值.例13求由方程所确定的隐函数的导数例14（讲义例8）求由方程所确定的隐函数的偏导数例15求由方程是常数)所确定的隐函数的偏导数和例16（讲义例9）设求例17设求例18设方程确定了隐函数求课堂练习1.设求2.设其中F是可微函数,证明3.设其中为可微函数,求.二重积分一、内容概要1.二重积分的定义定义设函数在有界闭区域D上有定义.分割用任意两组曲线将区域D分成n个小区域，分别记为.并以代表第i个小区域的面积.求和在每个小区域上任意一点作乘积，并求和.取极限记为n个小区域中的最大的直径，如果.存在，且此极限值不依赖区域D的分法，也不依赖于点的取法，则称此极限值为函数在区域D上的二重积分，记为，称为面积元素.2.二重积分的几何解释由二重积分的定义可知，二重积分为一个数值.从几何上可以解释为：若在区域D上，，则二重积分的值等于以区域D为底，以曲面为顶的曲顶直柱体的体积.若在区域D上，，则二重积分的值的绝对值等于以D为底，以曲面为曲顶的直柱体体积，此时二重积分的值为负值.若在区域D上的某些子区域上，而另一些子域上，则二重积分的值等于这些子区域上，以为曲顶的直柱体体积的代数和，其中的直柱体体积值前取“+”，在的直柱体体积前取“-”.3.二重积分的存在性存在定理若在闭区域D上连续，则在D上的二重积分必存在.4.二重积分的性质设下列被积函数都是可积的.性质1.此性质由左向右看，可以解释为：常数因子可以提到积分号外面去.由右向左看，可以解释为：常数乘以二重积分，可以将此因子送入积分表达式中去.性质2.性质3如果闭区域D由有限条曲线分为两个区域,则.性质4若记区域D的面积为S，则.性质5在D上若，则,.性质6若在D上有,则,其中S为区域D的面积.性质7设函数在闭区域D上连续，S为区域D的面积，则在D上至少存在一点，使得,称此性质为二重积分的中值定理.5.二重积分的计算二重积分是定积分的推广.计算的基本途径是将其转化为二次积分计算，不同积分次序的二次积分计算量可能相差很大，甚至其中一种次序易于计算，而另一种次序计算复杂，以至于不能用初等函数形式表出.因此计算二重积分时选择积分次序是至关重要的问题.有些问题中给定了积分次序，但依此次序积分可能计算复杂，以至于不能用初等函数形式表示，但是这并不能断言二重积分不能计算，此时应考虑交换积分次序或改变坐标系.因此二重积分有交换积分次序的问题与转换坐标系的问题.常见的二重积分计算可归纳为以下规律：选择积分次序对于给定的二重积分应先选定积分次序，积分次序的选择要考虑两个因素：被积函数与积分区域.选定积分次序之后，关键是确定二次积分的积分限，通常的方法是：先画出积分区域D的图形.若先对y积分，且平行于y轴的直线与区域D的边界线的交点不多于两点，那么确定关于y的积分限的方法为：作平行于y轴的直线与区域D相交，沿y轴的正向看，所作出的直线与区域D先相交的边界线（称之为入口线），作为积分下限.离开区域D的边界线（称之为出口线），作为积分上限.而后对x积分时，其积分下限取自区域D在Ox轴上投影的最小值；积分上限取自区域D在Ox轴上投影的最大值.即先对y积分（入口线）下限（出口线）上限后对x积分将区域D在Ox轴上投影（最小值）下限（最大值）上限其特点是：内层积分限为外层积分变量的函数（或常数），而外层积分限一定为常数！交换积分次序如果给定的积分为二次积分，它不能用初等函数形式表示出来，或者积分的计算量较大，可考虑采用交换积分次序，其一般步骤为：eq\o\ac(○,1)先依给定的二次积分限，写出积分区域D的不等式表达式，并依此作出区域D的图形.eq\o\ac(○,2)再依区域D的图形，按前面（1）所述确定积分限的方法，确定出另一种积分次序的积分限.选取坐标系如果二重积分不宜在直角坐标系中计算，可考虑利用极坐标系计算，特别是被积函数为，或积分区域为圆域、扇形域、圆环域时，利用极坐标系计算二重积分较方便.在极坐标系下二重积分计算的基本思想也是将其转化为二次积分.其一般做法是：先将积分区域D的边界曲线用极坐标表示.设积分区域的边界曲线与过极点的射线至多有两个交点.eq\o\ac(○,1)若极点O在区域D外部，区域D可以表示为，则.eq\o\ac(○,2)若极点O在区域D的边界曲线上，区域D可以表示为，则.eq\o\ac(○,3)若极点O在区域D的内部，区域D可以表示为，则.对称性质注意利用被积函数与积分区域的对称性，以简化运算.若为x的奇函数，而积分区域D关于y轴对称，则当为D上的连续函数时.必有.若为x的偶函数，积分区域D关于y轴对称，且在x轴右方部分记为，则当为D上连续函数时，必有.如果积分区域D关于y轴对称，而被积函数既非x的奇函数，也非x的偶函数，但是可以将，即分解为两个函数之和，其中或为x的连续的奇函数或偶函数，则可以部分地使用对称性简化计算.如果为x的连续的奇函数或偶函数，而积分区域D不关于y轴对称，但是可以将D分解为与两个子区域，其中或关于y轴对称，则可以部分地使用对称性以简化计算.被积函数中含有绝对值符号此时应将积分区域分割为几个子区域，使被积函数在每个子区域中保持同一符号，以消除被积函数中的绝对值符号.如果被积函数中含有开偶次方根的表达式，注意开方后应取绝对值形式的表达式.如果积分区域D为无界区域，在区域内连续，则为二重反常积分，化为二次积分后可依反常积分处理.二、基本问题与基本运算方法基本问题计算二重积分基本运算方法1